Nur auf Docsity: Lade Klausur Numerische Mathematik und mehr Prüfungen als PDF für Numerik (Numerische Mathematik) herunter!
Prof. Dr. G. Matthies 25. Juli 2018 Institut f¨ur Numerische Mathematik
Pr¨ufungsklausur
f¨ur das Modul
Numerische Mathematik (Math-Ba-NUM)
Name: Vorname:
Matrikel-Nr.: Studiengang:
Pr¨ufungsamt:
Aufgaben-Nr. 1 2 3 4 5 6 7
Punkte max. 3 8 4 5 9 3 3 35
Punkte ist
- 35 Punkte entsprechen nicht 100%.
- Ein Ergebnis kann nur bewertet werden, wenn der Weg dazu deutlich erkennbar ist.
- Pro Blatt ist jeweils nur eine Aufgabe zu bearbeiten.
- F¨ur x ∈ R, h > 0 und Parameter A, B, C ∈ R mit C > 0 sei das folgende lineare 3-Schritt-Verfahren mit variabler Schrittweite bei xj+1 = xj + h, xj+2 = xj + 2h und xj+3 = xj + (2 + C)h als
ηj+3 + Aηj+1 + (1 + C)ηj = h B [f (xj+1, ηj+1) − f (xj , ηj )]
gegeben.
(a) F¨ur welche Parameter A = A(C), B = B(C) hat das Verfahren mindestens die Konsistenzordnung 2?
(b) Seien jetzt C = 1, A = − 3 und B = 3. Konvergiert dieses Verfahren? Wenn ja, welche Konvergenz- ordnung hat es?
- F¨ur reelle Parameter ci, bi, i = 1, 2 , 3 , und a 32 sei das 3 -stufige explizite Runge-Kutta-Verfahren (RKV) mit dem Butcher-Schema
c 1 c 2 1 / 4 c 3 3 / 4 − a 32 a 32
b 1 b 2 b 3
gegeben. Weiterhin erf¨ulle das RKV die Knotenbedingungen ci =
∑^3
j=
aij , i = 1, 2 , 3.
(a) F¨ur welche Parameter hat das RKV mindestens die Konsistenzordnung 3?
(b) Geben Sie f¨ur die RKV mit a 32 = 0, b 1 = −1 + 2b 3 und b 2 = 2 − 3 b 3 die Stabilit¨atsfunktion g(z) an.
- Betrachtet werde die Matrix-Familie
A(α, β) =
1 α 0 α 1 β 0 β 1
mit reellen Parametern α und β sowie ein Vektor b ∈ R^3.
(a) Unter welchen Bedingungen an α und β ist A(α, β) positiv definit?
(b) F¨ur welche Parameter α und β konvergiert das Jacobi-Verfahren f¨ur A(α, β) x = b?
(c) F¨ur welche Parameter α und β konvergiert das Gauß-Seidel-Verfahren f¨ur A(α, β) x = b?
(d) Gegeben sei jetzt das lineare Gleichungssystem A(0, β) x = 0 (also ist jetzt α = 0).
F¨ur welche β besitzt dieses lineare Gleichungssystem eine L¨osung und f¨ur welche Parameter β kon- vergieren das Jacobi- und das Gauß-Seidel-Verfahren gegen die eindeutige L¨osung, wenn der Startwert x = (1, 1 , 0)T^ gegeben ist?
- Die Matrix A sei gegeben durch A = A(b, c) := I + bbT^ + ccT^ , wobei I ∈ Rn×n^ die Einheitsmatrix und b, c ∈ Rn^ mit b 6 = c zwei gegebene, linear unabh¨angige Vektoren sind.
(a) Zeigen Sie, dass A(b, c) positiv definit ist.
(b) Weisen Sie nach, dass der Krylov-Raum Kl(b, A) f¨ur jedes l ∈ N h¨ochstens die Dimension 2 hat.
(c) Unter welcher Bedingung an die Vektoren b und c ist die Dimension des Krylov-Raums K 2 (b, A) genau 2?
(d) Wie viele Schritte ben¨otigt das CG-Verfahren mit dem Startwert x^0 = 0 zur L¨osung des linearen Gleichungssystems A(b, c) x = b mindestens und h¨ochstens?
- F¨ur betragsgroße Zahlen |p| 1 ist x := 1 − ep^ zu berechnen.
(a) Ist diese Aufgabe f¨ur p mit |p| 1 gut konditioniert?
(b) Die Berechnung von x erfolge nach dem Algorithmus
y 0 = ep, x = y 1 = 1 − y 0.
Ist dieser Algorithmus f¨ur p mit |p| 1 numerisch stabil? Hinweis: Fallunterscheidung!
- Gegeben ist die Gleichung (x − 1)^2 = 4 ln(x). (1)
(a) Ermitteln Sie (z.B. mittels Skizze) die Anzahl und die ungef¨ahre Lage der L¨osungen von (1).
(b) Zeigen Sie, dass ϕ(x) := e(x−1)
(^2) / 4
gem¨aß xk+1 = ϕ(xk), k = 0, 1 ,... , und geeignetem Startwert x 0 ∈ R eine gegen eine L¨osung von (1) konvergente Folge erzeugt. Bestimmen Sie die lokale Konvergenzordnung. Hinweis: Hilfreich ist, f¨ur eine (unbekannte) L¨osung von (1) die ungef¨ahre Lage durch ein Intervall (k, k + 1) mit k ∈ Z zu beschreiben.
