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exercices probabilité corrigés for students
Typology: Essays (university)
1 / 32
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Année académique 2001 - 2002
FUNDP
Faculté des sciences économiques,
sociales et de gestion
Première candidature en Sciences économiques et de gestion
Première candidature en Sciences politiques et sociales
Première candidature en ingénieur de gestion
Jean-Charles JACQUEMIN
Professeur
Solutions des exercices récapitulatifs : introduction i
Ce document, qui à terme comportera plus de 100 exercices récapitulatifs et une
(ou plusieurs) proposition(s) de solution pour chacun d’eux, doit être utilisé
comme un outil de contrôle de sa propre démarche dans la résolution des
problèmes de probabilité se trouvant en fin de section ou chapitre et également à
la fin des notes de cours.
Il est de première importance d’essayer de résoudre d’abord les exercices
avant de consulter les suggestions de correction.
Je tiens à remercier ici tous les assistants du cours depuis que je l’enseigne, et en
particulier Eric Toulemonde, Anne-Sophie Brasselle, Christine Marsigny et
Ghislaine Bauwens, qui par leur remarques et suggestions ont apporté des
améliorations significatives aux énoncés ainsi qu’à certaines propositions de
solution.
Les générations passées d’étudiants ont inspiré également chaque année des
améliorations et leurs réactions ont également permis d’affiner le texte.
N.B. Le texte contiendra au fur et à mesure de sa finalisation quelques liens
hypertexte de la table des matières vers l’énoncé et le corrigé de l’exercice
considéré.
Solutions des exercices récapitulatifs : introduction iii
Chapitre 0 : Solutions des exercices récapitulatifs 1
Annexe au chapitre 0 : Exercices récapitulatifs (solutions)
Exercice 0.1 :
Un cadre doit visiter cinq ateliers (A, B, C, D, E) chaque semaine. Il visite un (et
seul) atelier différent chaque jour, du lundi au vendredi. Il choisit l’ordre de ses
visites AU HASARD tous les dimanches.
De combien de façons différentes peut-il organiser ses tournées?
Pour choisir au hasard, il pourrait inscrire les noms des ateliers sur cinq bouts de
papier, mélanger ces derniers dans une urne et les tirer (sans remise) un à un, il
visitera le premier nom tiré le lundi, etc.
Donc :
En tout, il dispose donc de 5.4.3.2.1 = 120 possibilités d’organiser ses visites
hebdomadaires. (Application du principe de multiplication.)
Idem sur deux semaines?
Pour deux semaines successives, il dispose de 120 x 120 = 120² possibilités.
Exercice 0.2 :
Pour me rendre à mon travail, je dispose du métro, je peux marcher et trois bus
peuvent me mener à destination.
De combien de possibilités de me rendre à mon travail puis-je bénéficier?
Je dispose de 1 + 1 + 3 = 5 possibilités.
Chapitre 0 : Solutions des exercices récapitulatifs 4
a) {2, 5, 4} = {4, 5, 2}.
b) {4, 2, 3} {2, 3, 4}.
c) {4} {{4}}.
d) Ø {{4}}.
e) {4} {{4}}.
f) 1 {1, 2, 3, 4}.
SAUF c)
Soit le plan suivant d’un parc à allées rectilignes. Un homme s’y promène tous
les jours, commence toujours sa promenade en allant de X en R et se déplace
(sur le plan) horizontalement ou verticalement une étape à la fois. Il s’arrête
quand il ne peut continuer à marcher sans passer deux fois sur le même point. Il
modifie sa promenade tous les jours.
Combien de promenades différentes sont-elles possibles?
A B C
R S T
X Y Z
En rouge, les 10 différentes étapes terminales.
Une femme dispose de deux bagues identiques. Elle décide de les mettre, soit à
l’index, soit au majeur, soit à l’annulaire de la main droite. Elle change chaque
jour la disposition de ses bagues.
a) Combien de temps maximum se passe-t-il entre deux dispositions
identiques?
Soit l’épreuve 1 : « Placer une des deux bagues sur un des trois doigts. », #S 1 =
avec S 1 son espace d’échantillonnage.
Soit l’épreuve 2 : « Placer l’autre bague sur un des trois doigts. », #S 2 =3 avec S 2
son espace d’échantillonnage.
Donc, par le principe de la multiplication, on dispose de 3 x 3 = 9 possibilités de
placement des bagues.
Mais comme les bagues sont identiques, il est impossible de distinguer M – I de
I – M , M – A de A – M et I – A de A – I avec X – Y , signifiant : « La bague 1 a
été placée sur le doigt X (X = I, A, M) et la bague 2 sur le doigt Y (Y = I, A,
Il faut donc retirer 3 possibilités des 9, il reste six placements conjoints distincts
des deux bagues identiques.
Il se passe donc 6 jours au maximum entre deux dispositions identiques.
b) Quid si les bagues sont différentes?
Si les bagues sont différentes, leur ordre quand elles sont sur le même doigt
importe, or il existe 3 possibilités de présence commune sur chacun des 3
doigts. Quand leur présence est commune, il existe 2! = 2 arrangements
différents de ces deux bagues.
Donc il existe 6 possibilités d’enfiler les deux bagues sur un doigt commun.
Il faut les ajouter aux 6 possibilités d’arrangements distincts des deux bagues sur
deux doigts différents.
Il existe donc 12 arrangements différents des deux bagues sur les trois doigts.
Il se passe donc 12 jours au maximum entre deux dispositions identiques.
Madame A. Lamode dispose aujourd’hui de 3 vases de Chine, de deux cristaux
de Bohème et d’un saladier du Val-Saint-Lambert, tous ces objets sont
différents. Elles les expose fièrement sur une planche de la vitrine de son salon
et se donne comme règle de disposer différemment ces objets chaque fois
qu’elle reçoit ses amies pour le thé.
Combien de fois peut-elle inviter ses amies sans répéter une disposition déjà
réalisée :
a) si aucune restriction n’est mise sur la disposition?
Il s’agit du nombre de permutations de 6 objets = 6! = 720 possibilités de
rangement.
b) si les vases de Chine doivent être rangés ensemble et les cristaux de
Bohème également?
Il existe 3! possibilités de ranger les 3 vases de Chine côte à côte, de même 2!
possibilités pour les cristaux de Bohème. Donc par le principe de multiplication
3 !2 !1! possibilités de ranger les objets en commençant par les vases de Chine,
suivis des cristaux de Bohème, pour terminer par le VSL. Enfin il existe 3!
possibilités de ranger (c’est-à-dire permuter) les trois groupes d’objets (vases de
Chine, cristaux de Bohème, VSL). Donc au total 3 !3 !2 !1! = 72 possibilités de
rangement.
c) si seuls les vases de Chine doivent se trouver ensemble?
Dans ce cas, on considère un groupe de trois objets (les vases de Chine) et les
trois autres objets forment chacun un groupe. Donc au total, il s’agit de ranger
quatre groupes. Par le même argument que b) supra, il existe 4 !3! = 144
possibilités de rangement.
Monsieur Lamode a promis à son épouse de lui offrir un nouveau Val-Saint-
Lambert quand la situation de répétition d’une disposition se produira.
Après cet événement, que deviennent les prévisions du nombre d’invitations
dans les trois cas ?(Pour cette question, on supposera qu’au point b) les vases
Val-Saint-Lambert restent groupés ensemble.)
a) 7! = 5040 possibilités de rangement.
b) 3 !3 !2 !2! = 144 possibilités de rangement.
c) 5 !3! = 720 possibilités de rangement.
Exercice 0.11 :
Dans les « Noces de Figaro », W.A. Mozart à composé une œuvre où les
ensembles de taille variable amènent tous les protagonistes à se rencontrer. Il
rompait, se faisant, avec la tradition de l’opéra classique et, en innovant de la
sorte, produisait un chef d’œuvre absolu de la culture.
Le célèbre chef d’orchestre P.Avaroti a contacté cinq chanteurs et sept
chanteuses qui seraient susceptibles d’être retenus pour la distribution de la
nouvelle production des « Noces » que l’Opéra National lui a demandé de
diriger la saison prochaine. Deux chanteurs sont nécessaires et 3 chanteuses.
a) Combien de distributions différentes peut-il envisager?
Pour les chanteurs :
2
5
C possibilités et
3
7
C possibilités pour les chanteuses, donc
par le principe de multiplication, : 350
4! 3!
7!
3! 2!
5! 3
7
2
5
C C possibilités.
b) Parmi les chanteuses pressenties, la diva C. Astafiore refuse absolument de
partager la scène avec L. Acallas dont elle est très jalouse. P.Avaroti
n’envisage donc pas de les faire chanter ensemble. Combien de possibilités
de distribution lui reste-t-il?
3
5
C en
effet puisqu’on exclut les deux divas, il reste 5 chanteuses parmi lesquelles
on en choisit trois. 10
2! 3!
5! 3
5
C possibilités.
deux divas :
Pour une diva donnée (par exemple C.Astafiore) :
2
5
C en effet puisque sur les
sept chanteuses une diva est choisie et l’autre exclue, il reste donc 5
chanteuses parmi lesquelles P. Avaroti doit en choisir deux puisque une (la
diva) est imposée.
Mais nous avons deux divas, il faut donc multiplier ce nombre par 2.
Donc finalement, dans ce cas P.Avaroti dispose de 2 20
2
5
C possibilités.
chanteuses, à multiplier par les
2
5
C possibilités de choisir les chanteurs =
30 10 (^300) possibilités de composer la distribution.
Chapitre 1 : Solutions des exercices récapitulatifs 12
Exercice 1.7 :
Pour un lot d’une douzaine d’ampoules à tester, représentez l’espace
d’échantillonnage S : S = {x N : 0 x 12}.
ainsi que les événements suivants comme des sous-ensembles de l’espace
d’échantillonnage S :
Exercice 1.8 : Voici une liste d’événements associés aux épreuves décrites dans
une série précédente d’exercices. Décrivez chaque événement comme un sous-
ensemble de l’espace d’échantillonnage adéquat :
« Votre ami gagne au moins deux parties de dames. » : B = {0, 1}.
D = {x R : 0 () < x 5}.
« L’ambulance met plus de dix minutes pour arriver. » :
E = { x R : 10 < x}.
F = {x R : x < 0}, avec x = taille du mari – taille de l’épouse.
G = {(x,y) : x = 75, 76, …, 100 ; y = 0, 1, 2, …, 100}.
« Le second candidat donne au moins 75 réponses correctes. » :
H = {(x,y) : x = 0, 1, 2, …, 100 ; y = 75, 76, …, 100}.
« A eux deux, les candidats donnent au moins 150 réponses
correctes. » :
Chapitre 1 : Solutions des exercices récapitulatifs 13
I = {(x,y) : x = 0, 1, 2, …, 100 ; y = = 0, 1, 2, …, 100 ; x + y > 149}.
Chapitre 1 : Solutions des exercices récapitulatifs 15
Exercices récapitulatifs sur les probabilités élémentaires (annexe 2 au Ch. 1).
Exercice 1.11 :
Soit l’épreuve : « On lance trois fois de suite un dé honnête ».
Donc S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}³.
A : « On n’obtient pas d’as aux trois lancers. » = {2, 3, 4, 5, 6}³.
B : « On obtient exactement un as. »
= {{(1, i, i)} {(i, 1, i)} {(i, i, 1)}: i {2, 3, 4, 5, 6}}.
C : « On obtient au moins un as. » = S{2, 3, 4, 5, 6}³ ou ~{2, 3, 4, 5, 6}³.
D : « On obtient un as au deuxième et au troisième lancer. »
= {(i, 1, 1) : i {1, 2, 3, 4, 5, 6}}.
0,3472...
.
0,0000769...
1
Chapitre 1 : Solutions des exercices récapitulatifs 16
Exercice 1.12 :
Sur les 10 filles assises au premier rang, 3 ont les yeux bleus. On en désigne 2 au
hasard.
Quelle est la probabilité :
d) qu’elles aient toutes deux des yeux bleus? (P(2) ?)
Il y a 45
2
10
C possibilités de désigner deux filles au hasard parmi les 10.
Il y a 3
2
3
C possibilités de désigner deux filles parmi les 3 qui ont des yeux
bleus.
La probabilité p recherchée se calcule donc par la formule classique p=
15
e) qu’aucune n’aie des yeux bleus? (P(0) ?)
Il y a 45
2
10 C possibilités de désigner deux filles au hasard parmi les 10.
Il y a 21
2
7 C possibilités de désigner deux filles parmi les 7 qui n’ont pas des
yeux bleus.
La probabilité p recherchée se calcule donc par la formule classique p
15
f) au moins une ait des yeux bleus ?(P(>0) ?)
Il y a 45
2
10 C possibilités de désigner deux filles au hasard parmi les 10.
Il y a 7
1
7 C possibilités de désigner une fille parmi les 7 qui n’ont pas des yeux
bleus.
Il y a 3
1
3 C possibilités de désigner une fille parmi les 3 qui ont des yeux bleus.
Donc la probabilité qu’exactement une fille ait des yeux bleus et pas l’autre P(1)
= (formule classique) =
15
Mais nous cherchons la probabilité qu’au moins une ait des yeux bleus :
P(>0) = P(1) + P(2) (puisque événements incompatibles) =
15
