Baixe Matemática Aplicada - Aula 5: Transformadas de Laplace e Decomposição em Frações Parciais e outras Exercícios em PDF para Matemática Aplicada, somente na Docsity!
Matem´atica Aplicada – Aula 5
Prof. Ern´ee Kozyreff Filho
1 Tabela de transformadas de Laplace (T.L.)
f (t) L [f (t)] = F (s)
1 1 s
t 1 s^2
tn^ n! sn+
e−at^ s +^1 a
sen ωt
ω s^2 + ω^2
cos ωt
s s^2 + ω^2
senh ωt
ω s^2 − ω^2
cosh ωt
s s^2 − ω^2
Primeiro teorema da transla¸c˜ao Se L [f (t)] = F (s), ent˜ao
L
[
e−atf (t)
]
= F (s + a).
2 Decomposi¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais em fra¸c˜oes par-
ciais
Fun¸c˜oes racionais s˜ao aquelas do tipo p(s) q(s)
, em que p(s) e q(s) s˜ao dois polinˆomios. Para
determinar a anti-transformada de Laplace desse tipo de fun¸c˜ao, ´e preciso fazer a sua decomposi¸c˜ao numa soma de fra¸c˜oes mais simples.
Exemplos L −^1
[
3 s − 2 (s − 3)(s + 4)
]
= L −^1
[
s − 3 +^
s + 4
]
= e^3 t^ + 4e−^4 t
L −^1
[ (^2) s − 1 s^3 − s^2
]
= L −^1
[ 1
s +
(s + 1) +
(s − 1)
]
2 e
−t (^) +^1 2 e
t
Quando necess´ario, teremos que fatorar o denominador em polinˆomios irredut´ıveis.
Exemplos s^2 + 6s + 9 = (s + 3)(s + 3) = (s + 3)^2 s^2 − 4 s + 4 = (s − 2)(s − 2) = (s − 2)^2 s^2 − 4 = (s + 2)(s − 2) s^2 + 5s + 6 = (s + 2)(s + 3) s^2 − 5 s + 6 = (s − 2)(s − 3) s^2 − 9 s + 20 = (s − 4)(s − 5) s^2 + s − 20 = (s − 4)(s + 5) s^3 − s = s(s + 1)(s − 1) s^3 + 5s^2 − 14 s = s(s + 7)(s − 2) s^2 + 4 ´e irredut´ıvel a fatores de primeiro grau s^2 + 4s + 5 ´e irredut´ıvel a fatores de primeiro grau s^3 + 4s^2 + 5s = s(s^2 + 4s + 5)
Exemplos L −^1
[ (^3) s − 8 s^2 − 5 s + 6
]
= L −^1
[ (^3) s − 8 (s − 2)(s − 3)
]
= L −^1
[ 2
s − 2
s − 3
]
= 2e^2 t^ + e^3 t
A decomposi¸c˜ao em fra¸c˜oes parciais ser´a diferente de acordo com o polinˆomio do denominador.
- Para cada fator simples do tipo (s − si), teremos um termo (^) s −A s i
- Para cada fator do tipo (s − si)n, teremos n termos (^) s A−^1 s i
, (^) (s −A 2 s i)^2
,... , (^) (s −A ns i)n
- Para cada fator irredut´ıvel do tipo s^2 + bs + c, teremos um termo (^) s 2 As (^) + bs+^ B+ c
Exemplos L −^1
[
7 s^2 + 5s − 3 (s − 1)(s + 2)^2
]
= L −^1
[
s − 1
s + 2
(s + 2)^2
]
= et^ + 6e−^2 t^ − 5 te−^2 t
L −^1
[
3 s^2 + 2s − 5 (s + 3)(s^2 + 2s + 5)
]
= L −^1
[
s + 3 +^
s − 5 s^2 + 2s + 5
]
= L −^1
[
s + 3 +^
s − 5 (s + 1)^2 + 2^2
]
= 2e−^3 t^ + e−t^ cos 2t − 3 e−t^ sen 2t
