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S-MI-1
Concours EAMAC
2018
Cycle INGENIEUR
MATHEMATIQUES
Exercice S-MI1.1 (5 points):
Soit (p, q) appartenant à C2. On note x1, x2, x3 les zéros de X3+pX+q dans C de sorte que
X3+pX+q = (X-x1) (X-x2) (X-x3)
On note : = x1+x2+x3, = x1x2+x1x3+x2x3 et = x1x2x3.
On note, pour tout k appartenant à IN : Sk = x1k+x2k+x3k
1) Montrer que = 0, = p et = -q.
2) a) Calculer S0, S1, S2 en fonction de p et q.
b) Etablir que, pour tout k appartenant à IN, Sk+3 + pSk+1+qSk = 0
c) En déduire S3 et S4 en fonction de p et q.
3) Calculer A = x13x2 + x13x3 + x23x1 + x23x3 + x33x1 + x33x2 en fonction de p et q.
Exercice S-MI1.2 (5 points):
On note A = (2 1
5 3) et B=(4 1
7 2) appartenant à M2 (IR),
ɸ : M2 (IR) → M2 (IR), définie par ɸ (M) = AMB.
a. Vérifier que ɸ est linéaire.
b. Montrer que ɸ est bijective et déterminer ɸ-1.
c. Montrer que B = (I2, A, B, AB) est une base de M2 (IR), déterminer les matrices de ɸ et ɸ-1
dans B.
Exercice S-MI1.3 (5 points) :
Soit a un nombre réel et f : [a,+∞[→ℝ une application de classe C¹.
1. Montrer que si lim
+∞ 𝑓′(𝑥)= +∞, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 lim
+∞ 𝑓(𝑥)= +∞.
2. Que peut-on dire de l'hypothèse lim
−∞ 𝑓′(𝑥)= −∞?
On suppose à présent que pour tout x ∈ [a,+∞[, f(x) est strictement positif.
3. Soit g: [a,+∞[→ℝ une application de classe C¹ telle que :
