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Vetor definido e propriedades
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
1 / 57
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Documentos relacionados
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1
Prof. Nilson Costa
[email protected]
São Luis 2009
GEOMETRIA ANALÍTICA
2
OBJETIVOS^ OBJETIVOS
- Com essa disciplina, pretende-
se que o aluno estude
os vetores, as equaç
ões da reta e do plano;desenvolva
o^ raciocínio
lógico
e^
crítico
na
resoluç
ão^
de
problemas; aprenda a utilizar modelos para a aná
lise
de^
situaç
ões^
reais;
desenvolva
habilidade
na
realização de atividades em equipe.
4
COMPETÊNCIAS^ COMPETÊNCIAS
-^ Ao
cursarem
essa
disciplina,
espera-
se^ que
os
alunos
tenham
adquirido
previamente
uma
compreensão básica de Matemá
tica, como expressões
numéricas,
potenciação,
radiciaç
ão,^
razão
e
proporção,
geometria
plana
e^
sólida,
funç
ões^
e
gráficos do 1º e 2º
graus, trigonometria, matriz e
determinante.
5
COMPETÊNCIAS^ COMPETÊNCIAS
- Além disso, o conteúdo dessa disciplina contribuirápara um melhor entendimento de outras disciplinasdos cursos da área de exatas, como Física, Á
lgebra
Linear, Cálculo Diferencial e Integral, EquaçõesDiferenciais, Resistência dos Materiais etc.
7
NOÇ^ NOÇ
ÕES PRELIMINARESÕES PRELIMINARES
Os engenheiros e os físicos fazem uma distinç
ão
entre dois tipos de quantidades fí
sicas: os escalares,
que^
são^
quantidades
que
podem
ser
descritas
simplesmente por um valor numé
rico, e os vetores,
que^
requerem
não
só^
um^
valor
numé
rico,
mas
também
uma
direç
ão^
e^ um
sentido
para
sua
descrição completa.
8
NOÇ^ NOÇ
ÕES PRELIMINARESÕES PRELIMINARES
Por exemplo, a temperatura, o comprimento e a rapidez
são
escalares
porque
são
completamente
descritos
por
um
número
que diz
com “quanto”
estamos
tratando:
digamos,
uma
temperatura
de
20°C, um comprimento de 5 cm ou uma rapidez de 10
m/s.
Por
outro
lado,
velocidade,
forç
a^ e
deslocamento são vetores porque envolvem, alé
m de
um valor numérico, uma direção e um sentido.
10
NOÇ^ NOÇ
ÕES PRELIMINARESÕES PRELIMINARES
Nas aplicaç
ões ocorrem dois tipos de vetores: os
vetores
fixos(ligados)
e^
os^
livres
.^ Um
vetor
fixo(ligado) ou físico
é um vetor cujo efeito fí
sico
depende da localização do ponto inicial, alé
m da
magnitude, direç
ão e sentido, enquanto que um vetor
livre ou geométrico é um vetor cujo efeito fí
sico
depende somente da magnitude, direção e sentido.
11
NOÇ^ NOÇ
ÕES PRELIMINARESÕES PRELIMINARES
Por exemplo, a Figura mostra duas forças de 10 kgfaplicadas para cima em um bloco. Embora as forç
as
tenham a mesma magnitude, direç
ão e sentido, as
diferenças entre seus pontos de aplicação (os pontosiniciais
dos
vetores)
causam
uma
diferenç
a^ no
comportamento do bloco. Assim, essas forç
as devem
ser tratadas como vetores fixos(ligados).
13
A^ ÁLGEBRA LINEAR NA HIST^ AÁLGEBRA LINEAR NA HIST
ÓRIAÓRIA
A^ idé
ia^ de
poder
utilizar
um
segmento
de reta
orientado (uma seta) para representar a magnitude, a direç
ão e o sentido de uma velocidade, de uma força
ou
de
um
deslocamento,
desenvolveu-
se
gradualmente no decorrer de um longo perí
odo de
tempo. O lógico grego Aristó
teles, por exemplo, sabia
que o efeito combinado de duas forç
as era dado pela
lei do paralelogramo e o astrônomo italiano Galileu enunciou a lei explicitamente em seu trabalho de Mecânica.
14
A^ ÁLGEBRA LINEAR NA HIST^ AÁLGEBRA LINEAR NA HIST
ÓRIAÓRIA
Aplicações de vetores à
Geometria apareceram num
livro intitulado Der Barycentrische Calcul
, publicado
em 1827 pelo matemá
tico alemão August Ferdinand
Möbius. Em 1837 Möbius
publicou uma obra de
Estática na qual ele usava a idé
ia de resolver um
vetor em componentes. Durante o mesmo perí
odo, o
matemático italiano Giusto Bellavitis
propôs uma
“álgebra”
de segmentos de reta orientados nos quais os^
segmentos
de
reta
de
mesmo
comprimento,
direção e sentido deveriam ser consideradosiguais. Bellavitis publicou seu trabalho em 1832.
16
A^ ÁLGEBRA LINEAR NA HIST^ AÁLGEBRA LINEAR NA HIST
ÓRIAÓRIA
Nesta teoria, os componentes menores e indivisí
veis
do universo não são partículas, mas laç
os que se
comportam
como
cordas
vibrantes.
Enquanto
o
universo espaço-
tempo de Einstein era de dimensão
4, as cordas vivem num mundo de dimensão 11, que é^ o foco de muita pesquisa atual. (Baseado num artigo da revista Time Magazine, de 30 de setembro de 1999.)
17
A^ ÁLGEBRA LINEAR NA HIST^ AÁLGEBRA LINEAR NA HIST
ÓRIAÓRIA
A^ idéia
de^
representar
vetores
como
ênuplas
de
vetores
começ
ou^
a^ cristalizar
em
torno
de^
quando o contador suíço (e matemá
tico amador)
Jean Robert Argand (1768- 1822) propôs a idé
ia de
representar um nú
mero complexo a + bi como um
par ordenado (a, b) de nú
meros reais. Em seguida, o
matemá
tico irlandês William Hamilton desenvolveu sua teoria de quatérnios
, que constituem o primeiro
exemplo
importante
de^
um^
espaç
o
quadridimensional. Hamilton apresentou suas idé
ias
num
artigo
científico
apresentado
à^
Academia
Irlandesa em 1833.
19
ESPA^ ESPA
ÇO AFIMÇO AFIM
Seja R o corpo dos nú
meros reais e consideremos os
ternos ordenados (x,y,z) desse corpo. O conjunto de todos esses ternos ordenados é o produto cartesiano: R.R.R= R
3 O conjunto R
3 é chamado
espaço afim
. Os elementos
(x,y,z)
de^
3 R
são^
os^ pontos
do
espaç
o^ afim.Os
números reais x, y, z são as
coordenadas cartesianas
ou^
canônicas
de^
um^
ponto
P^
do^ espaç
o^ afim
e
denomina-
se respectivamente abscissa, ordenada e cota. Notação: P=(x,y,z)
20
VETOR LIGADO^ VETOR LIGADO
Chama-
se vetor ligado de origem A(ou ligado ao ponto A) e extremidade B, ao par ordenado(A,B)= AB de pontos do espaço afim R
B
A.
Se A= (x
, yaa , z) e B=(xa^
, y, zbb
), os númerosb
x =x
- xb
, y= ya
- yb , z=za
- zba , são as coordenadas
canônicas do vetor ligado AB =(x,y,z).