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Cap´ıtulo 8
Transformada de Fourier
8.1 A Integral de Fourier
Se f : R → R ´e uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2L, suave por partes, ent˜ao
f (x) = a 0 2
∑^ ∞
n=
an cos nπx L
nos pontos de continuidade de f , com
an =
L
∫ L
−L
f (t) cos nπt L
dt, n > 0 ,
bn =
L
∫ L
−L
f (t) sen
nπt L
dt, n > 1.
Se f n˜ao ´e uma fun¸c˜ao peri´odica, ent˜ao ela n˜ao pode ser representada por uma s´erie de Fourier. Podemos, no entanto, representar f por uma integral de Fourier, se f for pelo menos suave por partes e satisfizer al´em disso a condi¸c˜ao (^) ∫ ∞
−∞
|f (x)| dx < ∞,
ou seja, se f for absolutamente integr´avel. Neste caso, podemos escrever
f (x) =
0
(A(ω) cos xω + B(ω) sen xω) dω (8.3)
para todo x ∈ R que seja um ponto de continuidade de f , com
A(ω) =
π
−∞
f (t) cos ωt dt, ω > 0 ,
B(ω) =
π
−∞
f (t) sen ωt dt, ω > 0.
Mais precisamente,
Teorema. Seja f : R → R uma fun¸c˜ao suave por partes, absolutamente integr´avel. Ent˜ao f tem uma representa¸c˜ao por integral de Fourier que converge para f (x) nos pontos de continuidade de f e para a m´edia dos limites laterais nos pontos de descontinuidade de f.
1
2 Transformada de Fourier
Esta representa¸c˜ao integral para f pode ser motivado da seguinte forma: restrinja f ao intervalo fechado [−L, L] e estenda ela periodicamente fora deste intervalo. Ent˜ao, no intervalo [−L, L], f tem a representa¸c˜ao em s´erie de Fourier dada em (8.1) com os coeficientes dados em (8.2). Fazendo L → ∞, como a fun¸c˜ao f ´e integr´avel em R, segue que necessariamente a 0 → 0. Al´em disso, a integrabilidade de f tamb´em implica que a integral de f em R pode ser aproximada pela integral de f no intervalo [−L, L], desde que L seja suficientemente grande. Assim, temos que os coeficientes an e bn podem ser aproximados por
an ≈
L
−∞
f (t) cos nπt L
dt = π L
A
( (^) nπ L
bn ≈
L
−∞
f (t) sen nπt L
dt = π L
B
( (^) nπ L
Logo,
f (x) ≈
∑^ ∞
n=
[
A
( (^) nπ L
cos
nπx L
+ B
( (^) nπ L
sen
nπx L
] (^) π L
Mas, se denotarmos ωn = nπ/L e ∆ω = π/L, o que equivale a fazer uma parti¸c˜ao do intervalo [0, ∞) em subintervalos de comprimento ∆ω, reconhecemos uma soma de Riemann:
f (x) ≈
∑^ ∞
n=
[A(ωn) cos ωnx + B(ωn) sen ωnx] ∆ω.
Fazendo L → ∞, o que corresponde a fazer a norma da parti¸c˜ao ∆ω → 0, esta soma de Riemann converge para a integral de Fourier de f.
Exemplo 1. Obtenha a representa¸c˜ao integral de Fourier da fun¸c˜ao
f (x) =
1 se |x| 6 1 , 0 se |x| > 1.
Temos
A(0) =
π
−∞
f (t) dt =
π
− 1
dt =
π
A(ω) =
π
−∞
f (t) cos ωt dt =
π
− 1
cos ωt dt =
sen ωt πω
1
− 1
π
sen ω ω
B(ω) =
π
−∞
f (t) sen ωt dt =
π
− 1
sen ωt dt =
cos ωt πω
1
− 1
Observe que lim ω→ 0 A(ω) = A(0) (ou seja, obtivemos neste caso a fun¸c˜ao A(ω) cont´ınua) e a fun¸c˜ao B ´e a fun¸c˜ao identicamente nula, o que era de se esperar, porque f ´e uma fun¸c˜ao par. Logo
f (x) =
π
0
sen ω ω
cos xω dω.
Em particular, segue do teorema da integral de Fourier que ∫ (^) ∞
0
sen ω ω cos xω dω =
π/ 2 se |x| < 1 , π/ 4 se |x| = 1, 0 se |x| > 1 ,
e, escolhendo x = 0, obtemos o valor da integral de Dirichlet ∫ (^) ∞
0
sen ω ω
dω =
π 2
4 Transformada de Fourier
(c) Use a identidade trigonom´etrica sen^2 ω + cos^2 ω = 1 e o item anterior para obter
0
sen^4 ω ω^2
dω = π 4
(Sugest˜ao: sen^2 ω = sen^4 ω + sen^2 ω cos^2 ω = sen^4 ω + 14 sen^2 2 ω.)
- Usando a representa¸c˜ao integral de Fourier, prove que as seguintes integrais impr´oprias tˆem os valores especificados abaixo.
a)
0
cos xω + w sen xω 1 + ω^2
dω =
0 se x < 0 , π/ 2 se x = 0, πe−x^ se x > 0.
b)
0
1 − cos πω ω
sen xω dω =
π/ 2 se 0 < x < π, 0 se x > π.
c)
0
cos xω 1 + ω^2 dω =
π 2 e−x^ se x > 0.
d)
0
cos
πw 2 cos xω 1 − ω^2
dω =
π 2
cos x se |x| <
π 2
0 se |x| >
π 2
e)
0
sen πω sen xω 1 − ω^2
dω =
{ (^) π 2
sen x se 0 6 x 6 π, 0 se x > π.
f )
0
ω^3 sen xω ω^4 + 4
dω = π 2
e−x^ cos x se x > 0.
8.2 A Transformada de Fourier
8.2.1 Defini¸c˜ao
Recordamos a f´ormula de Euler:
eiθ^ = cos θ + i sen θ.
Dela segue que
cos θ =
eiθ^ + e−iθ 2
e sen θ =
eiθ^ − e−iθ 2 i
Rodney Josu´e Biezuner 5
Vamos escrever a integral de Fourier na forma complexa. Temos
f (x) =
0
(A(ω) cos xω + B(ω) sen xω) dω
π
0
−∞
f (t)(cos ωt cos xω + sen ωt sen xω) dtdω
π
0
−∞
f (t) cos ω(x − t) dtdω
2 π
0
−∞
f (t)(eiω(x−t)^ + e−iω(x−t)) dtdω
2 π
0
−∞
f (t)eiω(x−t)^ dtdω +
2 π
0
−∞
f (t)e−iω(x−t)^ dtdω
2 π
0
−∞
f (t)eiω(x−t)^ dtdω +
2 π
−∞
−∞
f (t)eiω(x−t)^ dtdω
2 π
−∞
−∞
f (t)eiω(x−t)^ dtdω.
onde no ´ultimo passo fizemos a mudan¸ca de vari´avel −ω. Portanto, a forma complexa da integral de Fourier ´e
f (x) =
2 π
−∞
−∞
f (t)eiω(x−t)^ dtdω. (8.5)
Por sua vez, a forma complexa da integral de Fourier pode ser escrita como
f (x) =
2 π
−∞
[
2 π
−∞
f (t)e−iωt^ dt
]
eiωx^ dω.
Defina a fun¸c˜ao f̂ : R → C por
f̂ (ω) = √^1 2 π
−∞
f (t)e−iωt^ dt. (8.6)
Observe que apesar da fun¸c˜ao f ser uma fun¸c˜ao definida na reta (isto ´e, uma fun¸c˜ao de uma vari´avel real)
tomando valores reais, em geral a fun¸c˜ao f̂ ´e uma fun¸c˜ao definida na reta tomando valores complexos. De fato, a fun¸c˜ao f̂ pode ser escrita mais explicitamente, usando a f´ormula de Euler, na forma
f̂ (ω) = √^1 2 π
−∞
f (t) cos ωt dt − i
−∞
f (t) sen ωt dt
A parte complexa de f̂ ser´a nula e portanto f̂ ser´a uma fun¸c˜ao real se e somente se a integral ∫ (^) ∞
−∞
f (t) sen ωt = 0.
Isso ocorrer´a se e somente se a fun¸c˜ao f for par. Portanto, no estudo da transformada de Fourier ´e inevit´avel o aparecimento de fun¸c˜oes de R em C, j´a que a maioria das fun¸c˜oes n˜ao s˜ao pares. Diremos que uma fun¸c˜ao de R em C ´e absolutamente integr´avel se as suas partes real e imagin´aria (que s˜ao fun¸c˜oes de de R em R) forem absolutamente integr´aveis. O espa¸co de tais fun¸c˜oes ser´a denotado por L^1 (R, C). Na nota¸c˜ao acima, temos que
f (x) =
2 π
−∞
f (ω)eiωx^ dω. (8.7)
Isso nos leva `a seguinte defini¸c˜ao. Definimos a transformada de Fourier de f , como sendo a fun¸c˜ao F que associa a cada fun¸c˜ao absolutamente integr´avel f : R → R a fun¸c˜ao f̂ : R → C definida pela express˜ao
Rodney Josu´e Biezuner 7
Temos
f̂ (ω) = √^1 2 π
−∞
f (t)e−iωt^ dt =
2 π
0
e−t−iωt^ dt =
2 π
0
e−(1+iω)t^ dt
2 π(1 + iω)
e−(1+iω)t
∞ 0
Como
∣e−iωt
∣ (^) = 1, segue que
lim t→∞
∣e−(1+iω)t
∣ = lim x→∞
∣e−t
∣e−iωt
∣ (^) = lim t→∞
∣e−t
logo f̂ (ω) = √^1 2 π(1 + iω)
1 − iω √ 2 π(1 + ω^2 )
8.2.2 Propriedades Operacionais
A transformada de Fourier se comporta muito bem com rela¸c˜ao a v´arias das opera¸c˜oes comumente efetua- das em fun¸c˜oes: combina¸c˜oes lineares, transla¸c˜ao, dilata¸c˜ao, diferencia¸c˜ao, multiplica¸c˜ao por polinˆomios e convolu¸c˜ao.
Propriedade 1 (Linearidade). Se f, g : R → C s˜ao fun¸c˜oes absolutamente integr´aveis e a, b ∈ R, ent˜ao
F(af + bg) = aF(f ) + bF(g).
Prova. Segue direto da defini¸c˜ao e da propriedade de linearidade da integral. •
Propriedade 2 (Transformadas de Fourier de Derivadas). Se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel absolutamente integr´avel tal que f ′^ tamb´em ´e uma fun¸c˜ao absolutamente integr´avel, ent˜ao
F(f ′)(ω) = iωF(f )(ω).
Se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao duas vezes diferenci´avel absolutamente integr´avel tal que f ′^ e f ′′^ tamb´em s˜ao fun¸c˜oes absolutamente integr´aveis, ent˜ao
F(f ′′)(ω) = iωF(f ′)(ω) = −ω^2 F(f )(ω).
Em geral, se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao k vezes diferenci´avel absolutamente integr´avel tal que as suas derivadas at´e a ordem k tamb´em s˜ao fun¸c˜oes absolutamente integr´aveis, ent˜ao
F(f (k))(ω) = (iω)kF(f )(ω).
Prova. Integrando por partes, temos que
F(f ′)(ω) =
2 π
−∞
f ′(t)e−iωt^ dx =
2 π
[
f (t)e−iωt
−∞ −^ (−iω)
−∞
f (t)e−iωt^ dt
]
= iω
−∞
f (t)e−iωt^ dt = iωF(f ),
porque, como f ′^ ´e absolutamente integr´avel, necessariamente lim t→±∞ |f ′(t)| = 0, logo lim t→±∞
∣f ′(t)e−iωt
As f´ormulas para as transformadas de Fourier de derivadas de ordem superior seguem da aplica¸c˜ao iterada desta f´ormula. •
8 Transformada de Fourier
Propriedade 3 (Derivadas de Transformadas de Fourier). Se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao absoluta- mente integr´avel tal que xf (x) tamb´em ´e uma fun¸c˜ao absolutamente integr´avel, ent˜ao
F(xf (x))(ω) = iF(f )′(ω).
Se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao absolutamente integr´avel tal que x^2 f (x) tamb´em ´e uma fun¸c˜ao absoluta- mente integr´avel, ent˜ao F(xf (x))(ω) = −F(f )′′(ω). Em geral, se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao absolutamente integr´avel tal que xkf (x) tamb´em ´e uma fun¸c˜ao absolutamente integr´avel, ent˜ao
F(xkf (x))(ω) = ikF(f )(k)(ω).
Prova. Passando a derivada para dentro do sinal de integra¸c˜ao, temos
d dω
F(f (x))(ω) =
2 π
d dω
−∞
f (t)e−iωt^ dt =
2 π
−∞
d dω
[f (t)e−iωt] dt
2 π
−∞
(−it)f (t)e−iωt^ dt = (−i)
2 π
−∞
tf (t)e−iωt^ dt
= −iF(xf (x))(ω).
Multiplicando ambos os lados por −i obtemos a primeira f´ormula. As outras f´ormulas seguem da aplica¸c˜ao iterada da primeira. •
Propriedade 4 (Transformada de Fourier de uma Transla¸c˜ao). Se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao absolu- tamente integr´avel, ent˜ao F(f (x − a))(ω) = e−iωaF(f (x))(ω). Reciprocamente, F(eiaxf (x))(ω) = F(f (x))(ω − a).
Prova. Mudando vari´aveis, temos
F(f (x − a))(ω) =
2 π
−∞
f (t − a)e−iωt^ dt =
2 π
−∞
f (t)e−iω(t+a)^ dt
= e−iωa
−∞
f (t)e−iωt^ dt = e−iωaF(f (t)).
A segunda f´ormula ´e obtida diretamente:
F(eiωxf (x))(ω) =
2 π
−∞
eiatf (t)e−iωt^ dt =
2 π
−∞
f (t)e−i(ω−a)t^ dt
= F(f (x))(ω − a).
Propriedade 5 (Transformada de Fourier de uma Dilata¸c˜ao). Se f : R → C ´e uma fun¸c˜ao absolu- tamente integr´avel e a 6 = 0, ent˜ao
F(f (ax))(ω) =
|a|
F(f )
( (^) ω a
Em particular, F(f (−x))(ω) = F(f ) (−ω).
10 Transformada de Fourier
Prova. Mudando a ordem de integra¸c˜ao e usando a Propriedade 4, temos
F(f ∗ g)(ω) =
2 π
−∞
(f ∗ g)(t)e−iωt^ dt =
2 π
−∞
[∫ ∞
−∞
f (t − s)g(s) ds
]
e−iωt^ dt
−∞
[
2 π
−∞
f (t − s)e−iωt^ dt
]
g(s) ds =
−∞
[
e−iωsF(f )(ω)
]
g(s) ds
= F(f )(ω)
−∞
g(s)e−iωs^ ds = F(f )(ω)
2 πF(g)(ω).
8.2.3 Transformada de Fourier da Fun¸c˜ao Gaussiana
A transformada de Fourier da fun¸c˜ao gaussiana desempenha um papel fundamental na resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao do calor na barra infinita, conforme veremos mais tarde. Aqui vamos calcul´a-la. Recordamos a integral impr´opria (^) ∫ ∞
−∞
e−x
2 dx =
π.
O seu valor pode ser obtido da seguinte forma:
(∫ (^) ∞
−∞
e−x
2 dx
−∞
e−x
2 dx
−∞
e−y
2 dy
−∞
−∞
e−x
2 e−y
2 dxdy
−∞
−∞
e−(x
(^2) +y (^2) ) dxdy =
∫ (^2) π
0
0
e−r
2 rdrdθ =
∫ (^2) π
0
[
e−r
2
]∞
0
dθ
∫ (^2) π
0
dθ = π.
Teorema. Seja a > 0. Ent˜ao,
F(e−^ ax 2 2 ) =
a
e−^ ω 2 a^2 .
Em particular, F(e−^
x 22 ) = e−^
ω 22 ,
isto ´e, a transformada de Fourier da fun¸c˜ao e−^ x 22 ´e ela pr´opria.
Prova. Seja f (x) = e−^ ax 22
. Ent˜ao f satisfaz a equa¸c˜ao diferencial
f ′(x) + axf (x) = 0.
Aplicando a transformada de Fourier a ambos os lados desta equa¸c˜ao, obtemos (usando as Propriedades 1, 2 e 3) iω f̂ (ω) + ai f̂ ′(ω) = 0
ou f̂ ′(ω) + ω a
f (ω) = 0.
Resolvendo esta equa¸c˜ao atrav´es de uma integra¸c˜ao simples, obtemos
f̂ (ω) = Ce−^ ω
2 2 a
Rodney Josu´e Biezuner 11
para alguma constante C. [Em uma nota¸c˜ao mais usual, a equa¸c˜ao diferencial ´e y′^ +
ω a
y = 0, donde
y′^ = −
ω a
y ou
y′ y
ω a
; integrando ambos os lados desta equa¸c˜ao obtemos log y = − ω
2 2 a +^ C^ e da´ı o resultado acima.] A constante C pode ser determinada atrav´es da integral impr´opria relembrada acima:
C = f̂ (0) =
2 π
−∞
f (t) dt =
2 π
−∞
e−^
at 22 dt =
2 π
a
−∞
e−s
2 ds =
a
A fun¸c˜ao gaussiana e−^ x 22 n˜ao ´e a ´unica fun¸c˜ao cuja transformada de Fourier ´e ela pr´opria.
Rodney Josu´e Biezuner 13
8.2.5 Exerc´ıcios
- Calcule a transformada de Fourier das fun¸c˜oes a seguir (em todos os casos, a > 0).
a) f (x) =
1 se |x| < a, 0 se |x| > a. g) f (x) =
x se |x| < 1 , 0 caso contr´ario.
b) f (x) = e−|x|. h) f (x) =
x^2 se |x| < 1 , 0 caso contr´ario.
c) f (x) =
e−|x|^ se |x| < 1 , 0 se |x| > 1. i) f (x) =
1 − |x| se |x| < 1 , 0 caso contr´ario.
d) f (x) =
ex^ se x < 0 , 0 se x > 0. j) f (x) =
1 − x^2 se |x| < 1 , 0 caso contr´ario.
e) f (x) =
sen x se |x| < π, 0 caso contr´ario. k) f (x) =
x a
se |x| < a, 0 se |x| > a.
f ) f (x) =
cos x se |x| <
π 2
0 caso contr´ario.
- (Rela¸c˜ao de Reciprocidade para a Transformada de Fourier)
(a) Use a defini¸c˜ao das transformadas para provar que
F(f )(x) = F−^1 (f )(−x).
(b) Use o item anterior para obter a seguinte rela¸c˜ao de reciprocidade:
F^2 (f )(x) = f (−x).
(c) Conclua que f ´e uma fun¸c˜ao par se e somente se F^2 (f ) = f ; f ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar se e somente se F^2 (f ) = −f. (d) Mostre que para qualquer fun¸c˜ao f temos F^4 (f ) = f.
- Usando a Propriedade 4, conclua as identidades a seguir:
F(cos(ax)f (x)) =
F(f )(ω − a) + F(f )(ω + a) 2
F(sen(ax)f (x)) =
F(f )(ω − a) − F(f )(ω + a) 2 i
- Use o exerc´ıcio anterior e transformadas de Fourier de fun¸c˜oes conhecidas para calcular as transforma- das de Fourier das seguintes fun¸c˜oes:
a) f (x) = cos x ex^2
. b) f (x) = sen 2x e|x|^
c) f (x) = cos x + cos 2x x^2 + 1
. d) f (x) = sen x + cos 2x x^2 + 4
e) f (x) =
cos x se |x| < 1 , 0 se |x| > 1. f )^ f^ (x) =
sen x se |x| < 1 , 0 se |x| > 1.
14 Transformada de Fourier
- Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular a transfor- mada de Fourier das fun¸c˜oes a seguir.
a) f (x) =
x se |x| 6 1 , 0 se |x| > 1. f ) f (x) =
x^2 (1 + x^2 )^2
b) f (x) = xe−x
2
. g) f (x) = (1 − x^2 )e−x
2 .
c) f (x) = x^2 e−|x|. h) f (x) = (1 − x)^2 e−|x|.
d) f (x) =
xe−x^ se x < 0 , 0 se x > 0. i) f (x) = xe−^ (^12) (x−1) 2 .
e) f (x) =
x 1 + x^2
. j) f (x) = (1 − x)e−|x−^1 |
16 Transformada de Fourier
Portanto, ̂ u(ω, t) = f̂ (ω)e−kω
(^2) t
. (8.12)
Tomando transformadas de Fourier inversas de ambos os lados da equa¸c˜ao, obtemos
u(x, t) =
2 π
−∞
f (ω)e−kω
(^2) t eixω^ dω. (8.13)
As vezes, no entanto, esta solu¸c˜ao n˜ao ´e conveniente em certas aplica¸c˜oes pr´aticas. Usando a propriedade da transformada de Fourier com rela¸c˜ao a uma convolu¸c˜ao, podemos obter uma solu¸c˜ao em termos da condi¸c˜ao inicial f (x). De fato, voltandoa equa¸c˜ao que d´a a solu¸c˜ao û(ω, t), observamos que a segunda fun¸c˜ao do lado direito ´e uma gaussiana em ω que, conforme vimos anteriormente, a menos de uma constante ´e a transformada de Fourier dela pr´opria. Mais precisamente,
F(e−^
a 2 x 2 ) =
a
e−^
ω 2 a^2 .
Da´ı, se
g(x) =
2 kt
e−^ 4 xkt^2 ,
ent˜ao ̂ g(ω) = e−kω
(^2) t .
[Tome a = 1/(2kt).] Logo, podemos escrever
̂ u(ω, t) = f̂ (ω)̂ g(ω).
Lembrando agora que a transformada de Fourier de uma convolu¸c˜ao ´e o produto das transformadas de Fourier das fun¸c˜oes multiplicadas por
2 π, ou seja
f̂ (ω)̂ g(ω) = √^1 2 π
f ∗ g(ω),
segue que
̂ u(ω, t) =
2 π
f ∗ g(ω).
Portanto, aplicando a transformada de Fourier inversa, obtemos
u(x, t) =
2 π
(f ∗ g)(x)
ou
u(x, t) =
πkt
−∞
f (s)e−^
(x−s)^2 4 kt (^) ds. (8.14)
Esta ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do calor em uma barra infinita, e al´em disso a ´unica solu¸c˜ao do problema, se entendermos por solu¸c˜ao uma fun¸c˜ao cont´ınua e limitada em t > 0 (existem outras solu¸c˜oes, mas elas n˜ao s˜ao limitadas, e do ponto de vista f´ısico esperamos que a solu¸c˜ao do problema seja uma distribui¸c˜ao de temperaturas limitada).
Exemplo 4. Resolva o problema
ut =
uxx se − ∞ < x < ∞ e t > 0 , u(x, 0) = e−x 2 se − ∞ < x < ∞.
Rodney Josu´e Biezuner 17
Solu¸c˜ao: Denotando f (x) = e−x
2 , segue que
û(ω, t) = f̂ (ω)e−kω
(^2) t
e−^
ω 42 e−^
ω 42 t
e−^
(1+t)ω^2 (^4).
Logo,
u(x, t) =
F−^1 (e−^
(1+t)ω^2 (^4) ) = √^1 2
1 + t e−^ 1+x^2 t =
1 + t
e−^ 1+x^2 t .
pois fazendo 1+ 4 t= (^21) a , segue que a = (^) 1+^2 t.
8.3.2 A Equa¸c˜ao da Onda em uma Corda Infinita
Vamos resolver o problema das vibra¸c˜oes transversais de uma corda infinita, homogˆenea e de peso desprez´ıvel:
utt = c^2 uxx se − ∞ < x < ∞ e t > 0 , u(x, 0) = f (x) se − ∞ < x < ∞, ut(x, 0) = g(x) se − ∞ < x < ∞.
Assumimos que as fun¸c˜oes f, g s˜ao cont´ınuas, limitadas e absolutamente integr´aveis. Aplicando a transfor- mada de Fourier a este problema, obtemos a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria em t ̂
utt(ω, t) = c^2 ω^2 ̂u(ω, t) ̂ u(ω, 0) = f̂ (ω), ̂ ut(ω, 0) = ̂g(ω).
A solu¸c˜ao geral desta equa¸c˜ao ´e
û(ω, t) = A(ω) cos cωt + B(ω) sen cωt.
Para obter os valores de A(ω) e B(ω), usamos a condi¸c˜oes iniciais:
f̂ (ω) = ̂u(ω, 0) = A(ω), ̂ g(ω) = ̂ut(ω, 0) = cωB(ω).
Portanto,
û(ω, t) = f̂ (ω) cos cωt +
g(ω) cω
sen cωt.
Aplicando a transformada de Fourier inversa, obtemos a solu¸c˜ao do problema:
u(x, t) =
2 π
−∞
[̂
f (ω) cos cωt +
g(ω) cω
sen cωt
]
eiωx^ dω. (8.16)
Em alguns casos espec´ıficos, esta integral pode ser computada explicitamente.
Exemplo 5. Resolva o problema
utt = uxx se − ∞ < x < ∞ e t > 0 , u(x, 0) =
1 + x^2
se − ∞ < x < ∞, ut(x, 0) = 0. se − ∞ < x < ∞.
Solu¸c˜ao: Denotando f (x) =
1 + x^2 , segue que
̂ u(ω, t) = f̂ (ω) cos ωt =
π 2
e−|ω|^ cos ωt.
Rodney Josu´e Biezuner 19
a)
uxt = uxx
u(x, 0) =
π 2
e−|x|^ b)
utt = uxxxx u(x, 0) = f (x).
c)
3 ut + ux = 0 u(x, 0) = f (x). d)
aut + bux = 0 u(x, 0) = f (x).
e)
ut + tux = 0 u(x, 0) = f (x). f )
ut = t^2 ux u(x, 0) = 3 cos x.
g)
ut + a(t)ux = 0 u(x, 0) = f (x), h)
ut + (sen t)ux = 0 u(x, 0) = sen x.
i)
ut = ux u(x, 0) = f (x). j)
ut = tuxx u(x, 0) = f (x),
k)
ut = a(t)uxx u(x, 0) = f (x), , a(t) > 0. l)
utt + 2ut = −u u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = g(x).
m)
ut = e−tuxx u(x, 0) = 100, n)
ut = tuxxxx u(x, 0) = f (x),
o)
utt = uxxt u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = g(x).
p)
utt − 4 uxxt + 3uxxxx u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = g(x).
- Resolva o problema do calor com convec¸c˜ao na barra infinita (isto ´e, existe troca de calor da barra com o meio ambiente): { ut = c^2 uxx + kux se − ∞ < x < ∞ e t > 0 , u(x, 0) = f (x) se − ∞ < x < ∞.
- Resolva o problema da vibra¸c˜ao da corda infinita com amortecimento (b > 0):
utt = c^2 uxx − 2 but se − ∞ < x < ∞ e t > 0 , u(x, 0) = f (x) se − ∞ < x < ∞, ut(x, 0) = g(x) se − ∞ < x < ∞.
- Resolva o problema da vibra¸c˜ao na viga infinita:
utt = c^2 uxxxx se − ∞ < x < ∞ e t > 0 , u(x, 0) = f (x) se − ∞ < x < ∞, ut(x, 0) = g(x) se − ∞ < x < ∞.
- Resolva a equa¸c˜ao de Korteweg-de Vries linearizada: { ut = c^2 uxxx se − ∞ < x < ∞ e t > 0 , u(x, 0) = f (x) se − ∞ < x < ∞.
Encontre a solu¸c˜ao para f (x) = e−x
2 / 2 e quando f ´e a fun¸c˜ao pulso (em ambos os casos tome c = 1).
20 Transformada de Fourier
- Usando o m´etodo da transformada de Fourier, mostre que a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Laplace no semiplano superior (problema de Dirichlet) { uxx + uyy = 0 se − ∞ < x < ∞ e y > 0 , u(x, 0) = f (x) se − ∞ < x < ∞.
´e dada por u(x, y) = y π
−∞
f (s) (x − s)^2 + y^2
ds.
Use esta f´ormula (chamada a f´ormula integral de Poisson) para resolver o problema de Dirichlet para
f (x) =
100 se − 1 6 x 6 1 , 0 se x > 1.
Determine as isotermas no semiplano superior para este problema espec´ıfico.
- Definimos o n´ucleo de Poisson como sendo a fun¸c˜ao
Py (x) =
π
y x^2 + y^2
, para − ∞ < x < ∞ e y > 0.
Usando a transformada de Fourier, mostre a propriedade de semigrupo do n´ucleo de Poisson:
(Py 1 ∗ Py 2 )(x) = Py 1 +y 2 (x).
De posse desta propriedade e usando tamb´em o exerc´ıcio anterior, resolva o problema de Dirichlet para f (x) =
1 + x^2
. Quais s˜ao as isotermas neste caso?
