Transformada de Karman-Trefftz, Exercícios de Engenharia Aeronáutica

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA TÉRMICA E DE FLUIDOS

Transformada de

Karman-Trefftz

Willian Minoru Okita RA: 162576 11/

1 – Introdução A transformação de Joukowski envolve dois zeros e leva a séries de aerofólios duplamente infinitos. Uma forma mais geral de transformação envolve três ou mais zeros e leva à uma grande variedade de aerofólios. Este tipo de transformação, entretanto, produz basicamente aerofólios que tem “cusp” na borda de fuga e mais importante generalização da transformação de Joukowshi é que ela resulta numa seção de aerofólio cujas superfícies superior e inferior se encontram num ângulo finito na borda de fuga. Esta transformação tem dois zeros 𝑧=±𝑐 mas o perfil do aerofólio é formado por dois arcos que se encontram com ângulo 𝜏 na borda de ataque e que a corda do aerofólio é 2𝑛𝑐. Os aerofólios deste tipo Joukowski generalizado (transformada Karman-Trefftz) envolve três parâmetros arbitrários, determinando respectivamente o arqueamento, a espessura e o ângulo de borda de fuga. Deste modo uma gama grande de aerofólios pode ser projetada por este método e são adequados para projetos de asas para aerofólios. O objetivo deste trabalho será projetar diversos tipos de aerofólios utilizando a transformada de Karman-Trefftz com seus respectivos coeficientes de pressão.

Figura 2 No plano ζ os pontos 𝐴 1 e 𝐵 1 são ζ=±nc correspondentes aos pontos A e B do plano 𝑧. Agora, considere o ponto P qualquer ponto sobre o circulo de 𝑃 1 o ponto correspondente sobre o aerofólio. Chama os ângulos APB e 𝐴 1 𝑃 1 𝐵 1 por 𝜙 e 𝜙 1 , respectivamente. A interpretação geométrica da transformação conformal, equação (3) é 𝐴 1 𝑃 1 𝐵 1 𝑃 1 =(AP𝐵𝑃)𝑛 (4) 𝜙 1 =𝑛 𝜙 (5)

A primeira relação mostra que 𝑃 1 é posicionado sobre um da família de círculos coaxiais tendo 𝐴 1 𝐵 1 como pontos limitantes. A segunda relação que 𝑃 1 também é posicionado sobre um da família de círculos coaxiais passando através de 𝐴 1 e 𝐵 1. Esta propriedade geométrica pode ser usada para obter a forma do aerofólio, mas geralmente por causa da escala não é muito precisa, e, portanto, é preferível usar método analítico. No plano 𝑧, CP faz ângulo 𝜃 com eixo x, 𝐴𝑃=𝑟, 𝐵𝑃=𝑠. Também escreve 𝑘=𝑎𝑐 (6) 𝜆=𝑠𝑟 (7) Assim P é o ponto 𝑧=𝑎(𝑒𝑖𝛽+𝑒𝑖 𝜃)−𝑐 (8) E os vetores AP, BP são respectivamente 𝐴𝑃=𝑎(𝑒𝑖𝛽+𝑒𝑖 𝜃)−2𝑐 (9) 𝐵𝑃=𝑎(𝑒𝑖𝛽+𝑒𝑖 𝜃) (10) Após tratamento matemático temos 𝑡𝑎𝑛𝜙=𝑏+𝑡𝑘(1+𝑏𝑡)−(1−𝑏𝑡) (11) 𝜆=𝑘(1+𝑏𝑡)(𝑏+𝑡)𝑠𝑒𝑛𝜙 (12) Onde 𝑏=𝑡𝑎𝑛𝛽2 (13) 𝑡=𝑡𝑎𝑛𝜃2 (14) Por meio dessas formulas é possível calcular os valores de 𝜆 e 𝜙 correspondente a qualquer ponto P sobre o círculo. Voltando para o plano ζ, temos da equação (4) e (5)

Deste modo a corda total 𝐵 1 𝑄 1 é 𝑛𝑐(1+𝜉 0 )=2𝜇 0 𝑛𝑐𝜇 0 −1 (24) Este valor é maior que 2𝑛𝑐. Calculo da sustentação e momento de guinada A sustentação do aerofólio com incidência 𝛼 é dada por 𝐿=4𝜋𝑎𝜌𝑉 2 𝑠𝑒𝑛(𝛼+𝛽) (25) O momento de guinada em torno do centro C é 𝑀𝑐=2𝜋𝑏 2 𝜌𝑉 2 𝑠𝑒𝑛2(𝛼+𝛾) (26) Onde o coeficiente 𝑎 1 da transformada geral (1) é 𝑎 1 = 13 (𝑛 2 −1)𝑐 2 (27) E assim temos 𝑀𝑐= 23 (𝑛 2 −1)𝜋𝑐 2 𝜌𝑉 2 𝑠𝑒𝑛2𝛼 (28) Para continuar a analise consideramos que 𝛼, 𝛽, (𝑘−1), (2−𝑛) e 1𝜇 0 ⁄ são pequenas grandezas e, portanto os quadrados destas são desprezados. Assim a corda do aerofólio é 4𝑐( 12 𝑛+1𝜇 0 ) (29)

2.3 – Coeficiente de sustentação 𝐶𝑙=𝜋(𝑘+ 12 (2−𝑛)−1𝜇 0 )(𝛼+𝛽) (30) O coeficiente de momento de guinada em torno da borda de ataque 𝑄 1 é 𝐶𝑚=𝜋𝛽2− 14 (1+ 56 (2−𝑛)+3𝜇 0 )𝐶𝑙 (31) 2.4 – Distribuição da velocidade e pressão A velocidade em qualquer ponto do círculo com circulação no plano 𝑧 correspondente à seção arqueada e com sustentação no plano 𝜉 é dada por: 𝑞𝑐=2𝑈[𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐+𝑠𝑒𝑛(𝛼+𝛽)] (32) A velocidade no ponto correspondente sobre o aerofólio 𝑞𝑎 é obtida diretamente pela aplicação da razão de velocidade entre os planos transformados, ou seja: 𝑞𝑎=𝑞𝑐[1−2𝑏2𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃+(𝑏𝑟) 4 ]12⁄ (33) Onde o ângulo 𝜃𝑐 não é igual a 𝜃, a variável de transformação. Mas, 𝜃𝑐=𝛼+𝑠𝑒𝑛−1[𝑟𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃] (34) 𝑟𝑎=𝑏+𝑏𝑒+𝑏𝑒𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑏𝛽𝑠𝑒𝑛𝜃𝑏+𝑏𝑒=1+𝑒𝑐𝑜𝑠𝜃+𝛽𝑠𝑒𝑛𝜃1+𝑒 (35) O coeficiente de pressão 𝐶𝑝 𝐶𝑝=1−(𝑞𝑎𝑈) 2 (36)