Étude d'une fonction complexe et de ses dérivées partielles, Exams of Mathematics

Download Étude d'une fonction complexe et de ses dérivées partielles and more Exams Mathematics in PDF only on Docsity!

MATHS I – 2008

Corrigé

Filière PSI

I La Propriété (H)

I.A. Préliminaires

1 ψ est une application linéaire et transforme la base ((1, 0), (0, 1)) de R^2 en la base (1, i) de C, donc ψ est un isomorphisme et ψ −^1 l’est aussi. Comme R^2 (respectivement C ) est de dimension finie alors ψ est continue ( resp ψ −^1 est continue ).

2 Soit Ω un ouvert de C. Alors, {(x, y) ∈ R^2 ; x + i y ∈ Ω} = ψ −^1 (Ω) est l’image réciproque d’un ouvert par une application continue, c’est donc un ouvert de R^2.

I.B. La propriété (H)

1 1.a. f : C −→ C z 7 −→ z^2

, donc,

∼ f : R^2 −→ C (x, y) 7 −→ x^2 − y^2 + 2 i xy

est une applica-

tion de classe C^1 avec, pour tout (x, y) ∈ R^2 :

∂

∼ f ∂ x

(x, y) = 2 x + 2 i y et

∼ f ∂ y

(x, y) = − 2 y + 2 i x

par suite

∼ f ∂ y

(x, y) = i

∼ f ∂ x

(x, y). Ainsi, f vérifie la propriété (H).

Annales CNC | Filière PSI

• h admet une dérivée partielle par rapport à la première composante :

∀(y, t ) ∈ R × [0, +∞[:

∂ h ∂ y

(y, t ) = −i t 2 e−x t^2 −i y t^2

et

∂ h ∂ y

est continue sur R × [0, +∞[.

• ∀(y, t ) ∈ R × [ 0 , +∞[, |h(y, t )| = e−x t^

2 et la fonction t 7 −→ e−x t^

2 est continue et intégrable sur [0, +∞[.

• ∀(y, t ) ∈ R × R,

∂ h ∂ y

(y, t ) = t 2 e−x t^2 et la fonction t 7 −→ t 2 e−x t^2 est continue et intégrable sur [0, +∞[. D’après la formule de Leibniz, nous déduisons que

∼ f admet une dérivée partielle par rapport à sa deuxième variable et

∀(x, y) ∈ U,

∼ f ∂ y

(x, y) =

0

∂ h ∂ y

(y, t ) dt =

0

−i t 2 e−x t^2 −i y t^2 dt.

2.d. Soit y ∈ R. Posons pour tout (x, t ) ∈] 0 , +∞[×[ 0 , +∞[, g (x, t ) = e−x t^

(^2) −i y t 2 . Alors :

• g est continue sur ]0, +∞[×[0, +∞[.
• g admet une dérivée partielle par rapport à la première composante donnée par : ∀(x, t ) ∈]0, +∞[×[0, +∞[,

∂ g ∂ x

(x, t ) = −t 2 e−x t^2 −i y t^2 ∂ g ∂ x

est ainsi continue sur ]0, +∞[×[0, +∞[.

• Soit a ∈]0, +∞[. ∀(x, t ) ∈ [a, +∞[×[ 0 , +∞[, |g (x, t )| = e−x t^2 ≤ e−at^2 et la fonction t 7 −→ e−at^2 est continue et intégrable sur [0, +∞[. De plus :

∀(x, t ) ∈ [a, +∞[×[ 0 , +∞[,

∂ g ∂ x

(x, t ) = t 2 e−x t^

2 ≤ t 2 e−at^

2 et la fonction

t 7 −→ t 2 e−at^

2 est continue et intégrable sur [0, +∞[. Alors et d’après la formule de Leibniz, nous déduisons que

∼ f admet une dérivée partielle par rapport à sa premième variable avec :

∀(x, y) ∈ U,

∼ f ∂ x

(x, y) =

0

∂ g ∂ x

(x, t ) dt =

0

−t 2 e−x t^

(^2) −i y t 2 dt

Ainsi on remarque que : pour tout (x, y) ∈ U,

∼ f ∂ x

(x, y) =

i

∼ f ∂ y

(x, y).

Corrigé | Maths I – 2008

2.e. Pour tout (x, y) ∈ U, nous avons :

∼ f ∂ y

(x, y) =

−∞

−i t 2 e−x t^

(^2) −i y t 2 dt.

Posons pour tout ((x, y), t ) ∈ U×[0, +∞[, h((x, y), t ) = −i t 2 e−x t^

(^2) −i y t 2 .

• h est continue sur U×[0, +∞[.
• Soit a ∈] 0 , +∞[, on a ∀((x, y), t ) ∈ ([a, +∞[×R)×[ 0 , +∞[, |h((x, y), t )| = t 2 e−x t^

2 ≤ t 2 e−at^

2 et la fonction t 7 −→ t 2 e−at^

2 est continue et intégrable sur [0, +∞[. Alors d’après le théorème de continuité sous le signe intégrale, nous déduisons

que :

∼ f ∂ y

est continue sur U.

Or, et d’après la question précédente, nous avons :

∀(x, y) ∈ U,

∼ f ∂ x

(x, y) =

i

∼ f ∂ y

(x, y)

donc

∼ f ∂ x

est continue sur U. Ainsi

∼ f est de classe C^1 sur U.

Comme, de plus, pour tout (x, y) ∈ U,

∼ f ∂ y

(x, y) = i

∼ f ∂ x

(x, y) nous déduisons

que f vérifie la propriété (H).

3 Quelques propriétés générales.

Soit Ω un ouvert non vide de C et soient f , g deux applications définies sur Ω à valeurs complexes et vérifiant la propriété (H) ; on pose U = ψ −^1 (Ω).

3.a. Soit λ ∈ C. Nous avons (Â λ f + g ) = λ

∼ f +

∼ g , donc (Â λ f + g ) est de classe C^1 sur U. Avec pour tout (x, y) ∈ U :

∂ (Â λ f + g ) ∂ y

(x, y) = λ

∼ f ∂ y

(x, y) +

∼ g ∂ y

(x, y)

= i

 λ

∼ f ∂ x

(x, y) +

∼ g ∂ x

(x, y)

= i

∂ (Â λ f + g ) ∂ x

(x, y)

Ainsi λ f + g vérifie la propriété (H). 3.b. Il est clair que fl( f g ) =

∼ f

∼ g , donc fl( f g ) est de classe C^1 sur U. ∀(x, y) ∈ U, ∂ fl( f g ) ∂ y

(x, y) =

∼ f ∂ y

(x, y) × ∼ g (x, y) +

∼ f (x, y)

∂ ∼ g ∂ y

(x, y)

Corrigé | Maths I – 2008

Soient h l’endomorphisme canoniquement associé à

p a^2 + b 2 0 0

p a^2 + b 2

et ω l’endomorphisme canoniquement associé à

a p a^2 + b 2

−b p a^2 + b 2 b p a^2 + b 2

a p a^2 + b 2

h est une homothétie de R^2 et ω est une rotation de R^2 donc u est une similitude directe de R^2. u est une rotation si, et seulement si,

p a^2 + b 2 = 1 c’est à dire a^2 + b 2 = 1. 3.e. Supposons que

∼ f est de classe C^2. f vérifie la propriété (H), donc, pour tout

(x, y), on a :

∼ f ∂ y

(x, y) = i

∼ f ∂ x

(x, y) et alors

∂^2

∼ f ∂ x ∂ y

(x, y) = i

∂^2

∼ f ∂ x^2

(x, y) et

∂^2

∼ f ∂ y^2

(x, y) = i

∂^2

∼ f ∂ y ∂ x

(x, y).

Le théorème de Schwarz permet d’obtenir :

∂^2

∼ f ∂ x ∂ y

(x, y) =

∂^2

∼ f ∂ y ∂ x

(x, y)

et par suite : i

∂^2

∼ f ∂ x^2

(x, y) =

i

∂^2

∼ f ∂ y^2

(x, y) puis : ∆

∼ f (x, y) = 0.

II Intégrales curvilignes et applications

II.A. Intégrales curvilignes

1 Exemples : Soient α ∈ R et r > 0 ; on considère γ r, α : [0, 1] −→ C, t 7 −→ r ei α t^. 1.a. γ r, α est clairement de classe C^1 , avec γ

′ r, α (t^ ) =^ i r^ α e

i α t

De plus et comme r 6 = 0, l’image de γ r, α est contenu dans C \ { 0 }. Ainsi, γ r, α est un chemin contenu dans C \ { 0 }. D’autre part nous avons par définition : ∫

γ r, α

dz z

0

i r α ei α t r ei α t^

dt = i α

1.b. i) Nous avons

I(r ) =

γ r, π

ei z^ − 1 z

dz

0

i π (ei r e

i π t − 1 ) dt

Annales CNC | Filière PSI

= −i π + i

0

ei r e

i π t π dt

En effectuant le changement de variables u = π t , nous déduisons :

I(r ) = −i π + i

∫ (^) π

0

ei r^ (cos^ u+i^ sin^ u)^ du

Ce qui entraîne le résultat. ii) Par le théorème de majoration, nous obtenons : ∫ (^) π

0

e−r^ sin^ u+i r^ cos^ u^ du 6

∫ (^) π

0

e−r^ sin^ u+i r^ cos^ u^ du

∫ (^) π

0

e−r^ sin^ u^ du

Or et par la relation de Chasles nous avons : ∫ (^) π

0

e−r^ sin^ u^ du =

∫ (^) π/ 2

0

e−r^ sin^ u^ du +

∫ (^) π

π/ 2

e−r^ sin^ u^ du

et en effectuant le changement de variables ∫ v = π − u, nous remarquons que π/ 2

0

e−r^ sin^ u^ du =

∫ (^) π

π/ 2

e−r^ sin^ u^ du. On déduit ainsi l’inégalité : ∫ (^) π

0

e−r^ sin^ u+i r^ cos^ u^ du 6 2

∫ (^) π/ 2

0

e−r^ sin^ u^ du

iii) Sachant que la fonction sin est concave sur l’intervalle [ 0 , π/ 2 ] et que la corde joignant les points de son graphe d’abscisses 0 et π/ 2 respectivement a pour équation y =

π

x, on déduit que pour tout u ∈ [ 0 , π/ 2 ] :

π

x 6 sin u. Ce qui entraîne par croissance des intégrales que : ∫ (^) π/ 2

0

e−r^ sin^ u^ du 6

∫ (^) π/ 2

0

e−r^ π^2 u^ du =

π 2 r

[ 1 − e−r^ ]

qui tend vers 0 quand r tend vers +∞. D’où, I(r ) (^) r−→ →+∞ −i π.

2 2.a. Comme γ est continue sur [a, b ] à valeurs dans Ω et que F est continue sur Ω, alors et par composition F ◦ γ est continue. De plus, considérons une subdivision σ = (a 0 , a 1 ,... , aN) associée à γ. Par composition d’applications de classe C^1 , nous déduisons que F ◦ γ est de classe C^1 sur les intervalles [ai− 1 , ai ] pour tout 1 6 i 6 N. Ce qui montre que F ◦ γ est C^1 par morceaux sur [a, b ]. D’autre part, on pose γ (t ) = x(t ) + i y(t ) pour tout t ∈ [a, b ] et on identifie γ (t ) au couple (x(t ), y(t )) et γ

′ (t ) au couple (x′(t ), y′(t )) quand cela a un sens, on obtient alors pour tout t ∈ [a, b ] \ {a 0 , a 1 ,... , aN} : (F ◦ γ )′(t ) = (eF ◦ γ )′(t ) = deF( γ (t )). γ

′ (t )

Annales CNC | Filière PSI

• pour chaque 0 6 i 6 N, la restriction de γ à [ai− 1 , ai ] coïncide avec la restriction de γ 1 à cet intervalle et donc elle est de classe C^1.
• pour N+ 1 6 i 6 N+N′, la restriction de γ à [ai− 1 , ai ] coïncide avec la composée de l’application t 7 → t − b + c et de la restriction de γ 2 à l’intervalle [ci− 1 −N, ci−N] et qui sont de classe C^1 alors et par composition la restriction de γ à [ai− 1 , ai ] est de classe C^1 sur [ai− 1 , ai ]. On conclut ainsi que γ est bien un chemin. 3.b. De la définition, et en utilisant la rela tion de Chasles pour les intégrales nous obtenons : ∫

γ

f (z) dz =

∫ (^) b +d −c

a

f ( γ (t )) γ ′(t ) dt

∫ (^) b

a

f ( γ 1 (t )) γ (^) 1 ′(t ) dt +

∫ (^) b +d −c

b

f ( γ 2 (t − b + c)) γ (^) 2 ′(t − b + c) dt

Or,

∫ (^) b

a

f ( γ 1 (t )) γ

′ 1 (t^ )^ dt^ =

γ 1

f (z) dz et en effectuant le changement de variables

u = t − b + c nous obtenons : ∫ (^) b +d −c

b

f ( γ 2 (t − b + c)) γ

′ 2 (t^ −^ b^ +^ c)^ dt^ =

∫ (^) d

c

f ( γ 2 (u)) γ

′ 2 (u)^ du^ =

γ 2

f (z) dz

Ainsi : (^) ∫

γ

f (z) dz =

γ 1

f (z) dz +

γ 2

f (z) dz

II.B. Étude de la somme d’une série entière et application

1 1.a.^ Soit^ y 0 ∈]^ −^ R, R[,^ posons^ I^ =

ò −

q R^2 − y 02 ,

q R^2 − y 02

ï ( = R si R = +∞) et pour tout x ∈ I, g (x) = f (x + i y 0 ). Pour tout x ∈ I, nous avons : |x + i y 0 | =

q x^2 + y 02 <

q R^2 − y 02 + y 02 = R , donc

g est bien définie sur I et de plus g (x) =

∑^ +∞

n= 0

an (x + i y 0 )n^.

Posons pour n ∈ N et x ∈ I, : gn (x) = an (x + i y 0 )n^. Nous avons :

• ∀n ∈ N, gn est de classe C^1 sur I.
• La série

gn converge simplement sur I, de somme g.

• ∀n ∈ N∗^ , ∀x ∈ I, g (^) n′ (x) = nan (x + i y 0 )n−^1 et g 0 ′(x) = 0. Soit J un compact inclus dans I, l’application φ : x 7 −→ x + i y 0 est continue de R dans C, donc φ (J) est un compact de C tel que φ (J) ⊂ D(0, R). La série entière

n≥ 1

nan zn−^1 est de rayon de convergence R ( c’est la série dérivée

de

an zn^ ) donc, elle converge uniformément sur tout compact inclus dans D(0, R), en particulier sur φ (J).

Corrigé | Maths I – 2008

Et par suite la série entière

nan (x + i y 0 )n−^1 converge uniformément sur J. En conclusion : g est de classe C^1 sur I et pour tout x ∈ I,

g ′(x) =

∑^ +∞

n= 1

nan (x + i y 0 )n−^1.

1.b. Soit U = ψ −^1 (D( 0 , R)) , pour tout (x, y) ∈ U,

∼ f (x, y) = f (x+i y) =

∑^ +∞

n= 0

an (x+i y)n^.

Soit y ∈] − R, R[, posons Iy =

ò −

R^2 − y^2 ,

R^2 − y^2

ï ( = R si R = +∞) D’après la question (a), l’application gy : x 7 −→ f (x + i y) est dérivable

sur Iy et pour tout x ∈ Iy , g (^) y′ (x) =

∑^ +∞

n= 1

nan (x + i y)n−^1. Ainsi,

∼ f ad-

met une dérivée partielle par rapport à sa première variable et pour tout

(x, y) ∈ U,

∼ f ∂ x

(x, y) =

∑^ +∞

n= 1

nan (x + i y)n−^1.

• Soit x ∈] − R, R[, posons Ix =

i −

p R^2 − x^2 ,

p R^2 − x^2

h ( = R si R = +∞) on montre de la même façon que l’application hx : y 7 −→ f (x + i y) est dérivable sur

Ix et pour tout y ∈ Ix , h′ x (y) =

∑^ +∞

n= 1

i nan (x + i y)n−^1.

Donc

∼ f admet une dérivée partielle par rapport à sa deuxième variable et pour

tout (x, y) ∈ U,

∼ f ∂ y

(x, y) =

∑^ +∞

n= 1

i nan (x + i y)n−^1. On en déduit que pour tout

(x, y) ∈ U, ∂

∼ f ∂ y

(x, y) = i

∼ f ∂ x

(x, y)

1.c. Nous avons pour tout (x, y) ∈ U,

∼ f ∂ x

(x, y) =

∑^ +∞

n= 1

nan (x + i y)n−^1. Pour tout

n ∈ N∗, et pour tout (x, y) ∈ U, posons gn (x, y) = nan (x + i y)n−^1. Nous avons :

• ∀n ∈ N∗, gn est continue sur U.
• Soit K un compact inclus dans U , comme ψ est continue sur R^2 alors ψ (K) est un compact inclus dans D(0, R). Ainsi la série entière

nan zn−^1 converge uniformément sur ψ (K), donc la série ∑ gn (x, y) converge uniformément sur K. La fonction,

∼ f ∂ x

est donc continue sur U.

D’après (b) ∀(x, y) ∈ U,

∼ f ∂ y

(x, y) = i

∼ f ∂ x

(x, y), donc

∼ f ∂ y

est continue sur U.

Corrigé | Maths I – 2008

et comme

γ r

g (z) dz = 0 alors, ∫

γ (^) r^1

g (z) dz = −

γ (^) r^2

ei z^ − 1 z

dz

2.d. On note h la fonction u 7 −→

sin u u

prolongée par continuité en 0 ; montrer que Par définition de l’intégrale le long d’un chemin nous obtenons : ∫

γ^1 r

g (z) dz =

0

ei r^ (^2 t^ −^1 )^ − 1 ( 2 t − 1 )

2 dt

En effectuant le changement de variables u = ( 2 t − 1 )r, nous obtenons : ∫

γ (^) r^1

g (z) dz =

∫ (^) r

−r

ei u^ − 1 u

du =

∫ (^) r

−r

2 i ei u /^2

sin(u / 2 ) u

du

En séparant la partie réelle et imaginaire, nous obtenons : ∫

γ^1 r

g (z) dz = i

∫ (^) r

−r

sin(u) u

du − 2

∫ (^) r

−r

sin^2 (u / 2 ) u

du

et comme les fonctions à intégrer sont respectivement paire et impaire, il vient que : (^) ∫

γ^1 r

g (z) dz = 2 i

∫ (^) r

0

h(u) du

D’autre part, et d’après la question II.A.1, on reconnaît que : ∫

γ (^) r^2

ei z^ − 1 z

dz =

γ r, π

ei z^ − 1 z

dz = I(r )

On déduit, en comparant avec l’égalité de la question précédente, que : ∫ (^) r

0

h(u) du =

i 2

I(r )

et comme I(r ) (^) r−→ →+∞ −i π alors : ∫ (^) r

0

h(u) du (^) r−→ →+∞

π 2

III 3

`e me Partie : Analyticité des applications vérifiant la

propriété (H).

Soient Ω un ouvert non vide de C, z 0 = x 0 + i y 0 ∈ Ω et f : Ω 7 −→ C vérifiant

la propriété (H). 1 Ω^ est un ouvert de^ C^ et^ z 0 ∈^ Ω, donc il existe^ ρ 0 >^ 0 tel que^ D(z 0 ,^ ρ 0 )^ ⊂^ Ω, alors l’ensemble { ρ > 0; D(z 0 , ρ ) ⊂ Ω} n’est pas vide.

Annales CNC | Filière PSI

Si cet ensemble est majoré, on note R sa borne supérieure, sinon on pose R = +∞.

2 On note ϕ l’application de ]0, R[×R dans C définie par

ϕ (r, θ ) = f (z 0 + r ei θ ) =

∼ f (x 0 + r cos θ , y 0 + r sin θ ) On a l’application (r, θ ) 7 −→ (x 0 + r cos θ , y 0 + r sin θ ) est de classe C^1 sur ] 0 , R[×R et

∼ f est de classe C^1 sur ψ −^1 (Ω) donc ϕ est de classe C^1 sur ] 0 , R[×R. Pour tout (r, θ ) ∈]0, R[×R ∂ ϕ ∂ r

(r, θ ) =

∼ f ∂ x

(x 0 + r cos θ , y 0 + r sin θ ) × cos θ +

∼ f ∂ y

(x 0 + r cos θ , y 0 + r sin θ ) × sin θ

= ei θ^

∼ f ∂ x

(x 0 + r cos θ , y 0 + r sin θ ) et ∂ ϕ ∂ θ

(r, θ ) =

∼ f ∂ x

(x 0 + r cos θ , y 0 + r sin θ ) × (−r sin θ ) +

∼ f ∂ y

(x 0 + r cos θ , y 0 + r sin θ ) × (r c

= i r ei θ^

∼ f ∂ x

(x 0 + r cos θ , y 0 + r sin θ )

Ainsi ∀(r, θ ) ∈]0, R[×R,

∂ ϕ ∂ θ

(r, θ ) = i r

∂ ϕ ∂ r

(r, θ )

3 Pour tout r ∈]0, R[, on note ϕ r l’application définie sur R par :

ϕ r ( θ ) = ϕ (r, θ ) = f (z 0 + r ei θ ) 3.a. Soit r ∈] 0 , R[. ϕ est de classe C^1 sur ] 0 , R[×R, donc ϕ r est de classe C^1 sur R. Pour tout θ ∈ R, ϕ r ( θ + 2 π ) = f (z 0 + r ei( θ +^2 π )) = f (z 0 + r ei θ ) = ϕ r ( θ ), donc ϕ r est 2 π périodique sur R. D’autre part, pour tout θ ∈ R :

ϕ ′ r ( θ ) =

∂ ϕ ∂ θ

(r, θ ) = i r ei θ^

∼ f ∂ x

(x 0 + r cos θ , y 0 + r sin θ )

On note (cn (r ))n∈Z la suite des coefficients de Fourier complexes de ϕ r. 3.b. ϕ r est 2 π périodique, de classe C^1 sur R donc la suite (cn (r ))n∈Z est sommable, alors la série de Fourier de la fonction ϕ r converge normalement sur R et d’après le théorème de Dirichlet, la somme de cette série est ϕ r.

∀ θ ∈ R, ϕ r ( θ ) = c 0 (r ) +

∑^ +∞

n= 1

Ä

cn (r )ei n θ^ + c−n (r )e−i n θ

ä

4 On pose hn (r ) =

cn (r ) r n^

, r ∈]0, R[ , n ∈ Z.

Annales CNC | Filière PSI

f (z) = f (z 0 + r ei θ ) = ϕ r ( θ ) =

∑^ +∞

n= 0

cn (r )ei n θ^ =

∑^ +∞

n= 0

an (r ei θ )n^ =

∑^ +∞

n= 0

an (z − z 0 )n^.

Posons ∀z ∈ D(z 0 , R), g (z) =

n= 0

an (z − z 0 )n^ et A = D(z 0 , R){z 0 }.

On a f et g sont continues sur D(z 0 , R) et pour tout z ∈ A, f (z) = g (z), donc ∀z ∈ − A f (z) = g (z), en particulier, ∀z ∈ D(z 0 , R) f (z) =

∑^ +∞

n= 0

an (z − z 0 )n^.

6 Posons pour tout z ∈ D( 0 , R), h(z) = f (z + z 0 ) =

∑^ +∞

n= 0

an zn^. Pour tout x ∈] − R, R[,

h(x) =

∑^ +∞

n= 0

an xn^. Donc h est développable en série entière en 0 et d’après l’unicité du

développement en série entière, on déduit l’unicité de la suite (an )n∈N.

7 On a ϕ r est continue et 2 π périodique sur R alors et d’après la formule de Parseval ,

‖ ϕ r ‖^22 =

∑^ +∞

n= 0

|cn (r )|^2 c’est à dire :

1 2 π

∫ (^2) π

0

f (z 0 + r ei θ )

2 d θ =

∑^ +∞

n= 0

|an |^2 r 2 n^ ( Formule de Gutzmer )

8 Application au théorème de Liouville^ Supposons que^ f^ est bornée, alors il existe M > 0 tel que : ∀z ∈ C, | f (z)| ≤ M. Soit n ∈ N∗, on a d’après la formule de Gutzmer, pour tout r ∈]0, +∞[,

an r 2 n^ ≤

∑^ +∞

k= 0

|ak |^2 r 2 k^ =

2 π

∫ (^2) π

0

f (r ei θ )

2 d θ ≤ M^2 donc an = 0,

car sinon et en faisant tendre r vers +∞, on obtient une absurdité. Alors pour tout z ∈ C, f (z) = a 0 ; et donc f est constante.

FIN DU CORRIGÉ