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Este documento explica as aplicações de integrais triplas na engenharia, especificamente na engenharia electromecânica. O texto aborda a teoria básica das integrais triplas, suas aplicações em cálculos de volume, centro de massa e momento de inércia de sólidos, e fornece um estudo de caso com aplicação prática. Os autores são amílcar josé sipilante zangula, crisler da cruz lourenço francisco e nelson francisco vilola domingos.
Tipologia: Esquemas
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Campus Universitário de Viana
(Criada pelo Decreto, Nª.44-A/01 do Conselho de Ministros, em 06 de Julho de 2001) Faculdade de Ciências e Tecnologia
Ano Curricular: 2° Ano Turno: Diurno Licenciatura: Engenharia Electromecânica
Viana, Maio de 2022. Campus Universitário de Viana
(Criada pelo Decreto, Nª.44-A/01 do Conselho de Ministros, em 06 de Julho de 2001) Faculdade de Ciências e Tecnologia
INTRODUÇÃO Este trabalho tem por finalidade, explicar as aplicações das integrais triplas nas engenharias. O Cálculo nos possibilita compreender muitos fenómenos do cotidiano. Um exemplo simples seria calcular os volumes de poliedros regulares, sendo alguns deles ensinados ainda no ensino fundamental através do uso de fórmulas prontas para cada geometria. Mas por necessidade, como para a engenharia, foi preciso encontrar maneiras de abranger o cálculo de volume de objecto também irregulares, seja qual for a forma desejada. Com o estudo de limites que mostra o comportamento de uma função enquanto seu argumento fica tão próximo como queremos de um valor. Essa ideia já possui aplicações, por exemplo, a dilatação de uma placa. Progredindo a ideia, temos o estudo da derivada, que é amplamente aplicada na cinemática, com o cálculo de velocidades, acelerações e outros. Ampliando um pouco mais, há as integrais que nos dão habilidade para calcular áreas. Nesse mesmo viés, temos o intuito principal deste trabalho, que é o entendimento de integrais triplas e suas aplicações.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA cálculos aplicados na formação do engenheiro, de uma forma bem abrangente quanto à sua especialidade, diferem da matemática pura lesionada nos cursos de Bacharel em Matemática. Para a engenharia, algumas vezes, a solução de muitos problemas pode ser obtida com resultados aproximados, assim, é importante para o engenheiro dominar as ferramentas matemáticas que possibilitam a simplificação e agilidade dos cálculos. O engenheiro é directamente responsável pela tomada de decisões importantes, seja na concepção ou execução de projectos construtivos, programação de manutenção de equipamento, logística e outros. Sempre envolvendo grandes riscos, sejam para a vida humana, o meio ambiente e também riscos económicos. Uma tomada de decisão equivocada pode causar grande prejuízo socioeconómico. Os cálculos aplicados na formação do engenheiro, de uma forma bem abrangente quanto à sua especialidade, diferem da matemática pura lesionada nos cursos de Bacharel em Matemática. somatório de parcelas muito pequenas, chamadas de infinitesimais. No contexto físico-matemático, essa soma de infinitesimais tem aplicações importantes na determinação de grandezas muito utilizadas na engenharia em geral, como centros de massa, momento de uma força, cálculos de áreas de superfície, cálculo de volumes de sólidos, momentos de inércia, entre outros. Dentre as fermentas que os engenheiros dispõem para tomar decisões mais acertadas está a integração.
Da mesma forma que utilizamos as integrais unidimensionais para funções de uma variável integrais duplas para funções de duas variáveis, aplica-se as integrais triplas para funções de três variáveis. Basicamente todas as aplicações vistas para as integrais duplas valem também para as integrais triplas. Assim como as integrais duplas, as integrais triplas sempre existirão quando a função for contínua. A integral tripla envolve uma função f (x, y, z) e um sólido S do espaço tridimensional. E, para resolve-la é necessário fazer uma análise da posição dos diferenciais na integral para que o cálculo seja feito na ordem correta. A integração tripla é dada por três integrações simples, cada uma sobre uma variável e considerando as demais como constantes. São ferramentas que podem ser utilizadas para calcular volume, centro de massa, momento de inércia de sólidos, entre outros.
E, cg é centro gravitacional. X(vetorial) de G é a soma dos momentos em relação ao eixo y, e de maneira semelhante efetua-se o somatório dos momentos em relação ao eixo para obtermos a coordenada y(vetorial). Para um plano (x, y, z) como por exemplo, a imagem anterior, temos que, embora os pesos não produzam um momento em relação ao eixo z, podemos obter a coordenada Z(vetorial) de G imaginando que o sistema de coordenadas, com os pontos materiais fixos, sofre uma rotação de 90° em torno do eixo x (ou y). Logo, a operação de integração utilizada para resolver o problema é:
Seja T um corpo sólido delimitado por uma região fechada e limitada do espaço. Vamos supor que a densidade de massa (massa por unidade de volume) em um ponto (x, y, z) é dada pela função (x, y, z), contínua em T. Para encontrar a massa total desse corpo, vamos subdividir T por planos paralelos aos planos coordenados. Tomamos um elemento de massa dm do corpo e determina o momento de inércia z dm deste elemento, com relação a um plano, sendo z a ordenada do elemento dm com relação ao plano. Então, o momento de inércia com relação ao plano citado é: ∫ (sobre V) z dm
Onde V é volume englobado pelo corpo. Se for no espaço tridimensional, obtemos uma integral tripla do tipo ∫ ∫ ∫ z dx dy dz, onde os limites de integração 15 dependem da forma do corpo. A coordenada do centro de massa com relação ao plano, é (∫ (sobre V) z dm)/M, sendo M a sua massa. Fazendo isto com relação a 2 planos coordenados, você tem as coordenadas do centro de massa. Quando a massa específica do corpo é constante, isto é, o mesmo que (∫ (sobre V) z dv)/V, V o volume. Com isso temos a fórmula: Para os momentos de massa têm-se as seguintes fórmulas: Momento de massa em relação ao plano xy Momento de massa em relação ao plano xz Momento de massa em relação ao plano yz Logo, a definição das coordenadas do centro de massa é dada por:
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
