Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 1
Metoda sila – rekapitulacija teorije
Stepen statičke neodređenosti određujemo kao
( ) 2
o u s k
n z z z z k
,
gdje su
o u s k
z z z z m
- broj nepoznatih reakcija oslonaca, reakcija uklještenja, aksijalnih
sila u štapovima i momenata savijanja na krajevima štapova,
2km
- broj uslova ravnoteže čvorova sistema.
Osnovni sistem dobijamo kada iz SNN-a uklonimo n elemenata čije smo reakcije veza (promišljeno)
usvojili za statički neodređene veličine. Osnovni sistem mora biti statički određen, a poželjno je da bude
lagan za rješavanje.
Stepen spoljašnje statičke neodređenosti
( 2 ) 3
s o u z p
n z z z z
i stepen unutrašnje statičke
neodređenosti
( ) (2 3)
u s k
n z z k
definišu koliko je moguće ukloniti spoljašnjih ili unutrašnjih
elemenata, ali nam ne daju tačan podatak šta da usvojimo za statički neodređene veličine (neophodno je
razmisliti, pošto unutrašnju statičku preodređenost možemo nadoknaditi spoljašnjim vezama, a spoljašnju
neodređenost smanjiti uklanjanjem unutrašnjih veza). Usvajanje spoljašnjih statički neodređenih veličina je
često jednostavnije jer je reakcija veze spoljašnjeg elementa jedna sila (reakcija oslonca ili uklještenja) a
unutrašnjeg su dvije presječne sile. Međutim, ukidanjem unutrašnjih veza često možemo dobiti ravnotežni
sistem sila na jednoj krutoj ploči što nam pojednostavljuje postupak rješavanja, tako da je teško dati
generalnu preporuku u vezi usvajanja spoljašnjih ili unutrašnjih statički neodređenih.
Stepen statičke neodređenosti n predstavlja i stepen kinematičke stabilnosti posmatranog nosača, tj.
'višak' uslova kompatibilnosti u odnosu na broj nepoznatih komponentalnih pomjeranja čvorova sistema
**
,
ii
uv
. Taj 'višak' jednačina ćemo iskoristiti za određivanje n neodređenih statičkih veličina.
Princip linearne superpozicije pišemo kao
0 1 1 2 2 0 1
... n
n n i i
i
Z Z Z X Z X Z X Z Z X
.
Pomoću ovog principa bilo koji uticaj u statički neodređenom nosaču je izražen kao zbir (n+1)-og uticaja u
osnovnom sistemu:
- usljed spoljašnjeg opterećenja (
0
Z
) i
- usljed djelovanja statički neodređenih
1
i
X
(
i
Z
) pomnoženih sa stvarnim vrijednostima
i
X
.
Generalisano pomjeranje određujemo principom virtuelnih sila kao
T T j j
j
SS
MM NN TT t
k ds M N t ds C c
EI EF GF h
,
gdje nadvučene veličine predstavljaju uticaje u sistemu usljed generalisane sile, a nenadvučene su uticaji u
sistemu usljed spoljašnjeg opterećenja koje izaziva traženo generalisano pomjeranje.
Generalisana pomjeranja koja tražimo odgovaraju usvojenim statički neodređenim veličinama, a
njihova vrijednost je jednaka nuli (jer su to pomjeranja koja odgovaraju krutoj vezi – dakle, ne postoje).
Tako formiranjem uslova kompatibilnosti za ova pomjeranja dobijamo uslovne jednačine metode sila:
11 12 1 1 10
21 22 2 2 20
0
1 2 0
0
n
n
n n mn n n
X
X
DX
X
,
gdje je D matrica pomjeranja (fleksibilnosti), X vektor statički neodređenih veličina a
vektor slobodnih
članova. Opšti član matrice fleksibilnosti
ik
predstavlja pomjeranje na mjestu i usljed dejstva jedinične sile
na mjestu k i računamo ga kao
i k i k i k
ik
S
M M N N TT
k ds
EI EF GF
