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CAPÍTULO TRANSFORMAÇÕES LINEARES 41 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Neste capítulo estudaremos um tipo especial de função (ou aplicação), onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais. Assim, tanto a variável independente como a variável dependente são vetores, razão pela qual essas funções são chamadas vetoriais. Estamos particular- mente interessados nas funções vetoriais lineares, que serão denominadas transformações lineares. Para dizer que T é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W, escre- vese T:V—>W, Sendo T uma função, cada vetor vE V tem um só vetor imagem we W, que será indicado por w =T(v). Vamos exemplificar, considerando V=IR? e W=Rº. Uma transformação T:Rº?-——>IRº associa vetores v=(x,yJE R? com vetores w=(x,y,2)€ RRº. Sea lei que define a transformação T for T(x,y)=(3x,-2y,x-) o diagrama da página seguinte apresenta três vetores particulares v e suas correspondentes imagens w. Deve ficar bem claro que, para calcular, por exemplo, T(2,1), temse:x=2 e y=1, e daí: TO, D)=(3x2,-2x1,2-1=(6,-2,1) 151 152 Algebra linear 411 Definição Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T:V-—W é chamada transformação linear de V em W se: D Ttu+v)=T(u)+T() 1) T(au)=aT(u) para Yu, ve Ve Voc R. Observação Uma transformação linear de Y em V (é ocaso de V=W) é chamada operador tinear sobre V. Exemplos Do TRE Rê, T(x,y)=(3x,-2y,x-y) é linear. De fato: 1) Sejam u=(x,,y1) e v=(x,,Y2) vetores genéricos de IR?. Então: T(u+W=TOu tx, yr ty) 154 Algebra lincar T(au) = 30x, T(au)=a(3x) T(au=eT(u) Observação Essa transformação linear representa uma reta que passa pela origem (Figura 4.1.1a). É fácil ver que, se uma transformação representar uma reta que não passa pela origem, ela não é linear. Por exemplo: TER R, T(x)=3x+1 não é linear. De fato: Se u=x, e v=x são vetores quaisquer de IR, tem-se: T(u+v=T(x +x,) T(u+)=3(u +x)+t1 T(u+y)=3x +3x +L=(3x, +1)+3x, T+) T(U+T(M)=(3x +1)+(3x, + 1) Figura 4.1.18 Seria bem mais fácil constatar neste exemplo que T não é linear, se conhecêssemos a propriedade: “Em toda transformação linea TN —>» W, a imagem do vetor O EV é o vetor 0EW, isto é T(0)=0." Este fato decorre da condição (II) da definição, para 4=0: [IR T(O)=T(0.W=0.T()=0 Nos exemplos 1) e 2), de transformações lineares, tivemos: T(0, 0)=(0,0,0) e T(0)=0 Transformações lineares 155 Nesse último exemplo, de transformação não-linear, verificase que: T(0)%0, pois T(O=1. Assim, também não é linear a transformação TER R?, T(x,y,2)=(3x+2,2y-2) pois T(0, 0,0) = (2,0) (0, 0). Insistindo: se T:V-—— W é linear, entãoT(0) = 0. No entanto, a recíproca dessa proprie- dade não é verdadeira, pois existe transformação com T(0)=0 e T não é linear. E o caso da transformação TR SR, T(x, y)=(X2,37) De fato: Se u= (x1, 71) é v=(Xy, 2) são vetores quaisquer de IR?, tem-se: T(utW=TO +xo, yr ya) = (Ga fixo), 3 (ya tva) = (xd + Ima 405,37, 379) enquanto: T()+T()= (Ud, 3y1) + 08, 3y2) = (13 +22, 3y4 + 3y2) isto é: Taty TN) TO) 3) A transformação identidade LV —s> V v t—>v cu l(v)=v élinear De fato: D Kuty=u+rv=I(W+t(v) H) Iou=au=alftu) Transformações lineares 157 6) A projeção ortogonal do IR? sobre o plano xy (Figura 4.1.1c) TUR RR? Gy) (x,7,0) ou T(x,y,2)=(x,7,0) é linear (verificar!). v=(x,y,2) T() = (x,7,0) Figura 4.L.ic 7) A projeção no eixo dos x TUR Rº, T(x,y,7)=(4,0,0) é linear (verificar!). 8) Seja o espaço vetorial V=P, dos polinômios de grau IR? uma transformação linear e B=(v,,v2,Y3) uma base do Rº, sendo v, =(0,1,0) v.=(1,0,1) e v5=(1,1,0). Determinar T(5,3,-2), sabendo que T(n)=(1,-2), T(va)=(3,1) e T(vo)=(0,2). - Solução Expressemos v = (5, 3, -2) como combinação linear dos vetores da base: (5,3,-D = (0, 1,0) +as(1,0, D+ as(1, 1,0) Transformações lineares 163 T(utw=(tx-yi-y2,2X +2x2 ty ty2, 0) Tiutwy= Ca yo 2x ty1, 0) + (x - yo, 2x2 + 72,0) TiutW)=T(W)+T() ID T(au)=T(ax,, ay) T(au)=(ax,; -ay,, 20x, +ayr, 0) T(au)=a(x -yi, 2x +y1,0) T(au)=«T(u) Logo, T élinear. 27 TR IR, Tex y=(4t2,y+3) Solução Sabe-se que em toda transformação linear T; V——W deve-se ter T(0)=0, Como T(0,0)=(2,3) (0,0), T não é uma transformação linear. Essa aplicação T é um exemplo de translação no plano, 3 TR R Tx, y=Ixl Solução Sejam u=(x,.Y1) é v=(%,y,) vetores quaisquer de R2. T(uty=TOn tx, yr ty)= [x tm] e T)+T()=ix tim Como,emgeral, [x + x5| £ [x |+|x5|, conclui-se que T não é linear. 164 Algebra linear 9 Hiv—— V, H(y)= Av, AG R, Afixado. Solução Seu, vE V: D H(u+wy=A(u+v=Au+Av=H(u)+H() 1) Han) = Aau) = (Au) = aH(u) Logo, H é um operador linear em V. Esse operador chama-se homotetia de V determinada pelo escalar À. Osexemplos2,3e 5 do item 4.1.1 são casos particulares de homotetia em que A=3 A=1 e A=-1, respectivamente, 5) Seja o espaço vetorial V=M(n,n) e B uma matriz lixa em V. Seja à aplicação T:V——V definida por T(A)=AB+BA, com AE V. Mostrar que T é linear. Solução E) Para quaisquer A;, A, € V: T(A, +A)=(A, + Aj)B+B(A, + As) T(A, + A,)=A B+A,B+BA, + BA; T(A, + A,)=(AB+BA;)+(A,B+BA,) T(A, + A)=T(ADAT(A) NM) T(aA,)=(0A,)B+B(aA,)=a(A,B) + c(BA,) T(aA,)=a(A,B+BA,) T(aA)=aT(A:) 166 Álgebra linear b) Seja v=(x, y,7). Então, T(v) =v ou T(x,y,2)=(x,y. Z) ou, ainda: (x+2y+22,x+2y-2,-x+y+42)=(x,y,2) donde: xt2y +22 =x x+2y- 2=y -x+ ytáz=z O sistema é indeterminado e sua solução é: x=2z e y =-z, Assim, existem infinitos vetores v € IR? tais que T(v)=v etodos da forma: Ze, -2, 2) v=2(2,-1,1), VZE R 8) Sabendo que T: Rº-——> R? é uma transformação linear e que TO,-1)=(3,2,-2) e TEL, D=(1,-1,3), determinar T(x, y). Solução Observando, inicialmente, que f(1,-1),(-1,2)) é uma base de IR?, apliquemos a propriedade 4.1.2 expressando o vetor (x,y)€ IR? como combinação linear dos vetores dessa base: (x, y)=a(, -D+b(-1,2) Transformações lineares 167 ou: a- b=x -0+2 u y sistema do qual vem: a=2x+y e b=x+y Portanto: T(x, =aTA,-D+bTCI,2) Te, y)=Ox+y) 6.2, -D+r(x+9)(0,-1,3) T(x y)=(60x+3y,4x+2y,-4x-2)+(x+y,-x-y,3x+3y) T(x y=(Ix+4y, 3xty,-x ty) 9) | Umoperador linear TR? ——> R? étal que: T(,0)=(3,-2) e T(0,D=(1,4) Determinar T(x, y). Solução Observemos que ((1, 0), (0, 1) ) é a base canônica de IR?. Um vetor (x, y)€ IR? é tal que: Cy)=*(1,0)+ y(0, 1) e, portanto: T(x, y)=xT(1,0)+yT(O. 1) Tix, y)=x(3,-D+y(1,4) TO, y)=(3x+y, -2x+ 47) Transformações lineares "169 sistema cuja solução é: x=0 e y=0 logo: N(D = ((0,0)) 2) Seja T;IRÉ — IR? a transformação linear dada por: T(xyzn=(x-yt4, 3x+y+82) Nesse caso, temos: N(T)= f(x,y, 2)€ Rº/T(x, y,2) =(0,0)) isto é, um vetor (x,y, Z2)€ N(T) se, e somente se: (x-y +47,3x+y+87)=(0,0) ou: x-yt4=0 3x+y+82=0 sistema homogêneo de solução x=-3z e y=2. Logo: N(T)= ((-32,2,2)/2€ RJ ou: N(T)= (2(-3, 1, 1)/z2€ RJ ou, ainda: N(M = [63 1, D] 170 Algebra linear Observemos que esse conjunto representa uma reta no IR? que passa pela origem e tai que todos os seus pontos têm por imagem a origem do R? (Figura 4.2). Figura 4.2 42,1 Propriedades do Núcleo 1) O núcieo de uma transformação linear T:V —W é um subespaço vetorial de V. De fato: Sejam v/ e vz vetores pertencentes ao N(T) e « um número real qualquer. Então, T(v/)=0 e T(w)=0. Assim: D Tin tw)=T(v)+T(v)=0+0=0 isto é: v tw E N(T) ND T(av)=aT(v))=a0=0 isto é: av E N(T) 
