Transformações Lineares e Matrizes, Notas de aula de Álgebra

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Álgebra Linear

Professor EURICO LUIZ PROSPERO RUIVO

AULA 5

• Transformações Lineares�����������������������������������������������������������������������������������������
• Referências �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

1º Passo: Verificar se a transformação preserva a soma.

Para isso, precisamos tomar dois vetores de ℝ

3

genéricos, 𝑢 = (𝑢

1

2

3

) e 𝑣 =

1

2

3

), e verificar se 𝑇

• 𝑇(𝑣). Devemos fazer isso calculando

cada um dos lados da igualdade a ser verificada separadamente:

1

2

3

1

2

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

1

1

3

3

2

2

3

3

𝟏

𝟏

𝟐

𝟐

𝟏

𝟏

𝟑

𝟑

𝟐

𝟐

𝟑

𝟑

Agora, calculamos o lado direito:

1

2

3

1

2

3

1

2

1

3

2

3

1

2

1

3

2

3

𝟏

𝟏

𝟐

𝟐

𝟏

𝟏

𝟑

𝟑

𝟐

𝟐

𝟑

𝟑

Como os dois lados resultaram no mesmo vetor, então a primeira propriedade

está satisfeita.

2º Passo : Verificar se a transformação preserva produto por escalar.

De maneira semelhante à que fizemos na verificação anterior, consideraremos

agora um escalar 𝜆 ∈ ℝ genérico e um vetor 𝑢 = (𝑢

1

2

3

3

qualquer e

calcularemos, separadamente, cada um dos lados da igualdade a ser verificada:

1

2

3

1

2

3

𝟏

𝟐

𝟏

𝟑

𝟐

𝟑

Agora, o lado direito:

1

2

3

1

2

1

3

2

3

1

2

1

3

2

3

𝟏

𝟐

𝟏

𝟑

𝟐

𝟑

Novamente, ambos os cálculos resultaram no mesmo vetor, portanto a segunda

propriedade também é cumprida e podemos afirmar que 𝑇 é uma transformação

linear (ou, nesse caso, podemos até dizer que é um operador linear, por conta

de os dois espaços vetoriais envolvidos serem iguais).

Exemplo 2 : Dada 𝑻: ℝ

𝟑

𝟐

com 𝑻

𝟏

𝟐

𝟑

𝟏

𝟐

𝟏

𝟑

, verifique se

𝑻 é uma transformação linear.

Começaremos verificando se ela preserva a estrutura de soma linear. Sendo 𝑢 =

1

2

3

) e 𝑣 = (𝑣

1

2

3

) dois vetores quaisquer de ℝ

3

, temos:

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

1

1

3

3

𝟏

𝟏

𝟐

𝟐

𝟏

𝟑

𝟏

𝟑

𝟏

𝟑

𝟏

𝟑

Por outro lado,

1

2

3

1

2

3

1

2

1

3

1

2

1

3

𝟏

𝟏

𝟐

𝟐

𝟏

𝟑

𝟏

𝟑

Observe que as expressões resultaram em vetores diferentes (as primeiras

coordenadas até são iguais, mas a segunda não), portanto a transformação não

é linear.

Caso suspeitemos que a transformação não seja linear, não é necessário

mostrar isso simbolicamente, como fizemos acima: basta tomar dois vetores que,

quando aplicados para verificar uma das propriedades, resultem em valores

diferentes.

Assim, poderíamos ter escolhido, por exemplo, 𝑢 = ( 1 , 0 , 3 ) e 𝑣 = (− 1 , 1 , 2 ) e

teríamos:

e, por outro lado,

Mas cuidado! Não é porque as propriedades são satisfeitas por alguns vetores

particulares que, necessariamente, ela será satisfeita para todos: para verificar

2. A matriz canônica de uma transformação

linear

É possível representar e calcular uma transformação linear por meio de matrizes.

Antes disso, entretanto, convém sabermos como representar adequadamente

um vetor por meio de uma matriz.

Dado um vetor 𝑣 = (𝑣

1

𝑛

𝑛

, sua representação matricial na base

canônica consiste em uma matriz-coluna com 𝑛 linhas:

[

]

= [

1

2

𝑛

]

[𝑣] indica a representação de 𝑣 em forma de matriz (na base canônica).

Da mesma forma, é possível fazer a representação de uma transformação linear

𝑚

𝑛

por meio de uma matriz [𝑇] canônica, calculada da seguinte maneira:

1. Para cada vetor 𝑒

𝑖

da base canônica deℝ

𝑚

aplica-se 𝑇, obtendo, dessa

forma, o vetor 𝑇(𝑒

𝑖

𝑛

2. Escreve-se 𝑇(𝑒

𝑖

) como combinação linear dos vetores𝑒

𝑗

da base

canônica de ℝ

𝑛

, obtendo-se uma expressão do tipo

1 𝑖

1

2 𝑖

2

𝑛𝑖

𝑛

3. Os coeficientes𝛼

1 𝑖

2 𝑖

𝑛𝑖

formarão a 𝑖-ésima coluna de [𝑇].

Ao final desse processo, teremos

[𝑇] = [

11

12

21

22

1 𝑚

2 𝑚

𝑛 1

𝑛 2

𝑛𝑚

]

Observe que a matriz resultante será 𝑛 × 𝑚, isto é, terá 𝑛 linhas (uma para cada

vetor da base canônica de ℝ

𝑛

) e 𝑚 colunas (uma para cada vetor da base

canônica de ℝ

𝑚

Exemplo 4: Com a transformação linear 𝑻: ℝ

𝟑

𝟐

dada por

obtenha sua matriz canônica.

A base canônica de ℝ

3

é formada, nessa ordem, pelos vetores ( 1 , 0 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 ) e

( 0 , 0 , 1 ). Começamos calculando a transformação em cada um deles:

Agora, cada um dos resultados deve ser escrito como combinação linear da base

canônica de ℝ

2

, que é formada pelos vetores ( 1 , 0 ) e ( 0 , 1 ), nessa ordem:

Dessa maneira, temos [𝑇] = [

].

Talvez você tenha percebido que existe uma relação entre os números das linhas

da matriz [𝑇] com os coeficientes das variáveis de entrada (𝑥, 𝑦 e 𝑧) da expressão

de 𝑇: a primeira coluna de [𝑇] contém os coeficientes da primeira variável (𝑥), a

segunda coluna de [𝑇] contém os coeficientes da segunda variável (𝑦) e a

terceira coluna de [𝑇] contém os coeficientes da terceira variável (𝑧).

De fato, esse procedimento funciona para obter a matriz canônica de uma

transformação linear. Vejamos outro exemplo.

Exemplo 5: Obtenha a matriz canônica [𝑻] da transformação linear 𝑻: ℝ

𝟒

𝟑

dada por 𝑻(𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒘) = (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 + 𝒘, 𝒙 − 𝒛 + 𝒘, −𝒙 + 𝒚 − 𝒛 + 𝒘)

A 1ª variável (𝑥) tem coeficientes 2, 1 e - 1, respectivamente.

A 2ª variável (𝑦) tem coeficientes 3, 0 e 1, respectivamente.

Além do fato de aplicações de transformações lineares serem análogas a

multiplicações de matrizes adequadas, há outras informações que as matrizes

que representam uma transformação linear podem fornecer, como veremos em

nossa próxima aula.

Por hora, vejamos como escrever matrizes de transformações lineares em bases

genéricas.

3. Matrizes de transformações lineares em

bases quaisquer

Conforme fizemos para a base canônica em um primeiro momento, dada uma

transformação linear 𝑇: ℝ

𝑚

𝑛

e bases 𝐵

1

1

𝑚

) e 𝐵

2

1

𝑛

) de

𝑚

e ℝ

𝑛

, respectivamente, podemos obter a matriz

[

]

𝐵

2

,𝐵

1

de 𝑇 da base 𝐵

1

para

a base 𝐵

2

da seguinte maneira:

1. Calcula-se 𝑇(𝑢

𝑖

) para cada vetor 𝑢

𝑖

da base 𝐵

1

2. Escreve-se 𝑇(𝑢

𝑖

) como combinação linear dos vetores 𝑣

𝑗

da base 𝐵

2

obtendo-se uma expressão do tipo

1 𝑖

1

2 𝑖

2

𝑛𝑖

𝑛

3. Os coeficientes 𝛼

𝑖 1

𝑖 2

𝑖𝑛

formarão a 𝑖-ésima coluna de [𝑇]

𝐵

2

,𝐵

1

Ao final desse processo, teremos:

[

]

𝐵

2

,𝐵

1

= [

11

12

21

22

1 𝑚

2 𝑚

𝑛 1

𝑛 2

𝑛𝑚

]

Observe que a matriz resultante será 𝑛 × 𝑚, isto é, terá 𝑛 linhas (uma para cada

vetor da base canônica de ℝ

𝑛

) e 𝑚 colunas (uma para cada vetor da base

canônica de ℝ

𝑚

Além disso, note que escrevemos [𝑇] 𝐵

2

,𝐵

1

, com a base “de destino” (𝐵

2

aparecendo antes da base “de origem” (𝐵 1

), mas falamos em matriz da

transformação em relação às bases 𝐵 1

(origem) e 𝐵

2

(destino).

Exemplo 7: Dadas as bases 𝑩 𝟏

) de ℝ

𝟐

e 𝑩

𝟐

) de ℝ

𝟑

e sendo 𝑻: ℝ

𝟐

𝟑

dada por 𝑻

𝟐𝒚, 𝟐𝒙 + 𝒚, 𝒙 − 𝒚) , obtenha [𝑻]

𝑩 𝟐

,𝑩 𝟏

Começamos calculando 𝑇 sobre os vetores da base 𝐵 1

Agora, devemos escrever os vetores ( 3 , 3 , 0 ) e (− 1 , 1 , 2 ) como combinação linear

dos vetores da base 𝐵

2

, utilizando os métodos que vimos na Aula 3. Feito isso,

obteremos:

Portanto, [𝑇]

𝐵 2

,𝐵 1

= [

]

Talvez não esteja clara ainda a motivação de pensar nas matrizes de

transformações lineares em outras bases que não a canônica, mas veremos, na

próxima aula, que, para algumas transformações lineares, existem bases que a

tornam muito mais fáceis de serem escritas e calculadas. Ilustramos isso no

próximo exemplo.

Exemplo 8 : Considere a transformação linear 𝑻: ℝ

𝟑

𝟑

dada por

a) Obtenha a matriz canônica de 𝑻.

chamada de matriz de transição da base 𝐵 para a base 𝐵′ e é denotada por

[𝑃]

𝐵→𝐵′

. Vejamos como obter uma matriz como essa.

Exemplo 9: Dadas as bases 𝑩 = (

) e 𝑩

′

) de

𝟐

, encontre a matriz de transição de 𝑩 para 𝑩′.

Para isso, devemos escrever os vetores da base 𝐵 como combinação linear dos

vetores da base 𝐵′:

Dessa maneira, temos

[

]

𝐵→𝐵′

= [

]. Essa matriz pode ser usada para

converter qualquer vetor escrito na base 𝐵 para um vetor na base 𝐵′. Dessa

forma, temos uma matriz que faz a conversão para um vetor arbitrário e não

precisamos ficar buscando uma combinação linear para cada conversão

necessária, como fazíamos na Aula 3.

Por exemplo, suponha que temos um vetor 𝑣, tal que

[

]

𝐵

= [

], isto é:

Para convertê-lo para a base 𝐵′, basta calcularmos

[

]

𝐵→𝐵′

[

]

𝐵

, o resultado

será [𝑣]

𝐵′

[

] ⋅ [

] = [

]

Portanto

[

]

𝐵′

= [

], ou seja,

que é o mesmo vetor que obtivemos anteriormente desenvolvendo a

representação de 𝑣 na base 𝐵

Dessa forma, dadas duas bases 𝐵 = (𝑢

1

𝑛

) e 𝐵

′

1

𝑛

) de ℝ

𝑛

podemos obter a matriz

[

]

𝐵→𝐵′

de transição da base de 𝐵 para 𝐵′ por meio do

seguinte procedimento:

1. Escrever cada vetor 𝑢

𝑖

da base 𝐵 como combinação linear dos vetores 𝑣

𝑗

obtendo uma expressão do tipo 𝑢

𝑖

𝑖 1

1

𝑖 2

2

𝑖𝑛

𝑛

2. Escrever os coeficientes 𝛼

𝑖 1

2

𝑖𝑛

como os valores na 𝑖-ésima

coluna de

[

]

𝐵→𝐵′

Assim, a matriz será dada por

[𝑃]

𝐵→𝐵′

[

11

12

21

22

1 𝑛

2 𝑛

𝑛 1

𝑛 2

𝑛𝑛

]

Finalizaremos esta aula falando sobre um importante conjunto associado às

transformações lineares: seu núcleo.

5. Núcleo de uma transformação linear

Dada uma transformação linear 𝑇: ℝ

𝑚

𝑛

, seu núcleo (também chamado de

kernel e denotado por ker 𝑇) é o conjunto de vetores de ℝ

𝑚

definido por

ker 𝑇 = {𝑣 ∈ ℝ

𝑚

𝑛

Isto é, o núcleo de 𝑇 é o conjunto de vetores de ℝ

𝑚

nos quais, quando se aplica

a transformação 𝑇, obtém-se o vetor nulo ( 0 , 0 , ⋯ , 0 ) ∈ ℝ

𝑛

É possível obter o núcleo de uma transformação linear por meio da resolução de

um sistema linear.

Exemplo 10: Com a transformação 𝑻: ℝ

𝟑

𝟐

dada por sua matriz canônica

[

]

= [

] , calcule 𝒌𝒆𝒓 𝑻.

Seja [𝑣] = [

] a representação matricial de um vetor 𝑣 ∈ ker 𝑇. Sabemos que, ao

calcular 𝑇(𝑣), devemos obter o vetor nulo ( 0 , 0 ) de ℝ

2

, portanto, temos

Referências

ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. reimp.

Porto Alegre: Bookman, 2007.

STRANG, G. Álgebra linear e suas aplicações. São Paulo: Cengage Learning,