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Transformadores elétricos I-
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Transformador ideal - Relações básicas |
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Um transformador ideal pode ser representado pelo arranjo da Figura 01: duas bobinas, com N 1 e N 2 espiras de fio condutor de resistência elétrica desprezível, enroladas em um núcleo fechado de material magnético ideal, de forma que o mesmo fluxo magnético Φ atravessa ambos os enrolamentos.
Segundo a lei da Faraday, as tensões são dadas por v 1 (t) = N 1 dΦ/dt e v 2 (t) = N 2 dΦ/dt. Combinando e simplificando, v 1 / v 2 = N 1 / N 2 #A.1#.
Fig 01 Portanto, as tensões em cada enrolamento são proporcionais aos seus números de espiras. Aplicando-se a lei de Ampère, ∫ H · d ℓ = itotal = N 1 i 1 + N 2 i 2. Para um núcleo magnético ideal, μ → ∞ e H → 0. N 1 i 1 + N 2 i 2 = 0 #B.1#. i 1 / i 2 = − N 2 / N 1 #B.2#. Portanto, as correntes em cada bobina são inversamente proporcionais aos seus números de espiras. A igualdade #B.1# multiplicada por v 1 resulta em N 1 v 1 i 1 + N 2 v 1 i 2 = 0. Combinando com #A.1# e simplificando, v 1 i 1 + v 2 i 2 = 0 ou P 1 + P 2 = 0 #C.1#, onde P é potência. A relação acima indica que a potência líquida é nula, ou seja, não há perda de potência no transformador ideal. As marcas de ponto (•) nos terminais dos enrolamentos indicam correspondência de sentidos, ou seja, correntes que entramnos pontos produzem fluxos magnéticos no mesmo sentido. Assim, um acréscimo de corrente que entra no ponto de uma bobina produz uma tensão positiva no ponto da outra. Consideram-se agora tensões e correntes complexas, simbolizadas por V e I (maiúsculos).
Fig 02 A igualdade #A.1# é escrita como V 1 / V 2 = N 1 / N 2 #D.1#.
A igualdade #B.2# é escrita I 1 / I 2 = N 2 / N 1 #E.1#. (significa uma corrente saindo do ponto). A Figura 02 apresenta o esquema elétrico com símbolo usual de transformador (supostamente ideal neste caso). São considerados parâmetros complexos e uma carga de impedância Z. A potência complexa é dada por S 1 = V 1 I 1 ^ = (N 1 V 2 / N 2 ) (N 2 I 2 / N 1 )^ = V 2 I 2 *^ = S 2 #F.1#. Conclui-se então que, no transformador ideal, a potência complexa é mantida. A impedância de entrada é determinada por Z 1 = V 1 / I 1 = (N 1 V 2 / N 2 ) / (N 2 I 2 / N 1 ) = (N 1 / N 2 ) 2 (V 2 / I 2 ). Portanto, Z 1 = (N 1 / N 2 ) 2 Z 2 #G.1#. Isso signiimpedância da carga no secundário é refica que o transformador pode ser usado como um meio de acoplamento de impedâncias entre circuitos. Afletida para o primário na razão do inverso do quadrado da relação entre espiras secundário / primário. A relação de transformação n é dada por n = N 2 / N 1 #H.1#. E as principais igualdades anteriores podem ser escritas com uso desse parâmetro:
V 2 = n V 1 I 2 = (1/n) I 1 S 2 = S 1 Z 1 = (1/n^2 ) ZL #I.1#
Exemplo numérico: no circuito da Figura 03, são conhecidos N 1 = 1000 | N 2 = 100 | V (^) s = 2500 /_0° V | Z (^) s = (0,25 + j 2) Ω | ZL = (0,2375 + j 0,05) Ω. Determinar as tensões e correntes em cada lado do transformador, que é considerado ideal.
Fig 03 Usando a lei das tensões de Kirchhoff no lado da fonte, − V (^) s + Zs I 1 + V 1 = 0. (0,25 + j 2) I 1 + V 1 = 2500 /_0°. Aplicando a mesma lei no lado da carga, − V 2 + ZL I 2 = 0. Portanto, (0,2375 + j 0,05) I 2 = V 2. A relação de transformação é n = N 2 /N 1 = 100/1000 = 0,1. Das igualdades de #I.1#,
V 1 = 10 V 2 e I^2 = 10 I^1. Combinando com a anterior, V 1 = 10 [ (0,2375 + j 0,05) 10 I^1 ] = (23,75 + j 5) I 1. Inserindo V^1 na outra relação anterior, (0,25 + j 2) I 1 + (23,75 + j 5) I 1 = 2500 /_0° ou (24 + j 7) I 1 = 2500 /_0°. Calculando,
I 1 = 100 /−16,26° A. E a tensão do primário é V 1 = Vs − Z (^) s I 1 = 2500 /0° − (0,25 + j 2) (100 /−16,26°) = 2427,06 /−4,37° V.
Tensão e corrente do secundário: V 2 = 0,1 V^1 = 242,7 /−4,37° V e I^2 = 10 I 1 = 1000 /−16,26° A.
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L 1 = N 1 Φ 11 / i 1 e L 2 = N 2 Φ 22 / i 2 #D.2#.
Supondo uma proporcionalidade Φ m = k^1 Φ^11 = k^2 Φ 22 #D.3# e combinando com as igualdades anteriores M^2 = k 1 k 2 L 1 L 2. Unificando as constantes de proporcionalidade, obtém-se a indutância mútua em função das indutâncias dos enrolamentos: M = k √(L 1 L 2 ) #E.1#. Onde k é o coeficiente do acoplamento indutivo , que pode variar de 0 a 1. Transformadores com núcleo de ferro podem ter valores tão altos quanto 0,998. Números na faixa de 0,50 são típicos para transformadores sem núcleo (núcleo de ar). Na prática, o valor de M (e, por conseqüência, o de k) pode ser obtido pela medição da indutância do primário e secundário em série, que deve ser L = L(•) de referência (adição ou oposição de tensões). 1 + L 2 ± M. O sinal positivo ou negativo depende da ligação das bobinas em relação ao ponto
Fig 02 Exemplo numérico: determinar a tensão de saída V (^) x do circuito da Figura 02. Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff no lado primário, 2 I 1 + V 1 = 10. Substituindo V 1 pelo valor dado em #C.3#, (2 + j 2) I 1 + j 2 I 2 = 10. Para o lado do secundário, (1 + 1) I 2 =^ −^ V^2. Substituindo V 2 pelo valor de #C.4# e simplificando, j 2 I 1 + (2 + j 2) I 2 = 0. Essa igualdade e a anterior formam um sistema de equações lineares cuja solução é I 1 ≈^ 3,17 /−18,4° A e I^2 ≈^ 2,24 /−153,4° A. Portanto, V^ x = 1 I 2 ≈^ 2,24 /_−153,4° V.
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Indutância mútua: modelos e análise de tensões e correntes Topo | Fim
As igualdades #C.1# e #C.2# da página anterior permitem construir um modelo para a indutância mútua com domínio detempo. Ver Figura 01 abaixo. Essas mesmas igualdades podem ser representadas na forma de matrizes conforme #A.1#.
L 1 M
M L 2
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di 1 /dt di2/dt
v 1 v 2
Fig 01 #A.1#
Para tensões e correntes complexas (domínio de freqüência. #C.3# e #C.4# da página anterior), modelo e matrizes sãovistos na Figura 02 e em #B.1# abaixo.
j ωL 1 jωM j ωM jωL 2
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