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La notion de probabilité, dans sa forme la plus simple, remonte à l’origine des
jeux de hasard. De nombreux jeux, plus ou moins complexes, utilisent les cartes ou
les dés et établir des stratégies pour ces jeux exigeait de se questionner sur les
chances de chacun de gagner, ou sur la probabilité de certains événements, mais la
notion de probabilité restait aussi rudimentaire au début, il suffisait de savoir
quelles sont les chances de tirer un double six ou encore de piger une carte de
pique. Le terme probabilité désigne l'opposé du concept de certitude, il est
également une évaluation du caractère probable d'un événement, c'est-à-dire
qu'une valeur permet de représenter son degré de certitude. Après on a la
probabilité conditionnelle qui revient donc à retrouver la probabilité d'un second
événement alors que l'on sait qu'un premier événement s'est déjà produit
auparavant, les probabilités conditionnelles font l'objet de paradoxes tels que le
paradoxe des deux enfants, le paradoxe des deux enveloppes, le paradoxe des trois
pièces de monnaie et le paradoxe des prisonniers.
Introduction
La probabilité composée c’est le fait de calculer la probabilité de l’interaction
des événements, c’est une multiplication de deux types de probabilités (simple et
conditionnelle) d’où vient son nom.
On sait que :
P ( A / B )=
P ( A ∩ B )
P ( B )
et P ( B / A )=
P ( A ∩ B )
P ( A )
C’est-à-dire que :
P ( A ∩B )= P ( B ) × P ( A / B )= P ( A ) × P ( B / A )
Tel que P ( B ) ≠ 0 et P ( A ) ≠ 0
Note : Dans le cas où les événements sont indépendants
On trouve que : P ( A ∩B )= P ( B ) × P ( A )
On peut généraliser la formule précédente
Soit (Ω , P( Ω) , P ¿ un espace probabilisé fini et A 1
, … …. , A
n
∈ P ( Ω ) (^) des événements
tels que P ( A 1
∩… … ∩ A
n − 1
) ≠ 0 on a :
P
¿ i = 1 ¿
n A
i )
= P
A
1 )^
P
A
2
/ A
1 )^
P
A
3
/ A
1
∩ A
2 )^
… … P
A
n
/ A
1
∩… .. ∩ A
n − 1 )
Exemple : Considérons une urne contenant 6 boules rouges et 4 boules blanches.
On tire successivement 3 boules sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir
un tirage constitué de 3 boules blanches?
Notons Ai l’évènement "la i -ème boule tirée est blanche".
Clairement, on a : P^ ( A
P
A
2 )^
est moins évident car on ne connaît pas la composition précise de l’urne lors
du deuxième tirage. Cependant, le calcul de P A 1
A
est facile :
P
A
2
/ A
De même :
P
A
3
/ A
1
∩ A
Par la formule des probabilités composées, on obtient :
P ( A
1
∩ A
2
∩ A
3
)=^
×
×
Probabilité composée
Probabilité totale
Il arrive dans certains problèmes pratiques qu'on ait besoin de probabilités a
posteriori du type P ( A n
/ B ), alors que, à partir de considérations théoriques ou de
données historiques, on connaisse plutôt les probabilités a priori P ( A n
) et les
probabilités conditionnelles P ( B / A n
). Le théorème de Bayes indique comment
obtenir les probabilités désirées sous certaines hypothèses sur les événements An.
Théorème de Bayes :
Soit (Ω, P) un espace probabilisé fini. Soient (A 1 , …, An) un système complet
d’événements et B un événement tels que, pour tout k ∈ {1, n}, P(Ak) ≠ 0 et P(B) ≠
- Alors,
P ( A
k
/ B )=
P ( A
k
) ×^ P ( B^ /^ A
k
∑
i = 1
n
P ( A
i
) P ( B / A
i
Exemple :
Trois usines produisent des moteurs identiques qui sont stockés dans un même
entrepôt dont la répartition est donnée :
- 50% des moteurs proviennent de l'usine A, 30% de l'usine B et 20% de l'usine C.
{-5% des moteurs produits dans l'usine A sont défectueux, 8% pour l'usine B et 4%
pour l’usine. Calculer la probabilité pour qu'un moteur défectueux
provienne de l'usine A.
On considère l'expérience suivante : on choisit au hasard un moteur (et donc avec
équiprobabilité).
Soit A l'événement "le moteur provient de l'usine A".
Soit B l'événement "le moteur provient de l'usine B".
Soit C l'événement "le moteur provient de l'usine C".
Soit D l'événement "le moteur est défectueux".
Soit D’: l'événement "le moteur n'est pas défectueux".
Regardons un peu les données par l'énoncé. On sait que :
P(A)=
, P(B)=
, P(C)=
P(D/A)=
, P(D/B) =
, P(D/C) =
On cherche P(A/D). Puisque (A, B, C) forme un système complet d'événements, on
peut appliquer la formule de Bayes :
P (A/D)=
P ( A ∩ D )
P ( D )
P ( A ) P ( D / A )
P (^ A )^ P ( D / A )+ P (^ B )^ P ( D / B )+ P ( C ) P ( D / C )
Formule de BAYES :
Donc :
P ( A / D )=
×
×
×
×
1. En biologie (Test des vaccins)
Deux laboratoires pharmaceutiques proposent chacun leur vaccin contre une
maladie. On dispose des données suivantes :
- Un quart de la population a utilisé le vaccin A , et un cinquième le vaccin B.
- Lors d’une épidémie, on constate que sur 1000 malades, 8 ont utilisé le vaccin
A , et 6 le vaccin B.
On choisit un individu au hasard dans la population, et on note :
M = “l’individu est malade”
V = “l’individu est vacciné”
V’ = “l’individu non vacciné”
On appelle indicateur d’efficacité d’un vaccin le réel :
γ =
P ( M / V ' )
P ( M / V )
probabilité q u
'
un individu non vacciné soit malade
probabilité q u
'
un individu vacciné soit malade
Calculer γ pour chacun des deux vaccins. Quel est le plus efficace?
Notons VA (resp. VB) l´événement “l’individu a le vaccin A ” (resp. Vaccin B). Les
données de l’énoncé se traduisent par :
P ( V
A
) =0,25^ ;^ P ( V^
B
) =0,2 ;^ P (^ V
A
/ M )=0,008 ; et P (V B
/ M )=0,
λ A
P ( M /V
A
P ( V
A
/ M )
D’après la formule de Bayes :
P (
V
A
/ M ) × P ( M )
P
(
V
A )^
×
P ( V
A
P (V
A
/ M ) × P ( M )
( 1 − P ( V
A
/ M )) × P ( V
A
(
1 − P ( V
A )^ )
× P ( V
A
/ M )
0,992 × 0,
0,75 × 0,
Applications de formule de Bayes :
2. En assurance
Une compagnie d'assurance répartit ses clients en trois classes R1, R2 et R3 : les
bons risques, les risques moyens, et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois
classes représentent 20% de la population totale pour la classe R1, 50% pour la
classe R2, et 30% pour la classe R3. Les statistiques indiquent que les probabilités
d'avoir un accident au cours de l'année pour une personne de l'une de ces trois
classes sont respectivement de 0,05 ; 0,15 et 0,30.
[1]Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la
population ait un accident dans l’année?
On note A l'événement "avoir un accident dans l'année". Comme les trois classes
R1, R2 et R3 réalisent une partition de la population. On peut appliquer la formule
des probabilités totales :
P ( A )= P ( A / R
1
) P
R
1 )^
+ P ( A / R
2
) P
R
2 )^
+ P ( A / R
3
) P
R
¿ 0,05 × 0,2+ 0,15 × 0,5+0,3 × 0,3=0,175.
[2]Si M. Martin n'a pas eu d'accident cette année, quelle est la
probabilité qu'il soit un bon risque?
On cherche la probabilité d'être dans R1 sachant qu'on n'a pas eu d'accident, c'est-
à-dire la probabilité P ( R 1 ∨ Ā ). La formule de Bayes donne :
P ( R
1
A )=
P (
A / R
1
) × P ( R
1
P (
A )
Avec : P (
A )= 1 − P ( A ) et P (
A / R
1
)=0,95 .On obtient finalement :
P ( R
1
A )=
0,95 × 0,
Applications de formule de Bayes : (Suit)
3. En informatique (paquets perdus)
L’envoi d’un paquet du serveur S 1 au serveur S 2 sur internet passe par deux
routeurs intermédiaires R 1 et R 2. La probabilité que le paquet se perde au niveau S 1
S 2 , R 1 ou R 2 est p. On constate, au niveau du serveur S 2 la perte du paquet. Quelle
est la probabilité qu’il ait été perdu au niveau de S 1
? De R 1
? De R 2
?
On sait que la probabilité qu’un paquet se perde sur chaque segment du chemin
S 1 →R 1 →R 2 →S 2 est p. Notons par P(S 1 →R 1 ), P(R 1 →R 2 ), P(R 2 →S 2 ) les probabilités que
la perte se produise sur un des segments du chemin. On peut calculer la
probabilité que le paquet se perde (constaté au niveau du serveur S 2 ) : soit le
paquet est perdu sur le premier segment, soit sur le deuxième, soit sur le
troisième. Cette probabilité est donc égale à :
P ( S
1
→ R
1 )^
+ P ( R
1
→ R
2 )^
+ P ( R
2
→ S
2 )^
= p + p (^1 − p )+ p ( 1 − p )
2
Les probabilités conditionnelles cherchées sont donc :
P ( perte / S 1
→ R
1
P ( perte )
P
S
1
→ R
p
( p + p ( 1 − p ) + p ( 1 − p )
2
)
P ( perte / R 1
→ R
2
P ( perte )
P
R
1
→ R
p ( 1 − p )
( p + p ( 1 − p ) + p ( 1 − p )
2
)
P ( perte / R 2
→ S
2
P ( perte )
P ( R
2
→ S
2
p ( 1 − p )
2
( p + p (^1 − p )^ + p (^1 − p )
2
)
Applications de formule de Bayes : (Suit)
Avec :
Pour les preuves les plus claires du raisonnement bayésien dans le cerveau,
nous devons regarder au-delà des processus cognitifs de haut niveau qui régissent
la façon dont nous pensons et évaluons les preuves, et tenir compte des processus
inconscients qui contrôlent la perception et le mouvement.
Le professeur DANIEL WOLPERT, du centre de recherche en neurosciences de
l’Université de Cambridge, croit que nous avons notre cerveau bayésien à remercier
de nous avoir permis de déplacer notre corps avec grâce et efficacité – en faisant
des prédictions fiables et rapides sur le résultat de chaque mouvement que nous
faisons. WOLPERT, qui a mené un certain nombre d’études sur la façon dont les
gens contrôlent leurs mouvements, croit qu’au fur et à mesure que nous traversons
la vie, notre cerveau recueille des statistiques pour différentes tâches de
mouvement, et les combine de façon bayésienne avec des données sensorielles,
ainsi que des estimations de la fiabilité de ces données. « Nous sommes vraiment
des inférences bayésiennes », dit-il.
D’autres chercheurs ont trouvé des indications de bayésianisme dans la
cognition de niveau supérieur. Une étude réalisée en 2006 par TOM GRIFFITHS de
l’Université de Californie à Berkeley et JOSH TENENBAUM, du MIT, a demandé aux
gens de faire des prédictions sur la durée de vie des gens, sur la quantité d’argent
que les films feraient et sur la durée de vie des politiciens au pouvoir. Les seules
données avec qui ils ont été donnés pour travailler étaient le total en cours
d’exécution jusqu’à présent : l’âge actuel, l’argent gagné jusqu’à présent, et les
années ont servi dans le bureau à ce jour. Les prédictions des gens, ont constaté les
chercheurs, étaient très proches de celles tirées des calculs bayésiens.
Contre
Avant d’accepter de tout cœur l’hypothèse bayésienne du cerveau, il existe
un certain nombre de contre-arguments solides. Pour commencer, il est assez facile
de trouver des énigmes de probabilité qui devraient céder aux méthodes
bayésiennes, mais qui laissent régulièrement beaucoup de gens décontenancées.
Par exemple, beaucoup de gens vous diront que si vous jet une série de pièces de
monnaie, obtenir toutes les têtes ou toutes les queues est moins probable que
d’obtenir, par exemple, queues-queues-têtes-queues-têtes-têtes. Ce n’est pas le cas
et le théorème de Bayes montre pourquoi : comme les lancers de pièces sont
indépendants, il n’y a aucune raison de s’attendre à ce qu’une séquence soit plus
probable qu’une autre.
« Il y a des preuves considérables que la plupart des gens sont lamentable
non-Bayésien lors de l’exécution du raisonnement, dit ROBERT MATTHEWS de
l’Université Aston, Birmingham, et auteur de « Chancing It », sur les défis du
raisonnement probabiliste. « Par exemple, les gens ignorent généralement les effets
du taux de base et négligent la nécessité de connaître à la fois les taux faux positifs
et les faux taux négatifs lors de l’évaluation des tests prédictifs ou diagnostiques. »
Est-ce l’esprit humain est-il bayésien? (Suit)
Les problèmes difficiles de la vie
Dans l’ensemble, c’est un peu la preuve en faveur de l’argument selon lequel
notre cerveau n’est pas bayésien. Mais n’oubliez pas que nous avons affaire à la
chose la plus compliquée dans l’univers connu, et ces bizarreries fascinantes et les
imperfections ne donnent pas une image complète de la façon dont nous pensons.
ERIC MANDELBAUM, philosophe et scientifique cognitif au collège Baruch
l’université du New York, affirme que ce genre d’irrationalité « est particulièrement
frappant parce qu’il survient dans un contexte d’extrême compétence. Pour chaque
étude heuristique et biaisée qui montre que nous, par exemple, ne pouvons pas
mettre à jour correctement les taux de base, on peut trouver des cas où les gens
mettent à jour correctement.
Ainsi, bien que nos défauts bien documentés puissent faire la lumière sur les
limites de notre capacité d’analyse probabiliste, nous ne devrions pas encore radier
les capacités statistiques du cerveau. Peut-être que ce que nos défauts révèlent
vraiment, c’est que la vie est pleine de problèmes vraiment durs, que notre cerveau
doit essayer de résoudre dans un état d’incertitude et de changement constant,
avec peu d’informations et pas de temps.
Est-ce l’esprit humain est-il bayésien? (Suit)
