Resumo: Análise Combinatória: Combinação, Permutação e Arranjo

Análise Combinatória: Combinação, Permutação e Arranjo

Para a Estatística e Probabilidade, é fundamental que possamos dimensionar o espaço amostral, ou seja, calcular quantas possibilidades existem para um determinado evento. Para isso, usamos a análise combinatória. Ela consiste no princípio fundamental da contagem, arranjo e permutação quando a ordem importa, e combinação quando a ordem não importa.

1) Princípio Fundamental da Contagem

Na análise combinatória, o princípio fundamental da contagem consiste em separar o problema em etapas. O número total de possibilidades vai ser o produto das possibilidades em cada etapa.

Exemplo: Uma senha de espera para o atendimento em uma agência é composta por um número de 1 a 9, seguido de uma letra: 5A, 8F, 3Z, etc. Quantas senhas diferentes podem ser formadas dessa forma?

Existem 9 possibilidades para o primeiro dígito, e 26 possibilidades para o segundo, com as 26 letras do alfabeto. Pelo princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades será o produto entre 9 e 26:

${\textcolor{#C90000}{t}} = 9 \cdot 26 = {\textcolor{#C90000}{234}}$

O exemplo acima possui apenas duas etapas, mas o princípio também se aplica a demais problemas da análise combinatória com mais etapas.

Quer mais exemplos do princípio fundamental da contagem? Clique aqui!

2) Arranjo

Usamos o arranjo para calcular o número de possibilidades para formar um grupo ordenado de $p$ elementos, dentre $n$ elementos disponíveis. O número de possibilidades para um arranjo é:

$A_{{\textcolor{#20AC5B}{n}},{\textcolor{#EF8722}{p}}} = \dfrac{{\textcolor{#20AC5B}{n}}!}{({\textcolor{#20AC5B}{n}}-{\textcolor{#EF8722}{p}})!}$

Lembrando que $n!$ significa $n$ fatorial, ou seja, o produto:

$n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot 1$

Exemplo: Uma corrida nas finais de uma olimpíada possui 8 competidores. De quantas maneiras diferentes é possível formar o pódio dessa corrida, com os medalhistas de ouro, prata e bronze?

O pódio é formado por 3 pessoas. Esse é um problema de análise combinatória onde a ordem importa, pois nesses 3 componentes do grupo, existe diferença entre eles, na medalha que possuem. Logo, trata-se de um arranjo. Existem 8 competidores ao total. Assim:

$A_{{\textcolor{#20AC5B}{8}},{\textcolor{#EF8722}{3}}} = \dfrac{{\textcolor{#20AC5B}{8}}!}{({\textcolor{#20AC5B}{8}}-{\textcolor{#EF8722}{3}})!} = {\textcolor{#C90000}{336}}$

pan class="vlist" style="height: 0.286108em;">=(8−3)!8!=336

Logo, podemos formar esse pódio de 336 maneiras diferentes.

Em análise combinatória, Arranjo e Combinação podem ser confundidos. A diferença é que no arranjo a ordem importa. Veja mais sobre arranjo no link: https://estudar.com.vc/conceitos/analise-combinatoria-combinacao-permutacao-e-arranjo/38842-arranjos

3) Permutação simples

A permutação é um arranjo em que o número de elementos do grupo é igual ao número de elementos disponíveis, ou seja, ${\textcolor{#20AC5B}{n}}={\textcolor{#EF8722}{p}}$ . O número de possibilidades para uma permutação simples é:

$P_{\textcolor{#20AC5B}{n}} ={\textcolor{#20AC5B}{n}}!$

Exemplo: De quantas maneiras diferentes podemos organizar 5 pessoas em uma fila?

Isso é uma permutação de 5 elementos. Afinal, vamos fazer um grupo ordenado de 5 elementos, tendo exatamente 5 disponíveis. Assim:

$P_{\textcolor{#20AC5B}{5}} = {\textcolor{#20AC5B}{5}}! = {\textcolor{#C90000}{120}}$

4) Permutação com repetição

É uma permutação em que alguns dos elementos são iguais, ou se repetem algumas vezes. Dividimos o número de elementos pelo produto dos fatoriais dos números de repetições. Para uma permutação de $n$ elementos, em que um dos elementos se repete $a$ vezes, outro $b$ vezes e um terceiro $c$ vezes, o número de possibilidades será:

$P_{\textcolor{#20AC5B}{n}}^{{\textcolor{#F8719A}{a}},{\textcolor{#1C9BBF}{b}},{\textcolor{#9E3ACC}{c}}}=\dfrac{{\textcolor{#20AC5B}{n}}!}{{\textcolor{#F8719A}{a}}! \cdot {\textcolor{#1C9BBF}{b}}! \cdot {\textcolor{#9E3ACC}{c}}!}$

Exemplo: Quantos anagramas da palavra "noroeste" existem?

Devemos fazer a permutação das 8 letras. Porém, há repetição: a letra "O" se repete 2 vezes, assim como a letra "E". Portanto:

$P_{\textcolor{#20AC5B}{8}}^{{\textcolor{#F8719A}{2}},{\textcolor{#1C9BBF}{2}}}=\dfrac{{\textcolor{#20AC5B}{8}}!}{{\textcolor{#F8719A}{2}}! \cdot {\textcolor{#1C9BBF}{2}}!} = {\textcolor{#C90000}{10080}}$

5) Permutação circular

É a permutação em que não há começo e fim definidos. Um exemplo comum é de quantas maneiras diferentes $\color{#20ac5b}n$ pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular. A permutação circular de $\color{#20ac5b}n$ elementos é dada por:

$P_{\textcolor{#20AC5B}{n}}^{circular} = ({\textcolor{#20AC5B}{n}}-1)!$

Para estudar mais sobre análise combinatória e permutação, confira nossos exercícios e videoaulas no site da Estudar com Você!

6) Combinação

Usamos a combinação para formar grupos não ordenados de $p$ elementos, dentre os $n$ disponíveis. A principal diferença para o arranjo é que na combinação a ordem não importa. A combinação é dada por:

$\displaystyle \binom{\color{#20ac5b}n}{\color{#ef8722}p}= \dfrac{{\textcolor{#20AC5B}{n}}!}{({\textcolor{#20AC5B}{n}}-{\textcolor{#EF8722}{p}})! \cdot {\textcolor{#EF8722}{p}}!}$

Exemplo: Um restaurante possui 8 tipos de vegetal, dentre os quais o cliente deve escolher 5 para compor a salada em seu prato. De quantas maneiras diferentes podemos montar uma salada nesse restaurante?

Veja que nesse exemplo, a ordem dos vegetais não importa, continua sendo a mesma salada. Portanto, é um exercício de análise combinatória onde se deve usar a combinação:

$\displaystyle \binom{\color{#20ac5b}8}{\color{#ef8722}5} = \dfrac{{\textcolor{#20AC5B}{8}}!}{({\textcolor{#20AC5B}{8}}- {\textcolor{#EF8722}{5}})! \cdot {\textcolor{#EF8722}{5}}!} = {\textcolor{#C90000}{56}}$

Logo, a partir da combinação dos tipos de vegetais disponíveis, podemos formar 56 saladas diferentes.

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