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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO - UFMA
CENTRO TECNOLÓGIO - CT
CURSO: CIÊNICIA DA COMPUTAÇÃO
DISCIPLINA : TEORIA DAS FILAS E SIMULAÇÃO
Teoria das Filas
Luciano Cajado Costa
1
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Professor Substituto da Universidade Federal do Maranhão
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Tutorial Teoria das Filas, Notas de estudo de Informática
Material Sobre a aplicação de teoria das filas sobre a analise de desempenho de sistemas
Tipologia: Notas de estudo
2011
1 / 61
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO - UFMA
CENTRO TECNOLÓGIO - CT
CURSO: CIÊNICIA DA COMPUTAÇÃO
DISCIPLINA : TEORIA DAS FILAS E SIMULAÇÃO
Teoria das Filas
Luciano Cajado Costa^1
(^1) Professor Substituto da Universidade Federal do Maranhão
1. TEORIA DAS FILAS Todas as pessoas já passaram pelo aborrecimento de ter que esperar em filas. Nós esperamos em fila quando estamos num engarrafamento, quando estamos no supermercado aguardando para pagar nossas compras, nos bancos e em muitas outras situações. As formações de filas ocorrem porque a procura pelo serviço é maior do que a capacidade do sistema de atender a esta procura. A razão pelo qual os gerentes dos estabelecimentos e o poder público não aumentam suas capacidades de atendimento podem ser resumidas basicamente por dois motivos : inviabilidade econômica e limitação de espaço. Dessa forma, a Teoria das Filas tenta através de análises matemáticas detalhadas encontrar um ponto de equilíbrio que satisfaça o cliente e seja viável economicamente para o provedor do serviço.
1.1 Descrição do Problema de Filas
Um sistema de filas pode ser descrito como clientes chegando, esperando pelo serviço, se não forem atendidos imediatamente, e saindo do sistema após serem atendidos. O termo cliente é usado de maneira geral e não implica necessariamente num cliente humano, como por exemplo, um processo esperando para utilizar a CPU. A figura 1.1 mostra um processo de filas típico.
Figura 1.1 – Um processo de filas típico A teoria das filas foi desenvolvida para prover modelos que retratem previamente o comportamento de um sistema que forneça serviços que possuam demandas que aumentem aleatoriamente Existem muitas aplicações respeitáveis da teoria, a maioria das quais tem sido documentadas na literatura de probabilidade, pesquisa operacional e engenharia industrial. Alguns exemplos são fluxo de Tráfego (veículos, aeronaves, pessoas, comunicações), escalonamento (pacientes em hospitais, jobs em máquinas, programas
probabilidade é necessária para descrever a seqüência de tempos de serviços dos clientes. Os serviços também podem ser simples ou batch. O processo de serviço pode depender do número de clientes esperando pelo serviço. Um servidor pode trabalhar mais rápido se a fila estiver aumentando, ou, caso contrário, pode ser tornar confuso é ficar mais lento. A situação na qual o serviço depende do número de clientes na fila é conhecida como serviço dependente do estado. Embora este termo não seja usado na discussão de padrões de chegada, o problema dos clientes impacientes podem ser considerados como chegadas dependentes do estado, desde que o comportamento da chegada depende da quantidade de congestionamento no sistema. Serviços, como chegadas, podem ser estacionários ou não estacionários com respeito ao tempo. Por exemplo, o aprendizado pode ser considerado um fator de produtividade, de forma que, o serviço pode se tornar mais eficiente quando experiência é obtida, ou seja, não importa o número de clientes na fila ( dependência do estado) e sim o período de tempo em atividade ( dependência do tempo). Claro, que um sistema pode ser ao mesmo tempo não-estacionário e dependente do estado.
1.2.3 Disciplina de Filas
A disciplina de filas refere-se a maneira como os clientes são escolhidos para entrar em serviço após uma fila ser formada. A maioria das disciplinas comuns que podem ser observadas na vida diária é FCFS (First-Come-First-Served), ou seja, o primeiro a chegar é o primeiro a ser servido. Entretanto, existem outras disciplinas, tais como, LCFS(Last-Come-First-Served), aplicável em sistemas de controle de estoque onde o item mais recente é mais fácil de ser apanhado, e diversas outras disciplinas baseadas em esquemas de prioridade. Existem duas situações gerais em disciplinas de prioridade. No primeiro caso, que é chamado de preemptivo , o cliente com a mais alta prioridade é permitido entrar em serviço independentemente de outro cliente com menor prioridade estar sendo servido, de forma que, o cliente com menor prioridade é interrompido e tem seu trabalho reiniciado mais tarde. Quando reiniciado, ele pode iniciar do ponto onde parou ou reiniciar todo o processo. Na segunda situação de prioridade, chamado caso não- preemptivo , os clientes com mais alta prioridade vão para o início da fila, mas só
entram em serviço quando o cliente sendo atendido deixa o sistema, mesmo que ele tenha uma prioridade baixa.
1.2.4 Capacidade do Sistema
Em alguns processos de filas existe uma limitação física da quantidade de espaço na fila, de modo que, se as filas alcançarem um certo comprimento, nenhum novo cliente poderá entrar no sistema até que espaço disponível seja obtido com o atendimento de um cliente e a conseqüente diminuição do tamanho da fila. Estas situações são referidas como sistemas de filas finitos, ou seja, existe um limite finito do tamanho máximo do sistema.
1.2.5 Número de Canais de Serviço
Quando o número de canais de serviço são definidos, tipicamente estão sendo determinados o número de estações de serviços paralelos que podem servir os clientes simultaneamente. A figura 1.1 ilustra um sistema com canal simples, enquanto a figura 1.2 mostra duas variações dos sistemas multicanais. Os dois sistemas multicanais diferem pelo fato que o primeiro possui uma única fila, enquanto o segundo possui uma fila para cada canal. Uma barbearia com várias cadeiras é um exemplo do primeiro tipo de multicanal, assumindo que não exista um estilo particular de corte de cabelo. Por outro lado, um supermercado e um restaurante fast-food preenche a segunda espécie de multicanal. É geralmente assumido que os mecanismos de canais paralelos operam independentemente um do outro.
Figura 1.2(a) – Sistema Multicanal com Fila Única
1.3 Notação
A notação de processos de filas mais utilizada atualmente foi proposta por Kendall, em 1953, e é descrita por um série de símbolos, tais como, A/B/m/k/M, onde A indica a distribuição de interchegada dos clientes, B o padrão de serviço de acordo com uma distribuição de probabilidade para o tempo de serviço, m o número de canais de serviços paralelos (servidores), k a capacidade do sistema e M a disciplina de filas. Alguns símbolos padrões para estas características são mostradas na Tabela 1.1. Por exemplo, a notação M/D/2/∞/FCFS indica um processo de filas com tempos de interchegada exponenciais, tempos de serviço determinísticos, dois servidores paralelos, capacidade ilimitada e disciplina de fila First-Come-First-Served. Características Símbolo Explicação M Exponencial D Determinístico Ek Tipo k-Erlang (k = 1,2,...) Hk Mistura de k exponenciais PH Tipo Fase
Distribuição de Tempo de Interchegada (A) e Distribuição de Tempo de Serviço (B) G Geral Número Paralelo de Servidores (m) (^) 1,2,..., ∞ Restrição na capacidade do sistema (k) (^) 1,2,..., ∞ FCFS First Come First Served LCFS Last Come First Served RSS Seleção Aleatória por Serviço PR Prioridade
Disciplina da fila (M)
GD Disciplina Geral Tabela 1.1 – Notação de Fila – A/B/m/k/M Em muitas situações só os três primeiros símbolos são utilizados, de maneira que, é assumido que o sistema tem capacidade ilimitada e possui uma disciplina
FCFS. Neste caso, M/D/2/∞/FCFS poderia ser indicado apenas por M/D/2. Os símbolos na tabela 1.1 são auto-explicativos, entretanto, alguns deles merecem algum complemento. Por exemplo, o símbolo G representa uma distribuição de probabilidade geral, isto é, resultados nestes casos são aplicáveis para qualquer distribuição de probabilidade. Pode parecer estranho que o símbolo M seja usado como exponencial. O uso de E pode ser confundido com Ek que é usado para representar uma distribuição Erlang tipo k. Assim, M é usado ao invés disso, onde M é originado da propriedade sem memória ou Markoviana da distribuição exponencial.
1.4 Medindo a Performance do Sistema
Geralmente existem três tipos de respostas de interesse do sistema : (1) alguma medida de tempo de espera que um cliente típico pode ser forçado a encarar; (2) uma indicação da maneira pelo qual os clientes podem ir se acumulando; e (3) uma medida de tempo ocioso dos servidores. Desde que a maioria dos sistemas de filas tem elementos estocásticos, estas medidas freqüentemente são variáveis aleatórias e possuem distribuições de probabilidade, ou pelo menos valores esperados. Existem dois tipos de tempo de espera de clientes, o tempo que o cliente gasta na fila e o tempo total do cliente no sistema (tempo na fila + tempo de serviço). A importância desses dois tipos de tempo de espera depende do estudo que está sendo realizado. Por exemplo, num parque de diversão, o tempo de espera na fila é que deixa o cliente infeliz. Por outro lado, no reparo de uma máquina é o tempo total no sistema que se deseja minimizar, de maneira a ter a máquina o mais rápido possível em produção. Correspondentemente, existem duas medidas de acumulos de clientes : o número de clientes na fila e o número de clientes no sistema. Estas medidas são importantes na definição do tamanho do espaço reservado para os clientes esperarem. As medidas de ociosidade dos serviços podem incluir a porcentagem de tempo que um servidor particular está ocioso, ou o tempo que o sistema está desprovido de clientes. A tarefa do analista de filas é determinar as medidas apropriadas de efetividade de um dado processo, ou projetar um sistema ótimo. No projeto de um sistema o analista pode querer balancear o tempo de espera dos clientes contra o tempo de ociosidade do servidor de acordo com alguma estrutura de custos. Se os custos de serviço ocioso e tempo de espera podem ser obtidos diretamente, eles podem ser usados para determinar o número ótimo de canais e as taxas de serviço nos quais esses canais devem operar. Também para projetar a sala de espera é necessário definir o tamanho da fila, que pode ser calculado pelo atraso do cliente na fila e pelo tempo de ociosidade do servidor. Em qualquer situação, o analista tentará resolver o problema através de métodos analíticos, caso isto falhe, o analista deverá proceder com uma simulação.
1.5 Alguns Resultados Gerais
Nesta seção serão apresentados alguns resultados gerais e relacionamentos para filas G/G/1 e G/G/c.
no sistema (T = Tq + S, onde S é o tempo de serviço, e T, Tq e S são variáveis aleatórias), duas medidas de p erformance do sistema freqüentemente utilizadas com respeito aos clientes são Wq = E[Tq] e W = E[T], ou seja, o tempo médio de espera na fila e o tempo médio de espera no sistema, respectivamente. Partindo desse princípio, as fórmulas de Little são
L = λW (1.1a) Lq =λWq (1.1b) Assim, só é necessário encontrar uma dos quatro valores esperados, em vistas das fórmulas de Little e do fato de que E[T] = E[Tq] + E[S], ou, equivalentemente, W = Wq + 1/μ, onde μ, como antes, é a taxa média de serviço.
Figura 1.4 – Percurso do período de ocupação O exemplo da figura 1.4 ilustra os conceitos das fórmulas de Little por considerar um intervalo de ocupação de um servidor. O número de clientes (Nc) que chega no período (0,T) é 4. Os cálculos de L e W são L = [1(t 2 -t 1 ) + 2(t 3 -t 2 ) + 1(t 4 -t 3 ) + 2(t 5 -t 4 ) + 3(t 6 -t 5 ) + 2(t 7 -t 6 ) + 1(T-t 7 )]/T = = (área sob a curva)/ T = (T + t 7 + t 6 - t 5 - t 4 + t 3 - t 2 - t 1 )/T (1.2a) e W = [(t 3 -t 1 ) + (t 6 -t 2 ) + (t 7 -t 4 ) + (T- t 5 )]/4 = = (T + t 7 + t 6 - t 5 - t 4 + t 3 - t 2 - t 1 )/T = (área sob a curva)/ Nc (1.2b) Dessa forma, das equações 1.2a e 1.2b verifica-se que a área sob a curva é LT = WNc, que resulta L = WNc/T. A fração Nc/T é o número de clientes chegando no período T, ou seja, λ, de modo que, L = λW.
Um resultado interessante que pode ser derivado das fórmulas de Little é que a relação entre W e Wq é L – Lq = λ (W - Wq) = λ(1/μ) = λ/μ. (1.3) Mas, L – Lq = E[N] - E[Nq] = E[N-Nq] = E[S], de modo que, o número de clientes em serviço no estado de equilíbrio é λ/μ, que será denotado por r. Note que num sistema de
servidor simples r = ρ e também segue que
L – Lq = (^)
∞ n = 0
npn - (^)
∞ n = 1
(n-1)pn = (^)
∞ n = 1
pn = 1 – p 0
Disto, pode-se derivar a probabilidade de um servidor estar ocupado em um sistema multiservidor no estado de equilíbrio, sendo esta probabilidade denotada por pb. Desde que já foi mostrado que o número esperado presente no sistema em estado de equilíbrio é r. segue da simetria dos c servidores que o número esperado presente e um servidor é r/c. Então, por um simples argumento de valor esperado, pode-se mostrar que pb = ρ, uma vez que,
r/c = ρ = 0(1- pb) + 1pb Para uma fila com servidor simples (G/G/1), a probabilidade do sistema estar ocioso (N=0) é a mesma da probabilidade do servidor estar ocioso. Assim, p 0 = 1- pb, neste caso, e p 0 = 1- ρ = 1 – r = 1 - λ/μ. A quantidade r = λ/μ, número esperado de clientes em serviço, tem uma outra conotação interessante. Na média cada cliente precisa de 1/μ
unidades de tempo de serviço e o número médio de clientes chegando no sistema é λ, de
modo que, o produto λ(1/μ) é quantidade de trabalho chegando para o sistema por
unidade de tempo. Dividindo isto pelo número de servidores c (que resulta ρ) obtém-se a quantidade média de trabalho chegando para cada servidor por unidade de tempo. A tabela 1.2 sumariza o resultado desta seção.
ρ = λ/cμ Intensidade de Tráfego; Taxa de Carga de Trabalho oferecida para um servidor L = λW Fórmulas de Little Lq = λWq Fórmulas de Little W = Wq + 1/μ Argumento de valor esperado p b = λ/cμ = ρ Probabilidade^ de^ ocupação^ de^ um^ servidor qualquer r =λ/μ Número esperado de clientes em serviço; Taxa de carga de trabalho oferecida L = Lq + r Resultado combinado p 0 = 1 - ρ Probabilidade de um sistema G/G/1 estar vazio.
Para encontrar o tempo de espera na fila até que o serviço comece, observa- se que as filas de espera Wq(n)^ e Wq(n+1)^ de dois clientes sucessivos em qualquer fila com servidor simples são relacionados pela simples relação de recorrência Wq(n+1)^ = Wq(n)^ + S(n)^ – T(n)^ (Wq(n)^ + S(n)^ – T(n)^ > 0), (1.5) 0 (Wq(n)+ S(n)^ – T(n)^ <= 0), onde S(n)^ é o tempo de serviço do n-ésimo cliente T(n)^ é o tempo de interchegada entre o n-ésimo cliente e o n-ésimo primeiro cliente. Isto pode ser visto por um simples diagrama mostrado na figura 1.6.
Tabela 1.3 Entrada de Dados i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tempos de interchegada entre os clientes i +1 e i
2 1 3 1 1 4 2 5 1 4 2 - Tempo de serviço do cliente i.
1 3 6 2 1 1 4 2 5 1 1 3
Neste exemplo o status do sistema é atualizado quando eventos ocorrem, registrando itens de interesse, e calculando medidas de efetividade. Modelos de filas orientados à eventos atualizam o estado do sistema só quando eventos (chegadas ou partidas) ocorrem. Desde de que não existe uma unidade de tempo básica para todos os eventos, o relógio mestre é incrementado por um quantidade de tempo variável, a invés de uma quantidade de tempo fixa, como seria em modelos de filas orientados por tempo. A abordagem orientada à evento será ilustrada aqui utilizando os dados de chegada e serviço mostrados na Tabela 1.3. Tabela 1.4 – Modelo de Filas orientado à eventos. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Tempo do Relógio Mestre
Chegada/ Partida do Cliente i
Tempo que a chegada i entre em serviço
Tempo que a chegada i parte.
Tempo na Fila
Tempo no sistema
No. na Fila após o relógio mestre ser atualizado
No. no sistema após o relógio mestre ser atualizado 0 1-A 0 1 0 1 0 1 1 1-D 0 0 2 2-A 2 5 0 3 0 1 3 3-A 5 11 2 8 1 2 5 2-D 0 1 6 4-A 11 13 5 7 1 2 7 5-A 13 14 6 7 2 3 8 6-A 14 15 6 7 3 4 11 3-D 2 3 12 7-A 15 19 3 7 3 4 13 4-D 2 3
14 8-A;5-D 19 21 5 7 2 3 15 6-D 1 2 19 9-A;7-D 21 26 2 7 1 2 20 10-A 26 27 6 7 2 3 21 8-D 1 2 24 11-A 27 28 3 4 2 3 26 12-A;9-D 28 31 2 5 2 3 27 10-D 1 2 28 11-D 0 1 31 12-D 0 0
Tirando-se a média das colunas (5) e (6) na tabela 1.4 obtém-se que o atraso médio na fila dos 12 clientes foi 40/12 = 10/3, enquanto seu tempo de espera médio no sistema foi 70/12 = 35/6. Além disso, a taxa de chegada média é igual a 12/31 clientes por unidade de tempo, desde que existem 12 clientes no intervalo de 31 unidades de tempo observadas. Assim, aplicando-se a lei de Little para estes números tem-se que o tamanho médio do sistema L sob o tempo completo foi L = λW = (70/12)/(31/12) = 70/31. O tamanho médio da fila pode calculado similarmente.
1.7 Processo de Poisson e Distribuição Exponencial
Os mais comuns modelos de filas estocásticos assumem que os tempos de interchegada e serviço obedecem uma distribuição exponencial ou, equivalentemente, que a taxa de chegada e a taxa de serviço seguem uma distribuição de Poisson. Desse modo, nesta seção será dado ênfase ao Processo de Poisson, bem como, sua relação com a distribuição exponencial. Contudo, inicialmente será considerado um processo de chegada geral.
1.7.1 Processo de Chegada
Assuma um sistema onde os clientes cheguem com intervalos de tempo aleatórios entre chegadas. Estas chegadas são eventos discretos assíncronos que dirigem o sistema, ou seja, o sistema só faz uma transição de um estado para outro no tempo que um evento ocorre. O primeiro cliente chega no tempo T1, o segundo no tempo T2, e assim por diante. Assume-se que os tempos de interchegada X1, X2, ... são variáveis aleatórias contínuas independentes com a mesma distribuição FX (IID). Esta propriedade é referida como estacionaridade do tempo. Para manter a trilha do estado do sistema, isto é, quantos clientes chegaram, poderia-se por exemplo definir
pN(t)(n) = P{N(t) = n} = FN(t)(n) - FN(t)(n-1) = e-λt(λt)n/n!. (1.8) Isto é a função máxima de uma variável aleatória com uma distribuição de
Poisson com parâmetro λt, de onde vem a razão para o fato deste processo ser chamado de Processo de Poisson. Isto é, para um processo de chegada de Poisson com taxa de
chegada λ, a distribuição do número de chegadas em t unidades de tempo é Poisson com
parâmetro λt. O processo de Poisson tem muitas propriedades interessantes. As duas mais fundamentais são que os incrementos das chegadas são ambos independentes e de tempo estacionário. Incrementos independentes significa que para um tempo arbitrário
t>=0 e um intervalo de tempo ∆t >= 0, o número de chegadas no período de tempo (t, t
- ∆t] é independente do número de chegadas até o tempo t, isto é,
P{N(t + ∆t) – N(t) = m, N(t) = k} (1.9) = P{N(t + ∆t) – N(t) = m}* P{N(t) = k} Quanto ao fato que as chegadas tem incrementos estacionários significa que a distribuição do número de chegadas não muda com o tempo, isto é, novamente para
um tempo arbitrário t >=0 e um intervalo de tempo ∆t >=0, P{N(t + ∆t) – N(t) = m} = P{N(0 + ∆t) – N(0) = m} = P{N(∆t) = m} (1.10) Pela equação (1.8) está é uma distribuição de Poisson com parâmetro c, de modo que, o número esperado de novas chegadas em qualquer período de comprimento ∆t é
E[N(t + ∆t) – N(t)] = λ∆t. (1.11) Em palavras, o número esperado de chegadas em um intervalo de tempo fixo é proporcional a taxa de chegada e o comprimento do intervalo de tempo, que é a razão porque o parâmetro λ é referido como a taxa do processo de chegada.
Um processo de Poisson Simples Considere um processo de Poisson {N(t) : t >= 0} com taxa λ = 2. Pode-se usar a propriedade independência, a propriedade tempo-estacionário e a função máxima da distribuição de Poisson para calcular várias quantidades. Por exemplo, P{N(5) = 4| N(4) = 2} = P{N(5) = 4, N(4) = 2} P{ N(4) = 2} = P{N(4+1) – N(4) = 2, N(4) = 2} P{ N(4) = 2}
= P{N(4+1) – N(4) = 2}* P{N(4) = 2}
P{ N(4) = 2}
= P{N(4+1) – N(4) = 2} = P{N(1) = 2}
= (1.λ)^2 e-1.λ^ = (1.2)^2 e-1. 2! 2! = 2e-2^ = 0.27. Note que primeiro foi utilizado a definição de probabilidade condicional, então foi utilizada a simples observação que {N(5) = 4, N(4) = 2}, se e somente se {N(
- N(4) = 2, N(4) = 2}, e depois que os incrementos independentes e a estacionaridade do tempo reduzem o problema, de forma que, a função máxima da distribuição pode ser utilizada.
1.7.3 Distribuição Exponencial
Como dito anteriormente, desde que os tempos de interchegada do processo de Poisson são exponencialmente distribuídos é interessante olhar esta distribuição um pouco mais de perto. Para tanto, seja X ~ exp(λ) exponencial com parâmetro λ. Assumindo que o tempo é iniciado em zero e mantendo as aplicações de fila em mente, pode-se para propósitos de ilustração pensar em X como o tempo da chegada do próximo cliente. Assuma que em algum tempo fixo t > 0 foi checado se alguma chegada ocorreu e descobriu-se que a chegada ainda não ocorreu. Denote o tempo de t até o momento em que a chegada efetivamente ocorreu como Rt. Para determinar a distribuição de Rt simplesmente calcula-se a função de distribuição P{Rt <= r} = 1 - P{Rt > r}. Optou-se por olhar o evento Rt > r, haja visto que torna-se mais fácil obter P{Rt > r} = {X > t + r | X > t} (1.12) = P{X > t + r , X > t} P{X > t} = P{X> t + r} P{X > t} = e-λ(t + r)/ e-λt = e-λr = (^) P{X > r}.
valores de X(t 1 ), X(t 2 ), X(t 3 ), ..., X(tn-1), depender só do valor imediatamente precedente, X(tn-1); mais precisamente, para quaisquer números reais x 1 , x 2 , ..., xn, P{X(tn) <= xn | X(t 1 ) = x 1 , ..., X(tn-1) = xn-1} = P{X(tn) <= xn | X(tn-1) = xn-1}. Em uma linguagem não matemática pode-se dizer que, dado a condição “presente” do processo, o “futuro” é independente do “passado”, ou seja, o processo está sem memória. Os processos de Markov são classificados de acordo com;
- A natureza do conjunto de índices do processo (se de espaço de parâmetro discreto ou contínuo), e
- A natureza do espaço de estado do processo (se de espaço de estado discreto ou contínuo). Um número real x é dito ser estado do processo estocástico {X(t), t ε T} se existe um ponto de tempo t em T tal que a P{x – h < X(t) < x + h} é positivo para todo h > 0. O conjunto de estados possíveis constitui o espaço de estado do processo. Se o espaço de estado é discreto, o processo de Markov é geralmente chamado de cadeia de Markov, sendo que os processos de Markov de parâmetro discreto com espaço de estado discreto são conhecidos como cadeias de Markov planas, e os processos de Markov de parâmetro contínuo com espaço de estado discreto são conhecidos como cadeias de Markov de tempo contínuo. Tabela 1.5 Classificação do Processo de Markov Tipo de Parâmetro Espaço de Estado Discreto Contínuo Discreto (Parâmetro Discreto) Cadeia de Markov
Cadeia de Markov de Parâmetro Contínuo Contínuo Processo de Markov de Parâmetro Discreto
Processo de Markov de Parâmetro Contínuo
Quando o processo de Markov tem um espaço de estado contínuo e um espaço de parâmetro discreto, ele é conhecido como processo de Markov de parâmetro discreto. Por outro lado, se ambos espaço de estado e espaço de parâmetro forem contínuos então o processo de Markov será chamado de processo de Markov de parâmetro contínuo. A tabela 1.5 sumariza estas classificações do processo de Markov.
1.8.2 Cadeias de Markov de Parâmetro Discreto
Considere uma cadeia de Markov com dois estados. Um dos estados denotado por 1 representará um “sucesso”, enquanto o outro estado representará uma “fracasso” sendo denotado por 0. Suponha que se a n-ésima tentativa resultar em fracasso então a
probabilidade de fracasso na n-ésima primeira tentativa é 1 - α e a probabilidade de sucesso nesta mesma tentativa é igual a α. Similarmente, se a n-ésima tentativa resultar em sucesso então as probabilidades de sucesso e fracasso na n-ésima primeira tentativa são 1 - β e β, respectivamente. Estas probabilidades são chamadas de probabilidades de transição , podendo serem escritas na seguinte forma matricial, também conhecida como matriz de transição : 0 1 0 1 - α α P = 1 β 1 - β
O elemento da matriz na posição (j,k) denota a probabilidade condicional de uma transição para um estado k no tempo n + 1 dado que o sistema está no estado j no tempo n. Exemplo 1.1 Chuva em Tel Aviv. Em um estudo de chuvas em Tel Aviv, Gabriel e Nenmann encontraram que uma cadeia de Markov de dois estados daria uma boa descrição da ocorrência de dias chuvosos e secos durante o período chuvoso de Dezembro, Janeiro e Fevereiro. Para tanto, eles denominaram dia seco como estado 0 e dia chuvoso como estado 1. Realizando a amostragem de um período de 37 anos, eles descobriram que a
probabilidade α de ocorrência de um dia chuvoso após um dia seco era de 0.250 e a probabilidade β de ocorrência de um dia seco após um dia chuvoso era de 0.338, formando a matriz de transição mostrada abaixo: S C S 0.750 0. P = C 0.338 0.