Integration in der Mathematik: Grundbegriffe und Rechenregeln, Prüfungen von Mathematik

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Kapitel 8

Integration

• Einf ¨uhrung
• Grundbegriffe
• Integrationstechniken
• Uneigentliche Integrale
• Mehrfachintegrale
• Integration in Polarkoordinaten
• Anwendungen

Fragestellung bei Integration

Bei der Integration geht es anschaulich gesprochen um die Frage der Fl ¨achenmessung: Sei dazu ei- ne auf einem Intervall [a, b] definierte, beschr ¨ankte Funktion f (x) gegeben.

y

a b x

f(x)

Wie kann man dann den grau unterlegten Fl ¨achen- inhalt zwischen Funktion und x-Achse berechnen (oder ¨uberhaupt erst definieren)?

Vorgehen bei Integration

Im Einzelnen ist folgende Prozedur durchzuf ¨uhren:

• Intervall [a, b] in n Teilintervalle [xi− 1 , xi], i = 1 , 2 , ..., n, der Breite ∆xi = xi−xi− 1 zerlegen (dabei a = x 0 , b = xn),

a=x 0 x 1 x 2 x 3 x =bn

• uber jedem Teilintervall ein Rechteck konstru-¨ ieren, dessen L ¨ange einem Funktionswert von f an irgendeiner Zwischenstelle ξi ∈ [xi− 1 , xi] aus diesem Teilintervall entspricht,

xi-1 (^) ixi xi

f( ) i

• alle einzelnen Rechteckfl ¨achen f (ξi) · ∆xi auf- summieren zur Gesamtfl ¨ache sn =

∑n

i=1 f^ (ξi)^ ·^ ∆xi,

• N ¨aherungswert sn verbessern, indem man ei- ne feinere Unterteilung (= Partition) des Inter- valls [a, b] w ¨ahlt und damit die Anzahl der Teilin- tervalle erh ¨oht, aber gleichzeitig die Breite aller verkleinert.

y y

a (^) b x^ a b x

f(x) (^) anstelle f(x) von

Bemerkungen zum bestimmten Integral

• Das Integralzeichen

ist ein stilisiertes Sum- menzeichen

• Man kann die Integrationsvariable beliebig um- benennen:

∫ b

a

f (x) dx =

∫ b

a

f (u) du =

∫ b

a

f (η) dη.

Das bestimmte Integral ist eine reelle Zahl , die nicht von der Integrationsvariable abh ¨angt.

Riemann’sche Zwischensummen Obersumme, Untersumme

Man spricht bei

∑n

i=1 f^ (ξi)^ ·^ ∆xi^ von^ Riemann’- chen Zwischensummen. Das Integral nennt man auch Riemann-Integral. W ¨ahlt man ξi derart, dass f (ξi) im Intervall [xi− 1 , xi] minimal wird, spricht man von einer Untersumme :

y y

a (^) b x^ a b x

f(x) (^) anstelle f(x) von

Die Rechtecke liegen dann ganz anschaulich direkt unter der Funktion. Analog definiert man Obersum- men. Man kann die Integrierbarkeit einer Funktion f (x) auf einem Intervall [a, b] auch so charakteri- sieren, dass die Folge der Untersummen und die der Obersummen gegen einen gemeinsamen Grenz- wert konvergiert.

Bemerkungen zum bestimmten Integral

F ¨ur sehr viele Funktionen ist die oben geforderte Konvergenz gegeben.

Man kann zeigen: Wenn die Funktion f auf dem In- tervall [a, b] stetig ist (evtl. mit Ausnahme endlich vieler endlicher Sprungstellen), dann ist f auf [a, b] integrierbar.

Rechenregeln f ¨ur das bestimmte Integral

F ¨ur das bestimmte Integral gilt:

a)

∫ a

b f^ (x)^ dx^ =^ −^

∫ b

a f^ (x)^ dx,

b)

∫ a

a f^ (x)^ dx^ = 0,

c)

∫ b

a f^ (x)^ dx^ =^

∫ c

a f^ (x)^ dx^ +^

∫ b

c f^ (x)^ dx,

a < c < b

d)

∫ b

a α^ ·^ f^ (x)^ dx^ =^ α^ ·^

∫ b

a f^ (x)^ dx,

e)

∫ b

a (f^ (x) +^ g(x))^ dx

∫ b

a f^ (x)^ dx^ +^

∫ b

a g(x)^ dx,

f) Falls ∫ f (x) ≤ g(x) und a ≤ b, dann gilt:

b

a f^ (x)^ dx^ ≤^

∫ b

a g(x)^ dx,

g) Falls m ≤ f (x) ≤ M f ¨ur alle x ∈ [a, b],

dann gilt:

m (b − a) ≤

∫ b

a f^ (x)^ dx^ ≤^ M^ (b^ −^ a).

Rechenregeln f ¨ur das bestimmte Integral (Veranschaulichung)

Falls m ≤ f (x) ≤ M f ¨ur alle x ∈ [a, b],

dann gilt:

m (b − a) ≤

∫ b

a

f (x) dx ≤ M (b − a).

y

x

a b

f(x)

m

M

Integralfunktion

Wir betrachten das bestimmte Integral ¨uber eine ste- tige, monoton steigende Funktion f (t) ≥ 0 von a (fest) bis zu einer oberen Grenze x > a (varia- bel). Das derart definierte bestimmte Integral mit va- riabler oberer Grenze x liefert die Zuordnungsvor- schrift f ¨ur eine neue Funktion

F^ ˜ (x) :=

∫ x

a

f (t) dt.

x

a

a

x

x

t

f(t)

F(x):= f(t) dt^ ~

Ableitung der Integralfunktion

Es sei f eine auf [a, b] definierte stetige

Funktion. Die durch

F^ ˜ (x) :=

∫ x

a

f (t) dt

definierte Integralfunktion hat die Ableitung

F^ ˜ ′(x) = d

dx

( ∫ x

a

f (t) dt

= f (x).

Die Ableitung der Integralfunktion ist also gleich dem Wert des Integranden an der oberen Grenze. Die Integration ist demnach die Umkehrung der Differentiation.

Stammfunktion

Definition

Eine Funktion F (x) , deren Ableitung gleich

einer gegebenen Funktion f (x) ist, d.h. f ¨ur

die F ′(x) = f (x) auf einem Intervall gilt,

heißt Stammfunktion von f auf diesem In-

tervall.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Sei F (x) eine (beliebige) Stammfunktion

von f (x). Dann gilt f ¨ur das bestimmte Inte-

gral

∫ b

a

f (x) dx = F (x)|bx=a = F (b) − F (a).

Mit Hilfe des Hauptsatzes lassen sich bestimmte In- tegrale ganz einfach in zwei Schritten berechnen:

• Man bestimme eine beliebige Stammfunktion F (x) von f (x) (Beachte: F ′(x) = f (x)).
• Man werte die Stammfunktion an der oberen und an der unteren Integrationsgrenze aus (F (b) und F (a)) und subtrahiere diese beiden Werte.

Beispiel Gesucht ist das bestimmte Integral:

1

(x^2 − 6 cos(2x)) dx.

Eine Stammfunktion von f (x) = x^2 − 6 cos(2x) ist

F (x) =

x^3 − 3 sin(2x),

denn die Ableitung (Kettenregel!) von F (x) ergibt gerade f (x). Die Stammfunktion an der oberen In- tegrationsgrenze ausgewertet hat den Wert F (2) ≈ 4. 9371 , an der unteren Integrationsgrenze erh ¨alt man entsprechend F (1) ≈ − 2. 3946_. Sub- traktion ergibt_ F (2) − F (1) ≈ 7. 3317_. Also ist ins- gesamt:_

1

(x^2 −3 cos(2x)) dx =

x^3 − 3 sin(2x)

2

x= ≈ 4. 9371 − (− 2 .3946) = 7. 3317.