Preuzmite 5.3 Spreg sila i više Šeme i konceptualne mape u PDF od Tehnička mehanika samo na Docsity!
Marina Mijalković Tehnička mehanika 1
5.3 Spreg sila
5.3.1 Definisanje sprega sila
Slika 5.19 Spreg sila
Spreg sila je sistem od dve paralelne sile istog intenziteta, suprotnih smerova, koje deluju
na međusobnom rastojanju d, Slika 5.19. Sistem sila, koji obrazuje spreg, očigledno se ne
nalazi u ravnoteži (nije zadovoljena aksioma dva), iako je rezultanta sprega sila jednaka
nuli.
Ravan koja prolazi kroz napadne linije sila sprega zove se ravan dejstva sprega. Normalno
rastojanje d između napadnih linija sila sprega zove se krak sprega. Kako je rezultanta sila
sprega jednaka nuli, dejstvo sprega na telo se svodi na obrtni efekat koji zavisi od:
intenziteta sila sprega F i dužine kraka d;
položaja ravni dejstva sprega;
smera obrtanja sprega.
Moment izazvan spregom sila zove se moment sprega.
Slika 5.20 a) Spreg sila; b) vektor momenta sprega sila.
Intenzitet momenta sprega sila jednak je proizvodu intanziteta jedne od sila i normalnog
rastojanja između napadnih linija sila sprega:
m F d. (5.50)
Moment sprega m, uzet sa odgovarajućim znakom, istovremeno određuje intenzitet i smer
obrtnog efekta sprega sila. Moment sprega ima znak plus, pozitivan je, kada spreg teži da
obrne telo u smeru suprotnom obrtanju kazaljke na satu, Slika 5.20 a), tj. znak minus,
negativan je, kada spreg teži da obrne telo u smeru obrtanja kazaljke na satu, Slika 5.20 b).
Moment sprega sila, kao i moment sile, mere se u njutnmetrima.
Moment sprega sila m ne zavisi od izbora momentne tačke, koja se nalazi u ravni dejstva
sila sprega. Da bi se ovo dokazalo, izabere se u ravni dejstva sprega bilo koja tačka O,
Slika 5.21, i odrede momenti sila sprega u odnosu na tačku O:
O
M F F OA
,
O
M F F OB
. (5.51)
Sabiranje ova dva izraza i zamenom OB OA d, F F
, dobija se:
O O
M F M F F OA F OB F(OB OA) F d
. (5.52)
Poglavlje 5 Moment sile i spreg sile
Na osnovu izraza (5.50) i (5.52) sledi:
O O
M (F) M F
m , (5.53)
algebarski zbir momenata svake od sila sprega u odnosu na bilo koju tačku O, koja leži u
ravni dejstva sprega, ne zavisi od izbora te tačke i jednak je momentu sprega sila.
Slika 5.21 Moment sprega m ne zavisi od izbora momentne tačke
Dejstvo sprega sila ne zavisi od momentne tačke, pa se u označavanju ne piše
indeks koji označava momentnu tačku, kakav je bio slučaj kod momenta sile. Ovu
teoremu je korisno upotrebiti pri izračunavanju momenata sila koje čine spreg u
odnosu na neku tačku.
5.3.2 Vektor momenta sprega
Za određivanje obrtnog dejstva, koje izaziva spreg sila, potrebno je poznavati intenzitet
momenta sprega sila, ravan dejstva sprega i smer obrtanja u toj ravni. Prema tome, moment
sprega sila je vektorska veličina i obeležava se sa
m.
Moment sprega je vektor, čiji je intenzitet jednak momentu sprega m proizvodu
intenziteta sile sprega i kraka sprega, pravca upravnog na ravan dejstva sprega, pozitivnog
smera, ukoliko posmatrač, koji gleda u smeru vektora, vidi obrtanje u smeru desnog
zavrtnja, Slika 5.22 a), b). Ako se sile sprega nalaze u ravni xOy, Slika 5.22, one izazivaju
obrtanje tela oko ose z, upravne na ravan, u pozitivnom smeru, pa je vektor momenta
sprega:
k F d k
m m. (5.54)
Slika 5.22 a) Spreg sila i ravan dejstva sprega; b) pozitivan znak vektora momenta sprega; c) spreg sila,
momentna tačka O i vektori položaja.
Poglavlje 5 Moment sile i spreg sile
odnosno ako je:
1 1 2 2
F d F d.
Iz ove jednačine sledi važna karakteristika spregova: spreg datog pravca, smera i
intenziteta može se zameniti drugim spregom sila pod uslovom da su sile novog sprega u
istoj ili paralelnoj ravni, da je smer dejstva i intenzitet (proizvod sile i kraka) isti.
Slika 5.24 a) Spreg sila
1 1
F , F
; b) premeštanje sila sprega u A i B i razlaganje na komponente; c) sile
2
F
i
2
F
mogu da se uklone kao uravnotežene i ostaje samo spreg
2 2
F , F
; d) dejstvo sprega sila
1
F, F
u ravni se ne
menja premeštanjem u paralelnu ravan 1.
Da bi se ovo dokazalo, posmatraće se spreg sila
1 1
F , F
čiji je krak d 1
, Slika 5.24 a). Kroz
proizvoljne tačke A i B na napadnim linijama sprega povučene su dve paralelne prave.
Rastojanje između pravih je d 2
. Svaka od sila sprega može da se razložiti na komponente
2
F, F
, tj.
2
F , F
, kao što je prikazano na Slici 5.24 b). Kako su sile F
i F
istog
intenziteta, istog pravca, suprotnih smerova i deluju na istoj napadnoj liniji, to se na
osnovu treće aksiome one mogu ukloniti, posle čega na telo deluju samo dve sile
2
F
i
2
F
,
koje čine spreg sila pošto su istog intenziteta, suprotnih smerova i deluju duž paralelnih
napadnih linija, Slika 5.24 c). Sada treba dokazati da je moment sprega sila
2 2
F , F
, čiji je
krak d 2
isti kao moment sprega sila
1 1
F , F
. U tom cilju primenjuje se Varinjonova teorema
o momentu reztultante u odnosu na tačku B:
B 1 B B 2
M F M F M F
.
Kako je:
B 1 1 1 B B 2 2 2
M F F d , M F 0, M F F d
,
dobija se:
1 1 2 2 1 2
F d F d m m , (5.59)
tj. momenti spregova sila
1 1
F , F
i
2 2
F , F
su jednaki, jer su proizvodi sila i krakova
spregova jednaki i ista ravan dejstva spregova, čime je teorema dokazana.
Osobine sprega sila su:
- Dejstvo sprega sila na telo se ne menja ako se spreg sila premesti u bilo koji
položaj u ravni dejstva sprega;
Marina Mijalković Tehnička mehanika 1
- Dejstvo datog sprega sila na telo se ne menja ako se istovremeno promeni
intenzitet sila sprega i krak sprega tako da moment sprega
1
m ostane nepromenjen.
Intenzitet sile
2
F
, ako je poznat krak sprega d 2
, može da se odredi na osnovu izraza
(5.59):
1
2
2
F
d
m
. (5.60)
Da bi spreg sila koji deluje u nekoj ravni bio definisan, dovoljno je, na osnovu svega
napred izloženog, dati samo njegov moment. Zbog toga se u tehnici spreg sila često
prikazuje samo kružnom strelicom (usmerenim kružnim lukom), koja pokazuje smer
obrtanja, ne ucrtavajući sile koje obrazuju spreg.
Spreg sila se može premestiti u bilo koju ravan, paralelnu ravni dejstva, pri čemu se dejstvo
sprega sila na telo ne menja, jer se pri premeštanju sprega sila u paralelnu ravan ne menja
vektor momenta sprega:
1 2
m m , Slika 5.24 d).
5.3.4 Slaganje i ravnoteža spregova u ravni
Spreg sila koji zamenjuje dejstvo sistema spregova na kruto telo je rezultujući spreg, dok
se spregovi nazivaju komponentni spregovi. Ako na telo deluje sistem spregova koji se
nalaze u istoj ravni može se dokazati Teorema o slaganju spregova:
Sistem spregova koji deluje u istoj ravni, može se zameniti jednim rezultujućim spregom,
koji deluje u istoj ravni, čiji je moment jednak algebarskom zbiru momenata komponentnih
spregova.
Da bi se dokazala ova teorema, posmatraće se telo na koje deluju tri sprega koji leže u istoj
ravni
1 1
F , F
,
2 2
F , F
i
3 3
F , F
, Slika 5.25 a). Momenti ovih spregova su:
1 1 1 2 2 2 3 3 3
m F d m F d , m F d.
Primenom teoreme o ekvivalentnosti spregova, ova tri sprega se mogu zameniti drugim
sistemom spregova:
1 1
P , P
,
2 2
P , P
i
3 3
P , P
, pod uslovom da su im momenti
jednaki. Usvojiće se da novi spregovi imaju isti krak d, Slika 5.25 b), pa su momenti novih
spregova, na osnovu (5.59):
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3
P d F d , P d F d , P d F d ,
m m m m m m (5.61)
odakle su intenziteti sila novih spregova:
1 1 2 2 3 3
1 2 3
F d F d F d
P , P , P.
d d d
Novi sistem spregova može da se premesti bilo gde u ravni njihovog dejstva, a da se pri
tome ništa ne promeni, pa će se spregovi premestiti tako da im sile sprega deluju duž
zajedničkih napadnih linija, Slika 5.25 b).
Tako je dobijen sistem kolinearnih sila u tačkama A i B, koje se mogu složiti u rezultante:
1 2 3
1 2 3
R P P P ,
R P P P ,
pri čemu je: R R
Marina Mijalković Tehnička mehanika 1
Dva sprega, koji leže u različitim ravnima, ekvivalentni su jednom spregu, čiji je moment
jednak vektorskom (geometrijskom) zbiru momenata datih spregova.
Ako više od dva sprega sila deluje na telo, može se uopštiti ovaj princip i vektor momenta
rezultujućeg sprega napisati kao:
n
i
i 1
m m. (5.66)
Da bi sistem spregova bio u ravnoteži moment rezultujućeg sprega mora biti jednak nuli:
n
i
i 1
m m
. (5.67)
Uslov ravnoteže sistema spregova u prostoru je da poligon konstruisan od vektora koji
predstavljaju momente spregova, koji deluju na kruto telo, mora biti zatvoren.
VAŽNE NAPOMENE
Moment sprega stvaraju dve paralelne sile koje su jednake ali suprotnih smerova.
Njihovo dejstvo je čisto obrtanje ili težnja za obrtanjem u određenom smeru
Moment sprega je slobodan vektor, a kao rezultat stvara isti efekat obrtanja na telo
nezavisno od toga gde se spreg nalazi na telu
Moment sprega je jednak proizvodu sile sprega i kraka sprega, m =F d
Dejstvo sprega na telo se ne menja ako se spreg sila premesti u bilo koji položaj u
ravni dejstva sprega
Dejstvo datog sprega na telo se ne menja ako se istovremeno promeni intenzitet
sila sprega i kraka sprega tako da moment sprega ostane nepromenjen
Sistem spregova koji deluje u istoj ravni, može se zameniti jednim rezultujućim
spregom, koji deluje u istoj ravni, čiji je moment jednak algebarskom zbiru
momenata komponentnih spregova
Za ravnotežu sistema spregova koji deluju na telo, a leže u istoj ravni, potreban i
dovoljan uslov je da algebarski zbir momenata svih spregova sila bude jednak nuli
Moment sprega je vektor upravan na ravan dejstva sprega i u prostoru se
izračunava kao vektorski proizvod r F
m , gde je vektor položaja r
usmeren
od bilo koje tačke na liniji dejstva jedne od sila do bilo koje tačke na liniji dejstva
druge sile
Moment rezultujućeg sprega sistema spregova koji deluju na telo, a leže u
različitim ravnima, jednak je vektorskom zbiru momenata komponentnih spregova,
n
i
i 1
m m , tj. završnoj strani poligona vektora momenata komponentnih spregova
Da bi sistem spregova koji leže u različitim ravnima bio u ravnoteži treba da bude
zadovoljen uslov
n
i
i 1
m m
