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Trigonometria (9.
o
ano)
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios
- A figura ao lado ´e uma fotografia da Central Fotovoltaica do Alto Rabag˜ao, em Montalegre. Esta central produz energia el´etrica solar a partir de pain´eis fotovoltaicos assentes numa plataforma flutuante.
Na figura seguinte (em baixo), est´a representado um modelo geom´etrico de um painel fotovoltaico e do respetivo flutuador.
O modelo ´e constitu´ıdo pelo paralelep´ıpedo retˆangulo [ABCDEF GH], que representa o flutuador, pelo retˆangulo [GHIJ], que representa o painel fotovoltaico, e pelos segmen- tos de reta [F J] e [EI], que representam as hastes que suportam o painel fotovoltaico. Relativamente `a figura ao lado, sabe-se que:
- o triˆangulo [JF G] ´e retˆangulo em F ;
- F G = 10 dm ;
- IJ = 16 dm ;
- J GFˆ = 26◦^.
O modelo n˜ao est´a desenhado `a escala.
Determina a ´area do painel fotovoltaico, representado na figura de baixo pelo retˆangulo [GHIJ].
Apresenta o resultado em dec´ımetros quadrados, arredondado `as unidades. Se, nos c´alculos interm´edios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, trˆes casas decimais.
Apresenta todos os c´alculos que efetuares. EProva Final 3.o^ Ciclo – 2022, 2.a^ chamada
- A figura seguinte, `a esquerda ´e uma fotografia do elevador do Bom Jesus do Monte, em Braga. Atual- mente, este ´e o funicular movido a energia hidr´aulica mais antigo do mundo, ainda em funcionamento.
Na figura, `a direita, apresenta-se um prisma triangular reto [ABCDEF ], que ´e um modelo geom´etrico da rampa onde as cabinas do elevador se deslocam.
E
A B
C
D
F
116 m
Relativamente `a figura da direita, sabe-se que:
- F ABˆ = 25◦;
- AF = 116 m;
- a base [BAF ] do prisma ´e um triˆangulo retˆangulo em A. O modelo geom´etrico n˜ao est´a desenhado `a escala.
Determina o comprimento da rampa, ou seja, BF.
Apresenta o resultado em metros, arredondado `as unidades. Se, nos c´alculos interm´edios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, quatro casas decimais. Apresenta todos os c´alculos que efetuares. EProva Final 3.o^ Ciclo – 2022, 1.a^ chamada
- A Central Solar Fotovoltaica de Amareleja, no Alentejo, ´e uma das maiores do mundo. E constitu´´ ıda por dispositivos mecˆanicos - seguidores solares (figura ao lado) - que suportam os pain´eis solares e os orientam para o Sol desde que este nasce at´e que se p˜oe.
Na figura seguinte (em baixo), est´a representada, em esquema, uma vista lateral de um seguidor solar numa certa posi¸c˜ao.
Nesse esquema, o painel solar est´a representado pelo segmento de reta [AE]. Seguidores solares
Relativamente ao esquema, que n˜ao est´a desenhado `a es- cala, sabe-se que:
- o triˆangulo [ABE] ´e retˆangulo em B;
- AE = 10,9 m;
- A EBˆ = α
- [BCDE] ´e um retˆangulo;
- DE = 0,16 m;
- AC = 8 m;
Determina α, a amplitude do ˆangulo de inclina¸c˜ao do pai- nel solar em rela¸c˜ao `a horizontal.
Apresenta o resultado em graus, arredondado `as unidades. Se procederes a arredondamentos nos c´alculos interm´edios, conserva, pelo menos, trˆes casas decimais.
Apresenta todos os c´alculos que efetuares.
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2019, ´Epoca especial
- Seja β um ˆangulo agudo tal que sen β =
Determina o valor exato de cos β.
Mostra como chegaste `a tua resposta.
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2019, ´Epoca especial
- A figura seguinte, `a esquerda, ´e uma fotografia de uma torre de vigia florestal.
Na figura da direita, apresenta-se um esquema dessa torre.
Relativamente ao esquema, sabe-se que:
- o prisma reto [ABCDEF GH], de bases quadradas, representa a torre;
- os v´ertices do pol´ıgono [IJKL] pertencem `as arestas laterais do prisma;
- os planos JKL e EF G s˜ao paralelos, sendo a distˆancia entre eles 2 m;
- KM = 5 m (comprimento da escada);
- A M Kˆ = 66◦^ e K AMˆ = 90◦. O esquema n˜ao est´a desenhado `a escala.
L
K
E
M A
J
B
H
D C
I
F
G
Determina a altura da torre, ou seja, a distˆancia entre os planos ABC e F GH.
Apresenta o resultado em metros, arredondado `as d´ecimas. Se procederes a arredondamentos nos c´alculos interm´edios, conserva, pelo menos, trˆes casas decimais. Apresenta todos os c´alculos que efetuares. Prova Final 3.o^ Ciclo – 2019, 2.a^ fase
- O Jo˜ao pratica kitesurf, desporto aqu´atico em que se usa uma prancha e uma asa (semelhante a um paraquedas) comandada atrav´es de cabos.
A figura ao lado ´e um esquema da situa¸c˜ao em que o Jo˜ao se encontrava, num instante em que estava elevado em rela¸c˜ao `a superf´ıcie da ´agua.
Relativamente ao esquema, sabe-se que:
- a reta s representa a superf´ıcie da ´agua;
- o segmento de reta [AB] representa um dos cabos que liga a asa ao Jo˜ao;
- as retas BC e s s˜ao paralelas;
- a distˆancia do ponto B `a reta s ´e 2,8 m;
- AB = 18m;
- A BCˆ = 42◦^ e B CAˆ = 90◦.
O esquema n˜ao est´a desenhado `a escala.
A
B
s
2 ,8m
C
18m
Determina a distˆancia da asa a superf´ıcie da ´agua, na situa¸c˜ao representada na figura, ou seja, a distˆancia do ponto Aa reta s.
Apresenta o resultado em metros, arredondado `as d´ecimas. Se procederes a arredondamentos nos c´alculos interm´edios, conserva, pelo menos, trˆes casas decimais. Apresenta todos os c´alculos que efetuares.
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2019, 1.a^ fase
- As casas t´ıpicas de Santana, localidade da costa norte da ilha da Madeira, parecem prismas triangulares.
Na figura seguinte, `a direita, representa-se, em esquema, a fachada principal de uma dessas casas. No esquema, os segmentos de reta [AC] e [BC] representam o telhado da casa.
Relativamente ao esquema, sabe-se que:
- o triˆangulo [ABC] ´e is´osceles, com AC = BC;
- M ´e o ponto m´edio do segmento de reta [AB];
- AB = 4,62 m e CM = 4,35 m. Determina, em graus, A CBˆ.
Apresenta o resultado arredondado `as unidades. Se procederes a arredondamentos nos c´alculos interm´edios, conserva, pelo menos, trˆes casas decimais. Apresenta todos os c´alculos que efetuares.
Sugest˜ao: Come¸ca por determinar A CMˆ. Prova Final 3.o^ Ciclo – 2018, 2.a^ fase
- Algumas camas s˜ao articuladas, ou seja, tˆem uma sec¸c˜ao que pode ser inclinada.
No esquema da figura seguinte, est´a representada a vista lateral de uma cama articulada, com o topo encostado a uma das paredes de um quarto. Nesse esquema, o trap´ezio [ABCD] representa a sec¸c˜ao inclinada da cama e o retˆangulo [F GHI] representa a base da cama.
H
E 32 ◦ A
B
C
D
F
G
I
(^0) ,90 m
1 ,05 m
P A R E D E
Relativamente ao esquema, que n˜ao est´a `a escala, sabe-se que:
- os pontos A e E pertencem ao segmento de reta [F I];
- o triˆangulo [ADE] ´e retˆangulo no v´ertice E;
- AD = 0,9 m e AF = 1,05 m;
- D AEˆ = 32◦ Determina a distˆancia do v´ertice D `a parede do quarto, na posi¸c˜ao representada no esquema da figura.
Apresenta o resultado em metros, arredondado `as cent´esimas. Se procederes a arredondamentos nos c´alculos interm´edios, conserva, pelo menos, trˆes casas decimais. Apresenta todos os c´alculos que efetuares.
Sugest˜ao: Come¸ca por determinar AE. Prova Final 3.o^ Ciclo – 2018, 1.a^ fase
- Na figura seguinte, est´a representado um esquema de um baloi¸co num instante em que a cadeira do baloi¸co se encontra na posi¸c˜ao assinalada com o ponto M.
No esquema, o segmento de reta [OM ] representa o cabo do baloi¸co e a reta s representa o solo.
Sabe-se que:
- o ponto P ´e o p´e da perpendicular tra¸cada do ponto O para a reta s;
- o ponto N ´e o p´e da perpendicular tra¸cada do ponto M para a reta OP ;
- M ONˆ = 56◦;
- OM = 2 m;
- OP = 2,5 m. A figura n˜ao est´a desenhada `a escala.
Determina N P , ou seja, determina a distˆancia da cadeira ao solo quando esta se encontra no ponto M.
P
O
M
s
2m
Apresenta o valor pedido em metros, arredondado `as cent´esimas. Se procederes a arredondamentos nos c´alculos interm´edios, conserva pelo menos trˆes casas decimais. Apresenta todos os c´alculos que efetuares. Sugest˜ao : come¸ca por determinar ON. Prova Final 3.o^ Ciclo – 2017, Epoca especial´
- Em algumas pontes, os candeeiros de ilumina¸c˜ao p´ublica est˜ao inclinados em rela¸c˜ao ao plano do tabuleiro da ponte, para reduzir a luz projetada sobre os rios. Na ponte Vasco da Gama, os candeeiros foram instalados desse modo, conforme se pode observar na figura seguinte, `a direita.
Na figura ao lado, `a esquerda, apresenta- se, em esquema, um candeeiro desse tipo, instalado numa outra ponte. Este candeeiro ´e constitu´ıdo por duas pe¸cas, representadas na figura pelos segmentos de reta [AD] e [CD]
Relativamente ao esquema da direita, sabe-se que:
A
B
D
C
E
20 cm t
- a reta t representa o tabuleiro da ponte;
- o ponto A representa a lˆampada, e o ponto B ´e o p´e da perpendicular tra¸cada do ponto A para a reta t;
- o segmento de reta [AD] ´e perpendicular ao segmento de reta [AB];
- o poste do candeeiro ´e representado pelo segmento de reta [CD] e tem 4,1 m de comprimento;
- D CEˆ = 10◦, sendo a reta CE perpendicular `a reta t;
- a distˆancia do ponto C
a reta t ´e igual a 20 cm. A figura n˜ao est´a desenhadaa escala.
Determina AB, ou seja, determina a distˆancia da lˆampada do candeeiro ao tabuleiro da ponte.
Apresenta o valor pedido em metros, arredondado `as d´ecimas. Se procederes a arredondamentos nos c´alculos interm´edios, conserva pelo menos trˆes casas decimais. Apresenta todos os c´alculos que efetuares. Prova Final 3.o^ Ciclo – 2017, 1.a^ fase
- Em S˜ao Torpes, no conce- lho de Sines, encontra-se uma central termoel´etrica com duas chamin´es. A figura da esquerda ´e uma fotografia dessa central termoel´etrica e a figura da direita ´e uma representa¸c˜ao das duas chamin´es.
A figura da direita n˜ao est´a desenhada `a escala.
R
A B
O P
Na figura da direita, os segmentos de reta [AP ] e [BR] correspondem `as duas chamin´es. O ponto O corresponde a uma posi¸c˜ao a partir da qual se observa o topo da chamin´e representada por [AP ] segundo um ˆangulo com 55◦^ de amplitude.
Ambas as chamin´es tˆem 225 metros de altura e a distˆancia entre elas ´e igual a 132 metros. Assim, relativamente `a figura da direita, sabe-se que:
- o ponto P pertence ao segmento de reta [OR]
- A OPˆ = 55◦
- AP = BR = 225 m
- P R = 132 m Determina a amplitude do ˆangulo BOR.
Sugest˜ao: Come¸ca por determinar OP.
Apresenta o resultado em graus, arredondado `as unidades. Sempre que, em c´alculos interm´edios, procederes a arredondamentos, conserva, no m´ınimo, duas casas decimais. Apresenta todos os c´alculos que efetuares.
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2016, ´Epoca especial
- Na figura seguinte, est´a representado um esquema do modelo de avi˜ao A380, um dos maiores avi˜oes de transporte de passageiros do mundo.
Na figura ao lado, est˜ao tamb´em representados o triˆangulo is´osceles [ABD] e o segmento de reta [AC], que ´e a altura do triˆangulo relativa a base [BD]. O esquema n˜ao est´a desenhadoa escala. Sabe-se que:
- AB = AD
- AC = 51 m
- B ADˆ = 76◦ Determina BD, ou seja, determina a envergadura do A380.
Apresenta o resultado em metros, arredondado as uni- dades. Sempre que, em c´alculos interm´edios, procederes a arredon- damentos, conserva, no m´ınimo, duas casas decimais. Mostra como chegastea tua resposta.
C A
B
D
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2016, 2.a^ fase
- Na figura ao lado, est˜ao representados uma circunferˆencia de centro no ponto C e os pontos T , P , A, M e B
A figura n˜ao est´a desenhada `a escala.
Sabe-se que:
- os pontos T , A e B pertencem `a circunferˆencia;
- M ´e o ponto m´edio da corda [AB]
- a reta tangente `a circunferˆencia no ponto T intersecta a reta AB no ponto P
- P B = 8
- P A = 2
- P T = 4
- CT = 9, 2
C
T P
A
B
M
Determina a amplitude do ˆangulo BCM
Na tua resposta, deves:
- obter BM
- indicar o valor de CB
- apresentar a amplitude do ˆangulo BCM em graus, arredondada `as unidades.
Apresenta todos os c´alculos que efetuares. Sempre que, em c´alculos interm´edios, procederes a arredondamentos, conserva, no m´ınimo, trˆes casas decimais.
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2015, Epoca especial´
- Na figura seguinte, est´a representada uma semicircunferˆencia de centro no ponto O e diˆametro [AD]
Sabe-se que:
- ponto C pertence `a semicircunferˆencia;
- o ponto B pertence `a corda [AC]
- o triˆangulo [ABO] ´e retˆangulo em B
- OB = 1 cm
- B AOˆ = 25◦^ O^
D
B
A
C
A figura n˜ao est´a desenhada `a escala.
Determina a ´area do semic´ırculo de diˆametro [AD] Apresenta o resultado em cent´ımetros quadrados, arredondado `as d´ecimas.
Sempre que, em c´alculos interm´edios, procederes a arredondamentos, conserva, no m´ınimo, trˆes casas decimais. Apresenta todos os c´alculos que efetuares.
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2015, 2.a^ fase
- Na figura seguinte, est˜ao representados uma circunferˆencia de centro no ponto O e um triˆangulo is´osceles [ABC] Sabe-se que:
- os pontos A, B e C pertencem `a circunferˆencia
- AB = BC
- [BD] ´e a altura do triˆangulo [ABC] relativa `a base [AC]
- a amplitude do arco AC ´e igual a 100◦ A figura n˜ao est´a desenhada `a escala.
Seja α a amplitude de um dos ˆangulos internos do triˆangulo [ABD]
Sabe-se que tg α =
AD
BD
Identifica esse ˆangulo, usando letras da figura.
O
C
B
A D
Prova Final 3.o^ Ciclo – 2015, 1.a^ fase
- Na figura seguinte, est˜ao representadas as retas AD e CD e a circunferˆencia de diˆametro [AC]
O ponto B pertence a circunferˆencia ea reta AD Sabe-se que:
- a reta CD ´e tangente `a circunferˆencia no ponto C
- C DÂ = 50◦
- CD = 8 cm
Determina CA
Apresenta o resultado em cent´ımetros, arredondado `as d´ecimas. Sempre que, em c´alculos interm´edios, procederes a arredondamen- tos, conserva, no m´ınimo, duas casas decimais.
Apresenta todos os c´alculos que efetuares.
A
B
D
C 50
◦
Prova Final 3.o^ Ciclo - 2014, 2.a^ chamada
- Na figura ao lado, est´a representada uma circunferˆencia com centro no ponto O
Os pontos A, B e C pertencem a circunferˆencia. O ponto P pertencea corda [AC] Sabe-se que:
- os segmentos de reta [AC] e [P B] s˜ao perpendiculares
- B ACˆ = 65◦
- AP = 1, 6 cm A figura n˜ao est´a desenhada `a escala.
Determina BP Apresenta o resultado em cent´ımetros, arredondado `as d´ecimas.
B
P
O
A
C
Sempre que, em c´alculos interm´edios, procederes a arredondamentos, conserva, no m´ınimo, duas casas de- cimais. Apresenta todos os c´alculos que efetuares.
Prova Final 3.o^ Ciclo - 2014, 1.a^ chamada
- Relativamente `a figura ao lado, sabe-se que:
- o triˆangulo [ABC] ´e escaleno e ´e retˆangulo em B
- os pontos E e P pertencem ao segmento de reta [AC]
- o ponto D pertence ao segmento de reta [AB]
- o triˆangulo [ADE] ´e retˆangulo em D
- o ponto Q pertence ao segmento de reta [BC]
- P CQ ´e um arco de circunferˆencia A figura n˜ao est´a desenhada `a escala.
Qual das afirma¸c˜oes seguintes ´e verdadeira?
C
E
A D B
P
Q
(A) senA CBˆ =
BC
AC
(B) senA CBˆ =
AC
BC
(C) cos A CBˆ =
BC
AC
(D) cos A CBˆ =
AC
BC
Prova Final 3.o^ Ciclo - 2012, 1.a^ chamada
- Na figura ao lado, est´a representado um modelo geom´etrico do s´ımbolo da bandeira de uma equipa de futsal. Este modelo n˜ao est´a desenhado `a escala.
Sabe-se que:
- A, B, C, D e E s˜ao pontos da circunferˆencia de centro no ponto O
- F e G s˜ao pontos da corda [BE]
- AF = AG = 16 cm
- C ADˆ = 36◦
Determina F G
Apresenta o resultado em cent´ımetros, arredondado `as d´ecimas. Apresenta os c´alculos que efetuares.
E
A
B
C D
F G
O
Nota – Sempre que, em c´alculos interm´edios, procederes a arredondamentos, conserva, no m´ınimo, duas casas decimais.
Exame Nacional 3.o^ Ciclo - 2011, Ep. Especial´
- Na figura ao lado, est´a representado o prisma triangular [ABCDEF ]
Sabe-se que:
- o quadril´atero [BCDE] ´e um quadrado;
- o triˆangulo [ABC] ´e retˆangulo em A
- C BAˆ = 30◦
- AC = 8 cm Determina a ´area do triˆangulo ABC. Apresenta o resultado em cm^2 , arredondado `as unidades. Apresenta os c´alculos que efetuares. B
C
A
E
F
D
Nota – Sempre que, em c´alculos interm´edios, procederes a arredondamentos, conserva, no m´ınimo, trˆes casas decimais.
Exame Nacional 3.o^ Ciclo - 2011, 2.a^ chamada
- Na figura ao lado, est˜ao representados um paralelep´ıpedo [ABCDEF GH] e uma pirˆamide [HDP C], sendo P um ponto de [AB]
Admite que:
- DP = 5 cm
- D P Hˆ = 32◦ Determina a ´area do triˆangulo DP H. Apresenta o resultado em cm^2 , arredondado `as unidades. Apresenta os c´alculos que efetuares.
E
A
H G
C
P
D
B
F
Nota – Sempre que, em c´alculos interm´edios, procederes a arredondamentos, conserva, no m´ınimo, trˆes casas decimais.
Exame Nacional 3.o^ Ciclo - 2011, 1.a^ chamada
- Na figura seguinte, est´a representada uma circunferˆencia de centro no ponto O
Os pontos A, B, C, P e R pertencem `a circunferˆencia.
Sabe-se que:
- a circunferˆencia tem raio 8
- BA = BC
- [P R] ´e um diˆametro da circunferˆencia;
- o ponto Q ´e o ponto de intersec¸c˜ao dos segmentos [BA] e [P R]
- o ponto S ´e o ponto de intersec¸c˜ao dos segmentos [BC] e [P R]
- A BOˆ = 36◦
Determina a ´area da regi˜ao representada a sombreado. Apresenta o resultado arredondado `as unidades. Apresenta os c´alculos que efetuares.
A
B
R
C
P
O
Q S
Nota – Sempre que, em c´alculos interm´edios, procederes a arredondamentos, conserva, no m´ınimo, trˆes casas decimais.
Teste Interm´edio 9.o^ ano – 17.05.
- A figura ao lado, em cima, mostra um conjunto de pain´eis solares. Numa das estruturas de apoio de um desses pain´eis, imaginou-se um triˆangulo retˆangulo.
Em baixo est´a um esquema desse triˆangulo. O esquema n˜ao est´a desenhado `a escala.
Relativamente ao triˆangulo retˆangulo [ABC], sabe-se que:
Qual ´e a amplitude, em graus, do ˆangulo CAB? Escreve o resultado arredondado as unidades. Mostra como chegastea tua resposta.
Nota: Nos c´alculos interm´edios, conserva duas casas decimais. (^) A C
B
Teste Interm´edio 9.o^ ano – 11.05.
- No jardim da fam´ılia Coelho, encontra-se um balanc´e, com uma trave de 2,8 m de comprimento, como o representado na figura seguinte.
Quando uma das cadeiras est´a em baixo, a trave do balanc´e forma um ˆangulo de 40◦^ com o solo, tal como mostra a figura ao lado. A figura n˜ao est´a desenhada `a escala.
Determina, em metros, a altura m´axima, a, a que a outra cadeira pode estar. Apresenta os c´alculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado `as d´ecimas.
2 ,^8 m a
Nota: Nos c´alculos interm´edios, conserva duas casas decimais.
Exame Nacional 3.o^ Ciclo - 2009, 2.a^ chamada
- A figura ao lado, `a esquerda, ´e a imagem de um monumento situado no centro de uma cidade. Todos os blocos desse monumento resultam de um corte de um prisma quadrangular reto. A figura da direita representa o modelo geom´etrico de um dos blocos do mesmo monumento.
Na figura da direita, sabe-se que AB = 2 m e que A EBˆ = 35◦.
Qual ´e, em metros, a medida do comprimento de [EB]?
Apresenta os c´alculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado `as unidades. A
F
E
B
G
D
C
Exame Nacional 3.o^ Ciclo - 2009, 1.a^ chamada
- A m˜ae da Marta vai colocar no jardim um escorrega como o representado, na figura seguinte, `a esquerda.
A figura da direita representa um esquema do escorrega da figura da esquerda.
Qual ´e, em graus, a ampli- tude do ˆangulo α?
Apresenta os c´alculos que efetuares e, na tua resposta, es- creve o resultado arredondado `as unidades.
α
2 m
1 ,8 m
Teste Interm´edio 9.o^ ano – 11.05.
- Na figura ao lado, em cima, podes observar uma rampa de pedra, cujo modelo geom´etrico ´e um prisma em que as faces laterais s˜ao retˆangulos e as bases s˜ao triˆangulos retˆangulos; esse prisma encontra-se representado na figura de baixo.
Sabe-se que, neste prisma de bases triangulares: AB = 300 cm, BC = 250 cm e BE = 42 cm
Calcula a amplitude, em graus, do ˆangulo β.
Apresenta os c´alculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado `as unidades.
E
F
D
B
β A
C
Exame Nacional 3.o^ Ciclo - 2008, 2.a^ chamada
