Math - travaux pratiques 9, Exercices de Mathématiques

Télécharge Math - travaux pratiques 9 et plus Exercices au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Nancy juin 1976 \ EXERCICE 1 On définit la suite de terme général un par { u0 ∈N, u0 > 4 ∀n ∈N, un+1 = 2un −3 1. On pose vn = un −3. Montrer que la suite (vn) ainsi définie est une suite géométrique. En déduire l’expression de vn puis de un en fonction de u0 et de n. 2. Quels sont les nombres entiers u0 (u0 > 4) tels que, pour tout n, 3un soit le cube d’un entier naturel ? 3. On suppose u0 = 4 ; déterminer toutes les valeurs de n telles que 3un −1 soit un multiple de 11. EXERCICE 2 On considère le polynôme : P (z)= z3 −4iz2 − (7+2i)z −6+12i. 1. Trouver une racine réelle α de l’équation P (z)= 0. 2. Calculer les nombres complexes a et b, tels que ∀z ∈C, P (z) = (z −α) ( z2 +az +b ) . 3. Résoudre dans C l’équation P (z)= 0. PROBLÈME On désigne par E un espace affine euclidien de dimension 2, rapporté au repère orthonormé ( O, −→ ı , −→  ) . Partie A Soit (H) la courbe représentative dans le repère ( O, −→ ı , −→  ) de la fonction f définie sur R⋆ par f (x) = 1 p 3 x + p 3 2x . 1. Étudier la fonction f et tracer (H). 2. On appelle (D) celle des asymptotes de (H) qui n’est parallèle à aucun des axes, et (∆) celle des bissectrices des droites (D) et ( O, −→  ) qui rencontre (H). Déterminer une mesure des angles á(( O, −→ ı ) , (D) ) et á(( O, −→ ı ) , (∆) ) .