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Unidade 02
Transformações Lineares
2.1 TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Estudaremos, nessa parte do conteúdo, um tipo especial de funções, chamadas transformações lineares. Essas funções ocorrem com freqüência em Álgebra Linear e em outros campos da matemática, além de serem importantes numa vasta gama de aplicações. Como introdução à definição de transformação linear, consideremos dois exemplos.
2.1.1 Exemplo. Reflexão em torno do eixo dos xx.
Seja em R 2 a função T definida por T( x , y ) = ( x , – y ). Geometricamente, T toma cada vetor do R 2 e o reflete em torno do eixo dos xx. Essa função, como veremos, é uma transformação linear.
2.1.2 Exemplo. Consideremos a expressão matricial de um sistema de equações lineares
Ax = b ,
onde A é uma matriz m x n , x F 0 C ER n^ e b F 0 C ER m. Na condição de equação buscamos conhecer x quando A e b são dados. De outro modo, dada a matriz A , a equação Ax = b , pode ser vista assim: "Diga-me um vetor x em R n^ e eu te direi
um vetor b em R m^ ", isto é, a matriz A representa a função com domínio R n^ e contra domínio R m , onde a imagem de cada x F 0 C ER n^ é b = Ax F 0 C ER m. Essa função tem as seguintes propriedades:
- A ( x + y ) = Ax + Ay , e
- A F 0 6 1( x ) =F 0 6 1 Ax comF 0 6 1F 0 C ER
que caracterizam as transformações lineares.
2.1.3 Definição. Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear T de V em W é uma função (ou aplicação) que a cada v F 0 C EV faz corresponder um único T( v )F 0 C EW e que satisfaz as seguintes duas condições:
F 0 2 2 u , v F 0 C EV eF 0 2 2F 0 6 1F 0 C ER, ( i ) T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v ); ( ii) T (F 0 6 1 v ) =F 0 6 1T ( v ).
Observações.
Nós escrevemos T: VF 0 A EW para indicar que T aplica vetores do espaço vetorial V em vetores do espaço vetorial W. Isto é, T é uma função com domínio V, contra domínio W e cuja imagem é um subconjunto de W;
T( v ) é lido "T de v ", de modo análogo à notação funcional f ( x ), que é lida " f de x ";
Uma transformação linear T:VF 0 A EV, que tem como domínio e contra domínio o mesmo espaço vetorial V é também chamada de operador linear;
As duas condições (i) e (ii) da definição 2.1.3, acima, podem ser aglutinadas numa só: T(F 0 6 1 u + v ) =F 0 6 1T( u ) + T( v ).
2.1.4 Exemplo. Uma transformação linear do R 2 em R 3.
Indicamos dois modos usados para definir uma função.
T: RF 0 A E^2 R^3 ; T( x , y ) = ( x , x – y , y ) ou T: RF 0 A E 2 R 3 ( x , y )( x , x – y , y )
a) T(2, – 1) = (2, 3, – 1); assim o vetor (2, 3, – 1)F 0 C ER 3 é a imagem, por T, do vetor (2, – 1)F 0 C ER 2. Do mesmo modo: T(0, 2) = (0, – 2, 2) T( a , a ) = ( a , 0, a ),F 0 2 2 a F 0 C ER.
b) O vetor do R 2 cuja imagem pela aplicação T seja (2, – 2, 4). ( x , x – y , y ) = (2, – 2, 4)F 0 D E x = 2 e y = 4 Portanto T(2, 4) = (2, – 2, 4).
c) Prova de que T é linear
Sejam u = ( x 1 , y 1 )F 0 C ER 2 , v = ( x (^) 2 , y (^) 2 )F 0 C ER 2 eF 0 6 1F 0 C ER.
(i) T( u + v ) = T( x 1 + x (^) 2 , y (^) 1 + y 2 ) = ( x 1 + x (^) 2 , ( x 1 + x (^) 2 ) – ( y 1 + y (^) 2 ), y (^) 1 + y (^) 2 ) = ( x 1 + x (^) 2 , x (^) 1 + x (^) 2 – y (^) 1 – y (^) 2 , y (^) 1 + y (^) 2 ) = ( x 1 , x (^) 1 – y (^) 1 , y (^) 1 ) + ( x 2 , x (^) 2 – y (^) 2 , y (^) 2 ) = T( x 1 , y (^) 1 ) + T( x 2 , y (^) 2 ) = T( u ) + T( v )
(ii) T(F 0 6 1 v )
= T(F 0 6 1( x 2 , y (^) 2 )) = T(F 0 6 1 x 2 F 0 6 1, y 2 ) = (F 0 6 1 x 2 F 0 6 1, x 2 – F 0 6 1 y 2 F 0 6 1, y 2 ) =F 0 6 1( x (^) 2 , x (^) 2 – y 2 , y (^) 2 ) =F 0 6 1T( x 2 , y (^) 2 ) =F 0 6 1T( v )
Por (i) e (ii), T é uma transformação linear.F 0 A 8
2.1.5 Exemplo. f : RF 0 A E 2 R 2 ( x , y )( x + 2 y , 2 x – 3 y )
a) A imagem de u = (2, 1) pela f é (4, 1); b) A imagem de v = (– 1, 3) pela f é (5, – 11);
c) A imagem de u + v pela f é (9, – 10);
d) Comparando c) com a) e b) podemos ver que f ( u + v ) = f ( u ) + f ( v ).
e) A imagem de 2 u pela f é (8, 2) f) Comparando e) com a) temos que f (2 u ) = 2 f ( u );
g) Geometricamente:
I:VF 0 A EV definida por I( v ) = v.
a) Verifiquemos que I é linear:
Sejam u , v F 0 C EV eF 0 6 1F 0 C ER.
(i) I( u + v ) = u + v = I( u ) + I( v )
(ii) IF 0 6 1( v )
=F 0 6 1 v =F 0 6 1I( v )
Por (i) e (ii), I é uma transformação linear.
b) Escrevendo as funções identidades I 1 em R 2 e I 2 em R 3.
I 1 ( x , y ) = ( x , y ) e I 2 ( x , y , z) = ( x , y , z).F 0 A 8
2.1.9 Exemplo. Uma transformação reflexão;
T: RF 0 A E 2 R^2 definida por T( x , y ) = (– x , y ).
a) Interpretando T geometricamente.
b) T é linear pois:
Para u = ( x (^) 1 , y (^) 1 )F 0 C ER 2 , v = ( x 2 , y 2 )F 0 C ER 2 eF 0 6 1F 0 C ER, temos
(i) T( u + v ) = T( x 1 + x (^) 2 , y (^) 1 + y 2 ) = (– x (^) 1 – x (^) 2 , y 1 + y 2 ) = (– x (^) 1 , y (^) 1 ) + (– x 2 , y 2 ) = T( u ) + T( v )
(ii) T(F 0 6 1 v )
= T(F 0 6 1 x 2 F 0 6 1, y 2 ) = (–F 0 6 1 x 2 F 0 6 1, y 2 ) =F 0 6 1(– x 2 , y 2 ) =F 0 6 1T( v ).F 0 A 8
2.1.10 E x emplo. Uma transformação de R n F 0 A ER m^ dada pela multiplicação por uma matriz m x n.
Seja A uma matriz m x n e T: R n F 0 A ER m^ definida por T( v ) = Av. Aqui Av é o produto da matriz A m x n pelo vetor coluna
v n x1. T é linear.
Prova. Sejam u , v F 0 C ER n^ eF 0 6 1F 0 C ER.
(i) T( u + v ) = A ( u + v ) = Au + Av (propriedade do produto de matrizes) = T( u ) + T( v )
(ii) T(F 0 6 1 v )
= A F 0 6 1( v ) =F 0 6 1( Av ) (propriedade do produto de matrizes)
=F 0 6 1T( v )
Por (i) e (ii), a transformação T é uma transformação linear.F 0 A 8
Assim:
- Toda matriz A (^) m x n pode ser usada para definir uma transformação linear T (^) A : R n F 0 A ER m^ onde a imagem T (^) A ( v ) é o produto da matriz A m x n pelo vetor coluna v (^) n x.
2.1.11 Exemplo. Escrevendo as transformações lineares T (^) A, T (^) B, TC e TD determinadas respectivamente pelas matrizes:
Temos: T (^) A : RF 0 A E 2 R 3 ; TA ( x , y ) = (2 x – y , 3 x + y , 2 x ), que é a transformação obtida pelo produto da matriz A (^) 3x2 pelo vetor v 2x1=;
TB : RF 0 A E^2 R^2 ; TB ( x , y ) = (2 x + 3 y , 4 x – y );
TC : RF 0 A E^4 R; TC ( x , y , z , t ) = ( x + 2 y – 3 z );
TD : RF 0 A ER^3 ; TD ( x ) = ( x , 0, – 5 x ).
2.1.12 Exemplo. Considere os operadores lineares P 1 , P 2 e P 3 em R 3 definidos por
P 1 ( x , y , z) = ( x , y , 0), P 2 ( x , y , z) = ( x , 0, z) e P 3 ( x , y , z) = (0, y , z). Temos:
P 1 (2, 4, 6) = (2, 4, 0) (fig (a))
P 2 (2, 4, 6) = (2, 0, 6) (fig (b)) P 3 (2, 4, 6) = (0, 4, 6)
Observemos que P 1 , P 2 e P 3 projetam os vetores de R 3 nos planos x O y , x Oz e y Oz, respectivamente. 2.1.13 Exemplo. T:M (^) m xF 0 A E n M n x m ; T( A ) = A t^ , é a transformação linear transposição.
Prova. Seja A , B F 0 C EM m x n eF 0 6 1F 0 C ER:
(i) T( A + B ) = ( A + B ) t = A t^ + B t^ (propriedade da transposição) = T( A ) + T( B )
(ii) T(F 0 6 1 A )
= (F 0 6 1 A )t =F 0 6 1( A t^ ) (propriedade da transposição) =F 0 6 1T( A )
Por (i) e (ii), T é linear.F 0 A 8
2.1.14 Exemplo. Uma transformação não linear f de R em R.
Assim, se T:VF 0 A EW é uma transformação linear, então nós só precisamos saber como T atua nos vetores de uma base de V para determinarmos a imagem de qualquer outro vetor de V. Para ver esse fato tomemos,F 0 6 2= { v (^) 1 , v 2 , ..., v n }, uma base de V e qualquer outro vetor v de V. ComoF 0 6 2é uma base de V, existem únicos escalaresF 0 6 1 1 ,
F 0 6 1 2 , ...,F 0 6 1 n tais que: v =F 0 6 1 1 v 1 +F 0 6 1 2 v 2 +F 0 F E+F 0 6 1 n v n.
Assim,
T( v ) = T(F 0 6 1 1 v 1 +F 0 6 1 2 v 2 +F 0 F E+F 0 6 1 n v n )
e, sendo T linear, temos
T( v ) =F 0 6 1 1 T( v (^) 1 )+F 0 6 1 2 T( v (^) 2 ) +F 0 F E+F 0 6 1 n T( v (^) n ).F 0 A 8
2.1.17 Exemplo. Seja a transformação linear T:RF 0 A E 3 R 3 e sejam
T(1, 0, 0) = (2, 3), T(0, 1, 0) = (– 1, 4) e T(0, 0, 1) = (5, – 3).
Vamos usar a propriedade 2 para: a) Calcular T(3, – 4, 5). O vetor (3, – 4, 5) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1), assim: (3, – 4, 5) = 3(1, 0, 0) + (– 4)(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1).
Então,
T(3, – 4, 5) = T[(3(1, 0, 0) + (– 4)(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1)] = 3 T(1, 0, 0) + (– 4) T(0, 1, 0) + 5 T(0, 0, 1). = 3(2, 3) + (– 4)(– 1, 4) + 5(5, – 3) = (6, 9) + (4, – 16) + (25, – 15) = (35, – 22)
b) Calcular a imagem de um vetor do R 3. Procederemos da mesma maneira, considerando o vetor ( x , y , z ), que expressa um vetor qualquer do R 3.
Como ( x , y , z ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1),
T( x , y , z ) = T( x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1) ) = x T(1, 0, 0) + y T(0, 1, 0) + z T(0, 0, 1) = x (2, 3) + y (– 1, 4) + z (5, – 3) = (2 x , 3 x ) + (– y , 4 y ) + (5 z , – 3 z ) = (2 x – y + 5 z , 3 x + 4 y – 3 z )
ou seja, a transformação linear T, tal que T(1, 0, 0) = (2, 3), T(0, 1, 0) = (– 1, 4) e T(0, 0, 1) = (5, – 3) é:
T:RF 0 A E 3 R 2 ; T( x , y , z ) = (2 x – y + 5 x , 3 x + 4 y – 3 z ).
Retome a parte (a) desse exemplo e confirme o resultado lá obtido.F 0 A 8
2.1.18 Exemplo. Escreva a lei que define a transformação linear f : R F 0 A E 2 R^3 sabendo que
f (1, 1) = (3, 2, 1) e f (0, – 2) = (0, 1, 0).
Seja ( x , y ) o vetor genérico do R 2. Como {(1, 1), (0, – 2)} não é a base canônica do R 2 devemos, primeiro, conhecer
as coordenadas de um vetor qualquer do R 2 , em relação a essa base. Então, escrevendo o vetor genérico do R 2
como combinação linear dos vetores (1, 1) e (0, – 2) temos:
( x , y ) = a (1, 1) + b (0, – 2)F 0 D EF 0 D Ea = x e Assim:
( x , y ) = x (1, 1) + (0, – 2)
e, agora, podemos conhecer f (x, y).
f ( x , = f ( x (1, 1) + (0, – 2)
y ) = = x f (1, 1) + f (0, – 2) = x (3, 2, 1) + (0, 1, 0) = (3 x , 2 x , x ) + = .F 0 A 8
