Preuzmite Spreg sila i više Beleške u PDF od Mehanika samo na Docsity!
Spreg sila
Slaganje dveju paralelnih sila
Posmatra se sistem od dve paralelne sile istog smera
r F i^
r F , koje deluju u tačkama A i B tela. Može se pokazati da se ovaj sistem sila može zameniti jednostavnijim, njemu ekvivalentnim sistemom sučeljnih sila za koji se zna da ima rezultantu.
1 2
(P , P ) ~ 0 1 2
r r
(F ,F ) ~ (F ,F , P , P ) 1 2 1 2 1 2
r r r r r r
(F , P ) ~ F 1 1 (F , P ) ~ F 2 2
r r r r r r r^ ′ ,^ r′′ (F ,F ) ~ (F ,F ) 1 2
r r r r r^ ′ r′′ (F ,F ) ~ F
r r r r r^ ′^ rr′′^ rr F = F + Frr (^) rr ′ rr′′
r r F = F + Frr 1 r 2 r F ~ (F , P )r ′ 1 ′ 1 ′ , F ~ (F , Pr′′ 2 ′ (F ,F ) ~ (F , P F , P ) 1 1 2 2
r r r r r r r^2 ′) r^ ′ r ′′^ ′^ ′,^ ′^ ′ (F ,F ) ~ (F ,F ) 1 2 1 2
r r r r r r ′r^ ′ F = F + Fr 1 ′ 2 ′
Za određivanje položaja napadne linije vektora
r Fr , uočavaju se dva para sličnih trouglova ∆ OAC ~ ∆OA ′ C′ ∆ OBC ~ ∆OB ′D ′ AC A C
OC
′ ′ OC
AC
P
OC
1 F 1
CB
D B
OC
′ ′ OD
CB
P
OC
F
2 2 ACF 1 = CBF 2 AC F
CB
F
2 1 F AC 1 + F BC 1 = F BC 2 +F BC 1 BC F
AC
F
AB
1 2 F
r
Sistem od dve paralelne sile istog smera, koje deluju na telo, ima rezultantu čiji je intenzitet jednak zbiru intenziteta komponenata, koja je istog smera kao i komponente, i koja se nalazi bliže sili većeg intenziteta na rastojanju koje je određeno prthodnom relacijom. Neka je dat sistem od dve paralelne sile suprotnog smera
r F 1 i^
r F , koje deluju u tačkama^ A^ i^ B^ tela. Najpre se sila
(^2) r(F > F ) 1 2 F 1 razlaže na dve komponente Fr i
r r F ′, takve da je
r r^2 F 2 ′ = − F 2 , odnosno
r r r F 1 = Fr + F 2 ′ (F ,F ) ~ (F ,F ,F ) 1 2 2 2
r r r r r r ′ (F ,F ) ~ F 1 2
r r r r r r^ r F r 1 = Frr −Fr 2 Fr = F 1 +F 2 Kako je (^) F 1 > F 2 , sledi Fr = F 1 −F 2
Polazeći od toga da je rezultanta paralelnih sila
r F 1
r Fr i
r F 2 ′ , primenom postupka datog pri slaganju paralelnih sila istog smera, dobija se BC F
AC
F
AB
1 2 F
r
Spreg sila
Sistem od dve paralelne sile jednakih intenziteta, suprotnih smerova, čije se napadne linije nalaze na konačnom rastojanju, naziva se spreg sila. Ravan određena napadnim linijama sila sprega, naziva se ravan dejstva sprega sila. Najkraće rastojanje h između napadnih linija sila sprega naziva se krak sprega. Moment sprega sila, koji obeležava se sa
r M i definiše na sledeći način:
− intenzitet momenta sprega sila jednak je proizvodu
intenziteta sile F i kraka sprega sila h, tj. M = Fh,
− pravac momenta sprega sila upravan je na ravan
dejstva sprega sila,
− smer momenta sprega sila je na onu stranu odakle se obrtno dejstvo sprega sila vidi kao
matematički pozitivno. Za moment sprega sila može se formulisati sledeće tvrđenje: vektor momenta sprega sila jednak je glavnom momentu sila sprega za proizvoljno izabranu tačku.
r r r r r Mr (^) o = M (F)+ M (o o F )′ r r^ r r M (^) o = rA × F + rB× F .′ F
r r (^) A rB BA F
r r^ r = + , ′=− M (^) o= (rB BA) F- rB F.
r (^) r r r r
r r × Glavni moment sila sprega jednak momentu jedne sile za tačku na napadnoj liniji druge sile. Intenzitet glavnog momenta sprega sila dat je sa M (^) o = F′ ABsin(180 o− θ) =FAB sin θ M (^) o =Fh
Pravac glavnog momenta sprega sila upravan je na ravan dejstva sprega sila. Smer glavnog momenta sprega sila je na onu stranu prostora odakle se obrtanje
vektora , najkraćim putem do poklapanja sa vektorom
r AB F ′, vidi kao matematički pozitivno. Na osnovu toga zaključuje se da intenzitet, pravac i smer glavnog momenta sila sprega, odgovara vektoru momenta sprega sila
r M , što je trebalo i pokazati.
F = F = F = F = F = F 1 2 ′ 1 ′ 2 ′
r r F r 1 = − Fr 2 , Fr 1 = Fr^2 (F ,F ) ~ F 2 1
r r r ′ (^) r i (F,F ) ~ F 2 2
r r r ′ (^) r (F,F ) ~ (F ,F ,F ,F 1 1 1 2 )
r r r r r r ′ ′ (^) r r
(F,F ) ~ (F ,F ) 1 1
r r r r ′ ′
Na taj način je pokazano da se polazni spreg sila (F,F )
r r r r ′^ može zameniti drugim spregom sila istog momenta, koji deluje u paralelnoj ravni, odnosno preneti u paralelnu ravan,
čime je teorema dokazana.
(F , F ) 1 1 ′
Iz prethodnih teorema sledi da su dva sprega sila koji deluju na telo, čiji su momenti jednaki, međusobno su ekvivalentni.
Slaganje spregova sila
Neka je dat sistem od dva sprega sila (P 1 , P 1 )
r r ′ i (P 2 , P ) 2
r r ′ koji će biti označen sa ((P , P ),(P , P )) 1 1 2 2
r r r r ′ ′. Neka spreg sila^ (P
r 1 , P ) 1
r ′ deluje u ravni π 1 a spreg sila (P 2 ′)
r r u ravni
2 , P
π 2 i neka je presek tih ravni prava koja prolazi kroz tačke A i B. Koristeći teoremu o slobodnom pomeranju sprega sila u ravni svog dejstva, spreg sila (P
r r može se zameniti njemu ekvivalentnim spregom sila (F
1 ,P ) 1 ′
1 ,F ) 1
r r ′ , pri čemu sile (^1)
r F i
r F novog sprega sila deluju u tačkama A i B iste ravni
π 1. Takođe, koristeći istu teoremu, spreg sila (^) (P 2 , P 2 )
r r ′ 2 ′^ )
može se zameniti ekvivalentnim spregom sila (F
r r pri čemu sile
r^2 ,F F 2 i^
r F 2 ′ novog sprega sila takođe
deluju u tačkama A i B ravni π 1 , odnosno π 2. Ovim postupkom dobijena su dva sprega sila
(F ,F 1 1
r r F , 2 2
r r ji imaju zajednički krak AB. Tako je polazni sistem spregova sila transformisan u novi
′ ) i F )′ ko
1 1 2 ((F ,F ),(F ,F )) 1 1 2 2
r r
((P , P ),(P , P 2 )) ~
r r r r r r ′ ′ ′ ′
(F ,F ) ~ F 1 2 (F ,F ) ~ F 1 2
r r r r r r r ,^ ′^ ′^ r′ r r r r r r Fr = F + F 1 2 , Fr ′ = F + F 1 ′ 2 ′ r r F =r −F (^) r′
((P , P ),(P , P )) ~ (F ,F ) 1 1 2 2
r r r r r r ′ ′ (^) r r′
Između momenta sprega sila polaznog sistema i momenta novodobijenog sprega sila, može se uspostaviti veza. Momenti spregova polaznog sistema spregova sila su
M 1 = M(P 1 ,P 1 )=M(F 1 ,F 1 )=BA F 1
r r r r r r r r ′ ′ × M 2 =M(P 2 ,P 2 )=M(F 2 ,F 2 )=BA F 2
r r r r r r r r ′ ′ ×
M= M(Fr ,Fr)=BA F r
r r r r r ′ × M BA (F 1 +F 2 )=M 1 +M 2
r r r r r = ×
Izložena teorija važi samo za slaganje spregova sila koji deluju na kruto telo i može se uopštiti za slučaj proizvoljnog broja spregova sila. Ako su to spregovi sila (F ,F ),(F ,F ), 1 1 2 2 ,(F ,F )n n
r r r r K
r r ′ ′ ′ ,^ tada^ je^ dejstvo takvog sistema spregova sila okarakterisano njihovim momentima
r r r M 1 M (^2) n, koji su upravni na odgovarajuće ravni. S obzirom na to da su ti momenti slobodni vektori, mogu se dovesti paralelnim pomeranjem u proizvoljno izabranu zajedničku tačku O. Na taj način dobijen je sistem vektora sa zajedničkom tačkom (sistem sučeljnih vektora), koji se može zameniti jednim vektorom (rezultujući moment, glavni moment sistema spregova sila), a čije se određivanje svodi na određivanje vektorskog zbira
, , K ,M
r r M M (^) i i
n
=
1
Moment rezultujućeg sprega sila (glavni moment), sistema spregova sila, jednak je vektorskom zbiru momenata komponentalnih spregova sila, odnosno predstavlja glavni moment sistema spregova sila. Osim geometrijske metode za određivanje rezultujućeg sprega sila može se koristiti i analitička metoda.
M (^) x M (^) ix M M M i
n y iy i
n z i i
n = = = = =
1 1
, , M (^) z
1 M = M (^) x^2 + M (^) y^2 +M z^2
cos
M
M
cos
M
M
cos
M
M
α^ x^ β y^ γ z M =^ ,^ M =^ , M =
