Variavel Aleatória Unidimessional, Notas de estudo de Matemática

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

UNIDIMENSIONAIS

Professor Ewaldo Santana Universidade Estadual do Maranhão - UEMA

Conteúdo



Variáveis Aleatórias

Unidimensionais



Definição de variável Aleatória



Variável Aleatória Discreta



Distribuição de Probabilidades



A Distribuição Binomial

2 Ewaldo Santana

Variáveis Aleatórias Unidimensionais 4 Ewaldo Santana Exemplo : Considere-se a jogada de duas moedas. Daí, temos o seguinte espaço amostral S = { kk , kc , ck , cc }. Seja X o número de caras obtido. Portanto, X = { 0 , 1 , 2 , 3 } 0 1 2 X kk kc ck cc S RX

Variáveis Aleatórias Unidimensionais 5 Ewaldo Santana Exemplo : Suponhamos que um dado equilibrado seja jogado duas vezes. Seja X a variável aleatória dada pela soma dos números das duas faces voltadas para cima: 

S

X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10, 11, 12}

Variáveis Aleatórias Unidimensionais 7 Ewaldo Santana Exemplo : Para o exemplo da jogada de duas moedas, se elas forem equilibradas, teremos: 0 1 2 X kk kc ck cc S RX P (0) = P(cc) = ¼ P(1) = P(ck, kc) = ½ P(2) = P(kk) = ¼

Variável Aleatória Discreta 8 Ewaldo Santana Definição : Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de X (isto é, R X , o contradomínio) for finito ou infinito numerável, denominaremos X de variável aleatória discreta. Todos os exemplos de variáveis aleatória que vimos até aqui são de variáveis discretas.

Variável Aleatória Discreta 10 Ewaldo Santana A função p , definida anteriormente, é denominada função de probabilidade da variável aleatória X. A coleção de pares ( x i , p ( x i )) é denominada de distribuição de probabilidade de X.

Variável Aleatória Discreta 11 Ewaldo Santana Exemplo : novamente para o exemplo da jogada de duas moedas, teremos a seguinte distribução de probabilidades: P (0) = P ( cc ) = ¼ P (1) = P ( ck, kc ) = ½ P (2) = P ( kk ) = ¼ P ( X ) 0 1 2 X 1/ 1/

Variável Aleatória Discreta 13 Ewaldo Santana Exemplo : No lançamento de dois dado equilibrado, X será a soma dos números que aparecem nas faces voltadas para cima.                      ( 6 , 1 ) ( 6 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 6 , 4 ) ( 6 , 5 ) ( 6 , 6 ) ( 5 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 5 , 3 ) ( 5 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 5 , 6 ) ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , 5 ) ( 4 , 6 ) ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) ( 3 , 3 ) 3 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 3 , 6 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 2 , 6 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 1 , 4 ) ( 1 , 5 ) ( 1 , 6 ) S x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P ( X = x ) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/

Variável Aleatória Discreta 14 Ewaldo Santana Cuja distribuição de probabilidade é: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ (^2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12) X P(X)

A Distribuição Binomial 16 Ewaldo Santana Admitamos que seja de 0,2 a probabilidade de uma peça ser defeituosa e 0,8 a de ser não defeituosa. Admitamos que essas probabilidades sejam as mesmas para cada peça e que a classificação de qualquer peça em particular seja independente da classificação de qualquer outra peça. Empregando essas suposições, segue-se que as probabilidades associadas aos vários resultados do espaço amostral S são: S = { DDD , DDN , DND , NDD , NND , NDN , DNN , NNN }. P ( DDD ) = (0,2) 3 P ( DDN ) = (0,8) (0,2) 2 P ( DND ) = (0,8)(0,2) 2 P ( NDD ) = (0,8) (0,2) 2 P ( NND ) = (0,8) 2 (0,2) P ( NDN ) = 2

A Distribuição Binomial 17 Ewaldo Santana Seja X uma variável aleatória, a qual atribui a cada resultado s  S o número de peças defeituosas encontradas em s. Ou seja, X determina quantas peças defeituosas são encontradas em s , não importando a ordem que tenham ocorrido. Desta forma, temos que: X = {0, 1, 2, 3} Poderemos obter a distribuição de probabilidade de X da seguinte maneira: X = 0 se, e somente se, ocorrer NNN ; X = 1 se, e somente se, ocorrer DNN , NDN ou NND ; X = 2 se, e somente se, ocorrer DDN , DND , OU NDD ;

A Distribuição Binomial 19 Ewaldo Santana Definição : Consideremos um experimento E e seja A algum evento associado a E. Admita-se que P ( A ) = p E, conseqüentemente, P ( A ) = 1 – p. Considerem-se n repetições de E. Daí, o espaço amostral será formado por todas as seqüências possíveis { a 1 , a 2 , …, a n }, onde cada a i é A ou  A , dependendo de que tenha ocorrido A ou  A na i - ésima repetição de E (existem 2 n dessas seqüências). Além disso, suponha-se que P ( A ) = p permaneça a mesma para todas as repetições.

A Distribuição Binomial 20 Ewaldo Santana A v. a. X será assim definida: X = número de vezes que o evento A tenha ocorrido. Denominaremos X de variável aleatória binomial com parâmetros n e p. Seus valores possíveis são evidentemente 0, 1, 2, 3, …, n. (Equivalentemente, diremos que X tem uma distribuição binomial ). As repetições individuais de E serão denominadas Provas de Bernoulli.