Vetores, Exercícios de Engenharia Civil

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Vetores no iRº e noRº 37 2.8 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 1) 12) 13) Problemas Propostos. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor v= (2,-5), sabendo que sua origem é o ponto A(-1, 3). => + A = Dados os vetores u =(3,-1) e v =(-1,2), determinar o vetor w tal que ad ch iSodo + o) Mu-v) + qw=2-w b)J3w - (27 -U)=2(4W - 30) Dados os pontos A(-1,3), B(2,5) e C(3.-1), calcular OA - AB, OC - BC e 3BA -4CB. Dados os vetores u= (3,-4) e v ELG 3), verificar se existem números a e b tais que E sp Epa u=av ev=bu, Dados Os vetores u=(2,-4), v=(s, 1) w= (-12,6), determinar k, e k tal que wW=kU +kv, Dados os pontos A(-1,3), B(1,0), C(2,-1), determinar D tal que DC = BA. Dados os pontos A(2,-3,1) e B(4,5,-2), determinar o ponto P tal que AB = PB. Dados os pontos A(-1,2,3) e B(4,-2,0), determinar o ponto P tal que AP = 3AB. Determinar o vetor v sabendo que (3,7,1)+ rá =(6,10,4)- v. Encontrar os números a € do tais que W=aV) tava, sendo Vis (L=2 1) ví=(2,0,-4) e w =(-4,-4,14). Determinar a e b de modo que os vetores = (4,1,-3) e v= (6,a,b) sejam paralelos. Verificar se são colineares os pontos: a) A(-1,-5,0), B(2,1,3) e €(-2,-7,-1) bJA(2,1,-1), B(3,-1,0) e C(1,0,4) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3,1,-2), B(1,5,1) e C(a,b, 7). 38 Geometria analítica 14) Mostrar que os pontos A(4,0,1), B(5,1,3), €(3,2,5) é D(2,1,3) são vértices de um paralelogramo. 15) Determinar o simétrico do ponto P(3, 1, -2) em relação ao ponto A(-1,0, -3). 2.8.1 Respostas dos Problemas Propostos 9 6,2 povo yu nv(E, o) 3) (4,1), (2,5), (55,-30) u=-S, d=-d 5) k=-1 e k=2 6) D(4, 4) D PG,1,-5) 8) (14, -10,-6) 9) v=(1,1,1) 10)a,=2, a, =-3 n) = b=-5 12)0) sim 5) não 13) a=-3 b=13 15) (55, -1,-4) Produtos de vetores EA! 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 2) 23) 24) 25) 26) Obter um ponto P do eixo das abscissas eqiiidistante dos pontos A(2, -3, 1)e B(-2, 1,-1). Seja o triângulo de vértices A(=1,-2,4), B(-4,-2,0)e C(3,-2,1). Determinar o ângulo interno ao vértice B. Os pontos A, B e C são vértices d de um im triângulo eqiilátero cujo lado mede 10cm. Calcular o produto escalar dos vetores AB e AC. Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular DS > — > = AB.AC+BA. BC+CA. CB. Determinar os ângulos do triângulo de vértices A(2,1,3), B(1,0,-1) e C(-1,2,1). Sabendo que o ângulo entre os vetores u=(2, 1-l) e v=(1,-1,m+2) é + determinar m. Calcular n para que seja de 30º o ângulo entre os vetores u =(1,n,2) e ER Dados os vetores a=(, 1,0), b b=(a+2, -5,2) e, c E=(2, 8,9), determinar o valor > de a para que o vetor 2+b seja ortogonal ao vetor E- -a Determinar o vetor , paralelo ao vetor u=(1,-1,2), tal que v.u=-I8. Determinar O vetor v ortogonal ao vetor u= (2,-3,-12) e colinear ao vetor w= (-6,4,-2). Determinar o vetor EA colinear ao vetor v=(4,2, 6), tal que vw =-12, sendo w=(-1,4,2). Provar que os pontos A(5, 1,5), B(4,3,2) e C(-3,-2,1) são vértices de um triângulo retângulo. Qual o valor de a para que os vetores 2=ai+ g -sk eb= (+ ni + +4k sejam ortogonais? Verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo A(2,1,3), B(3,3,5) e C(0,4, 1), Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45º, 60º e 90º? Justificar. Os ângulos diretores de um vetor são 45º,60º e 7. Determinar *. 92 Geometria analítica 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42) + > > > > Determinar o vetor v, sabendo que |v|=5, v é ortogonal ao eixo Oz, v.w =6 é w=5 +3k. 1 Sabe-se que [ri= 2, cosa=Te cosB = — ae Determinar Y. Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor V=(2,-1,1). Determinar um vetor de módulo 5 paralelo ao vetor v= (1,-1,2. O vetor Y é ortogonal aos vetores U = =(2, -1,3) € w= (1,0,-2) e forma ângulo agudo com o vetor 7. Calcular v, sabendo que lvl=3 v6 > Determinar o vetor v, ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições V.vi=10 é pré VV, =-5, sendo 7) =(2,3,-1)e Va =(1,-1,2). Determinar o vetor projeção do vetor u =(1,2,-3) na direção de v=(2, 1,-2). Qual o comprimento do vetor projeção de u=(3, 5,2) sobre o eixo dos x? Se o vetor AB tem cosenos diretores Pp. ger e ângulos diretores a, e Y, quais são os — co-senos € os ângulos diretores de BA? Mostrar que se U e V são vetores, tal que V+v é ortogonal a uy, então juj=[vI. > > + + > Mostrar que, se u éortogonala v ew, u é também ortogonala v + w. Calcular o módulo dos vetores u+y uy, sabendo que [ul =4, [vi =3 eo ângulo entre Vev éde 60º. e Sabendo que, [ul=2, jv[=3 e que u ev formam um ângulo de JE cad, determinar gu =). (a - 2) l. . ++ + + Determinar VU MES pwi= 5 .W, sabendo que U+V+W=0, |u|=2, [Y|=3€ O vetor V é ortogonal aos vetores a =(1,2, 1) eb= =(1,4,3) e forma ângulo agudo com o eixo dos x. Determinar V, sabendo que [Yi= 14. Dados os vetores U =(2,=1,1), W =(1,-1,0) e w =(=1,2,2), calcular: Pa Geometria analítica E + > + >. > 51) Sabendo que [a|=3, Ibi=vT e 45º é o ângulo entre a e b, calcular ja x bl. 52) Se [UxV|=3V5, [Ul=3 e 60º é o ângulo entre U ev, determinar |V]. 53) Dados os vetores a=(3, 42) e b=(2, 1,1). obter um vetor de módulo 3 que seja ao mesmo tempo ortogonal aos vetores %-bea+b 54) Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores u=(3 12) e v=(4 -1,0) 55) Mostrar que o quadrilátero cujos vértices são os pontos A(1,-2,3), B(4,3,-1), 0(5,7,-3) e D(2,2,1) é um paralelogramo e calcular sua área. 56) Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores Mm e Era > > sendo u =(2,-1,0) e v =(1,-3,2). 57) Calcular a área do triângulo de vértices a) A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3) b) A(1,0,1), B(4,2,1) e €(1,2,0) c) A(2,3,-1), B(3,1,-2) e C(-1,0,2) dy A(-1,2,-2), B(2,3,-1) e C(0,1,1) 58) Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3,2,1) e uma diagonal de extremidades B(1,1,-1) e €(0,1,2). 59) Calcular x, sabendo que A(x,1,1,)), B(1,-1,0) e C(2,1,-1) são vértices de um triângulo de área sa 60) Dado o triângulo de vértices A(0,1,-1), B(-2,0,1) e C(1,-2,0), calcular a medida da altura relativa ao lado BC. - > >> + - 61) Determinar v tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e u=v x w, sendo u =(1, 1, -1) ÉS e w=(2,-1,1). 62) Dados os vetores u =(0,1,-1), v =(2, -2, 2), e w=(1, -1,2), determinar o vetor x paralelo à w, que satisfaz à condição: Xxu=v. Produtos de vetores 9 63) Dados o vetores, u =(2,1,0) e v =(3,-6, 9, determinar o vetor x que satisfaz a relação v =u x x e que seja ortogonal ao vetor w =(1,-2,3). + =» + +.» > ec=c , sabendo que atb+c =0. 64) Demonstrar que axb=b x a x 65) Sendo U e V vetoresdo espaço, com vAO: ço. > — - a) determinar o número real 1 tal que u - tv seja ortogonála v; b) mostrar que (u+v) x(U-V)= xu. 66) Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade. 67) Verificar se são coplanares os seguintes vetores: > > > a) u =(3,-1,2), v=(1,2,1) e w=(-2,3,4) bu =(2,-1,0), v=(3,1,2) e w=(7,-1,2) 68) Verificar se são coplanares os pontos: 2) A(1,1,1), B(-2,-1,-3), C(0,2,-2) e D(-1,0,-2) b) A(1,0,2), B(-1,0,3), C(2,4,1) e D(-1,-2,2) c) A(2,1,3), B(3,2,4), C(-1,-1,-1) e DIO, 1,-1) 69) Para que valor de m os pontos A(m, 1,2), B(2,-2,-3), €(S,-1,1) e D(3,-2 -2)são coplanares? 70) Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares: ma=(2,-1,k, D=(1,0,2) e C=(k3,k) > ba=(2,1,0, B=(1,1,3)e C=(k1,%) —+ da (2k1, D=(1,2,k é é =(3,0,-3) —+ Ed — + + 71) Sejam os vetores u =(1,1,0), v =(2,0,1), w; =3u - v, = ú +3v e Wa = + =, Determinar o volume do paralelepípedo definido por w to wa ew o Produtos de vetores 97 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) ”) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 38) (-3,3,-6) v =1(3,-2, 1), tE RR (2,-1,-3) BA.BC=0 -3 ou 2 Á Não, cos? 45º + cos? 60º + cos? 90º + 1 60º ou 120º (4,3,0) ou (-4,3,0) E EP fi cord v=(L-5.t 7) Um deles é (0. a sy VV 5 5 10 Eos Saida) E (2,7,1) (-1,4,0) 10 7 (Bl) 3 pq e -r T-u n-Bem-y v37 e vi3 39) 40) 41) 42) 43) 44) as) 46) 47) 48) 49) 1 (= 26+1542 -9 (12,-6,4) a) (2,2,-1) b) (-1,-1,0) €) (-2,-2,2) dy (6, 6, -6) e3 f-le- g) (4,-1,3) e (1,-4,-6) hy1 a) (-2,4,-6) b) (4,-8,12) (12,-8, -12) x(3,7,1), x€R a .(bxo)=10=(a xD). -5 x=-15b, y=Se Duas soluções para cada caso; 1 1 EO "Caras 98 Geometria analítica 51) 3 61) (1,0,1) 52 2 62) (-2,2,-4) 6.3 15 e 69) (meses jest 63) x=(2y-9,y,3) am 30 "30 E + + u.v 54) VITA 6 Top 55) vB9 67) a) Não; 5) Sim. 56) 645 68) a) Sim; b) Não; e) Sim. 57) a) vê 69) m=4 mi 3 15 7) a) 6 5 1: c)J20u3 Rar 71) 44uw. av 72) 60u -4 58) V7ã 73) 2 ou + 59) 3gual OU 74) 6 ou 2 3/35 8 6 ES TN) ad? ; bs e ) É vio A reta 133 2 3 5) 9) 7 8) 9) Determinar o ponto da reta x=2-t njy=3+t z=1-2 que tem abscissa 4. Determinar m e n para que o ponto P(3,m,n) pertença à reta x=1-2t sify=-3-t z=-4+t a + Determinar os pontos da reta r: E-3 = Ea = 5 que têm (a) abscissa 5; (b) orde- nada 4; (e) cota 1. O ponto P(2,y,z) pertence à reta determinada por A(3,-1,4) e B(4,-3,-1) Calcular P. Determinar as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa pelo > > ponto A(4,0,-3) e tem a direção do vetor v =2i +4j + SK. Estabelecer as equações reduzidas (variável independente x) da reta determinada pelos pares de pontos: a)A(1,-2,3) e B(3,-1,-1) bJA(-1,2,3) e B(2,-1,3) Determinar as equações reduzidas, tendo z como variável independente, da reta que passa pelos pontos P;(-1,0,3) e Pj(1,2,7). Mostrar que os pontos A(-1,4.-3), B(2,1,3) e C(4,-1,7) são colineares. Qual deve ser o valor de m para que os pontos A(3,m,1), B(1,1,-1) e C(-2,10,-4) pertençam à mesma reta? 134 Geometria analítica 11) Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas: x+l 2-3 3 4 y=3 a) a) y=1 z=-1 x=2y y=-x b) e) z=3 2=3+x x=% D o x=y=2 o tfy=a z=2-t 12) Determinar as equações das seguintes retas; q) reta que passa por A(1,-2,4) eé paralela ao eixo dos x; b) reta que passa por B(3,2,1) eé perpendicular ao plano xOz; €) reta que passa por A(2,3,4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y; d) reta que passa por A(4, -1,2) e tem a direção do vetor 7-7; e) reta que passa pelos pontos M(2, -3,4) e N(2,-1,3). 13) Representar graficamente as retas cujas equações são: s==:1 +t x=-1+t 2=9y a) 4 y=-10+5t dy | y=3-t o | 2=9-3 g= ae = a x=3 x=4+2 y=2x n) b))y=3 Ez) y=-4 2=3 z=-5-5t = x=-3 =-3x+6 di » d Rj) 2=4 z=2x Z=-x+4 136 Geometria analítica 18) Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas: x=-3t a) 1: y=3+ e Ss z=4 x=2-3t b) 1: y=3 e 2 q = sys z=mt 19) Areta r passa pelo ponto A(1,-2,1) eé paralela à reta x=2+t EN y=-3 z=-t Se P(-3,m, n) € r, determinar m en. 20) Quais as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto A(-2,1, 0) e é paralela à reta . X+] JS. Z Poq asa 21) A reta que passa pelos pontos A(-2,5,1) e B(1,3,0) é paralela à reta determinada , por C(3,-1,-1) e D(O, y, 2). Determinar o ponto D. 22) Areta y=mx+3 a z=x-1 é ortogonal à reta determinada pelos pontos A(I,0,m) e B(-2, 2m, 2m). Caleular o valor de m. A reta 137 23) Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas | y=2x+3 a es » [E Z=x Jr =-3x+4 JZz=6 e s: á z=-2x 24) Calcular o ponto de interseção das retas y=4-2 dE 2=3x x=5+t 2=7-% g as gm tl -tiz El á ES y=os y=2x , s z=x-3 determinar: q) o ponto de interseção de s e h; b) o ângulo entre r e s. A reta 139 32) 33) 34) 35) A reta é paralela à reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é simultaneamente ortogonal às tetas x=-t y=x nijy=-H+3 e mn: 2=3t-1 dic Calcular a e b. Dados os pontos Pi(7,-1,3) e Pi(3, D, -12), determinar: 2) 0 ponto P, que divide o segmento P,P; na razão EE b) o ponto Q, que divide o segmento P,P, ao meio. O ponto P(9, 14, 7) divide o segmento P,P, na razão Determinar P,, sabendo que P;(1,4,3). Seja o triângulo de vértices A(1,0, ). B(2,-1,-6) e C(-4,5,2). Estabelecer as equações Ppuramétricas da reta suporte da mediana do triângulo ABC relativa ao lado BC. 415.1 Respostas dos Problemas Propostos O) 2 3) 4) Apenas P, (4,1,5) m=-2,n=-5 (5,-2,-2),(7,4,10) (2, + 1) 140 Geometria analítica 5) 9 n 8) 10) 12) 14) 15) 16) 17) P(2,1,9) x=2 e) | pr a) 60º b) 30º e) 30º ao =are cos (5) = 4811"! 7oul +V15 4