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Teoria de Carteira de Markowitz
Aluno: Guilherme Mauricio Soares de Souza - Matr´ıcula: 243968
IF-UFRGS
19 de junho de 2018
1 Introdu¸c˜ao
Ao decorrer do semestre vimos diversas maneiras de analisar individu- almente ativos a fim de obter o maior lucro com o menor risco poss´ıvel, na pr´atica, por´em, costuma-se fazer investimentos diversificados compondo desta forma uma carteira de ativos.A Teoria de Carteira de Markowitz ´e um modelo que tem como finalidade auxiliar na composi¸c˜ao de um conjunto de ativos que apresentem um baixo risco e um bom retorno para o investidor.
Neste trabalho iremos aplicar os fundamentos da teoria de Markowitz para uma carteira composta de a¸c˜oes da Eletrobras, LG, Magazine Lu´ıza, Google e Coca-Cola, com a finalidade de encontrar, para um determinado retorno esperado αw, o arranjo de ativos que apresentar´a o menor risco poss´ıvel.
2 Teoria de Markowitz
Para Markowitz existem dois fatores a serem analisados na hora de com- por uma carteira, s˜ao eles: o retorno e o risco, e ambos os elementos depen- dem diretamente da propor¸c˜ao dos ativos a serem utilizados. O que se espera obter com essa teoria ´e pondera¸c˜ao de cada ativo da carteira que, para um retorno αw, garanta o menor risco poss´ıvel.
Desta forma, para Markowitz ´e necess´ario selecionar uma carteira n˜ao com base nos ativos individuais, mas levando em considera¸c˜ao o efeito global dos mesmos.
2.1 Retorno
Para dar prosseguimento a teoria de Markowitz ´e necess´ario encontrar o o retorno esperado de cada ativo que comp˜oe a carteira, para isso consideramos as series hist´oricas e a partir do Modelo AR1 determinamos o pre¸co futuro do ativo, e com esse valor obtivemos o retorno futuro esperado. O modelo AR1 pode ser visto abaixo, na 1.
Xn+1 = C + ΦXn + n+1 (1) A equa¸c˜ao 1 informa que o valor presente da a¸c˜ao (Xn) depende de um valor constante (C), do pre¸co futuro do ativo (Xn+1) um fator Φ de pon- dera¸c˜ao e um termo correspondente ao ruido (n).
Para aplicarmos o modelo AR1 ´e necess´ario encontrar os termos C e Φ. Analisando a Equa¸c˜ao 1 de forma matricial e ignorando o termo estoc´astico (), conseguimos estimar os parˆametros C e Φ atrav´es do m´etodo da pseudoin- versa. Para os ativos analisados encontramos os valores de C e Φ presentes na Tabela 1:
Tabela 1: Valores encontrados para C e Φ Ativo C Φ σ^2 e Eletrobras 0.0240 0.9921 2.6382 10−^3 LG 0.0024 0.9996 3.1878 10−^5 Magazine Lu´ıza 0.0122 0.9983 7.7016 10−^3 Google 0.0347 0.9933 6.7514 10−^5 Coca-Cola 0.0161 0.9970 4.1732 10−^4
Agora para aplicar a Equa¸c˜ao 1, para cada um de nossos ativos preci- samos estimar o ruido estoc´astico, sabemos que ele segue uma distribui¸c˜ao gaussiana com m´edia zero, por´em temos que obter sua variˆancia (σ e^2 ) para que possamos determinar um n+1 confi´avel. Achamos σ^2 e para cada ativo a partir da seguinte Equa¸c˜ao dada em aula:
σ^2 e = σ^2 (1 − Φ^2 ) (2) , onde σ e^2 ´e a variˆancia do erro e σ^2 ´e a variˆancia do ativo. Os valores de σ^2 e para cada ativo est˜ao presentes na Tabela 1.
Finalmente podemos encontrar os pre¸cos futuros do ativo e acharmos os retornos esperados, calculamos os Retornos logar´ıtmicos (Equa¸c˜ao 3), esses
- Equa¸c˜ao dos Or¸camentos: a soma dos valores W deve ser igual a 1. Matematicamente podemos escrever isso como:
W · I = 1 (7)
- Equa¸c˜ao das Recompensas: a soma ponderada dos rendimentos dos ativos deve ser igual ao retorno final esperado:
W · α = αw (8)
Como temos condi¸c˜oes de contornos precisamos usar multiplicadores de Lagrange para minimizar a fun¸c˜ao, para isso devemos definir um funcional λ que leve em conta esses fatores. O funcional Λ ´e encontrado na Equa¸c˜ao 9:
W T^ SW + λ 1 (1 − W · I) + (αw − W · α) (9)
, onde λ 1 e λ 2 s˜ao os multiplicadores de lagrange que queremos determinar.
Derivando a Equa¸c˜ao 9 e igualando a zero podemos isolar o vetor W que minimiza o risco.
SW − λ 1 I − λ 2 α = 0 (10)
W = λ 1 S−^1 I + λ 2 S−^1 α (11) Substituindo W nas condi¸c˜oes de contornos podemos achar λ 1 e λ 2 :
[ λ 1 λ 2
]
[ I · (S−^1 I) I · (S−^1 α) α · (S−^1 I) α · (S−^1 α)
]− 1 [ 1 αw
] (12)
2.4 Fronteira Eficiˆente
A fronteira eficiente ´e uma curva que delimita os valores poss´ıveis de re- torno para um dado risco, para isso substituimos W na fun¸c˜ao do calculo do risco, o resultado disso pode ser visto na Equa¸c˜ao 13:
σ^2 w =
[ 1 αw
] [ I · (S− (^1) I) I · (S− (^1) α) α · (S−^1 I) α · (S−^1 α)
]− 1 [ 1 αw
] (13)
Podemos resolver essa opera¸c˜ao matricial, afim de encontrar uma equa¸c˜ao de de σw em fun¸c˜ao de αw :
σw =
√ n 11 + αw(n 12 + n 21 ) + α^2 wn 22 (14) , onde os n’s representam os termos nas posi¸c˜oes da matriz S−^1.
3 An´alise Experimental
Aplicando a Equa¸c˜ao 12 com nossa carteira de ativos e com αw igual a 0.015 obtemos λ 1 = 6. 24889196 e − 05 e λ 2 = 1. 04345025 e − 03 e com esses valores obtemos um vetor W igual `a:
W =
, onde essas s˜ao, respectivamente de cima pra baixo, as porcentagens de ativos da Eletrobras, LG, Magazine Lu´ıza, Google e Coca-Cola. Para esse W ´a um risco minimo envolvido de 7.814e-
Podemos ainda utilizar a Equa¸c˜ao 14 para determinar a fronteira eficiˆente de nossa carteira de investimentos. Na Figura 1 podemos ver essa curva.
Figura 1: Fronteira eficiente.
