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Compilé par :
Mouhamadou KA
Professeur au Lycée Cheikh Oumar Foutiyou TALL de Saint-Louis
Préface de M. Abdou SOW,
Professeur émérite au Lycée Cheikh Oumar Foutiyou TALL de Saint-Louis
Saint-Louis, Novembre 2006
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Contient les chapitres d'activités numériques de la classe de première S
Typology: Exercises
2020/2021
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Compilé par :
Mouhamadou KA
Professeur au Lycée Cheikh Oumar Foutiyou TALL de Saint-Louis
Préface de M. Abdou SOW,
Professeur émérite au Lycée Cheikh Oumar Foutiyou TALL de Saint-Louis Saint-Louis, Novembre 2006
A mon frère, ami et promotionnaire
Cheikh Sadibou NDIAYE, enseignant dévoué à son
travail, compétent et sérieux,
A tous les enseignants qui, comme lui, dans l’anonymat
des classes et malgré des conditions de travail
défavorables, donnent chaque jour le meilleur d’eux-
mêmes pour faire reculer les frontières de l’ignorance.
« Il n’est pas de mathématiques sans larmes », disait Laurent Schwarz (^3 ). Il entendait par là que pour être un bon chercheur en mathématiques ou un bon ingénieur, il faut avoir lu une grande quantité de cours et étudié de très nombreux théorèmes mathématiques. Au niveau plus modeste de l’enseignement secondaire dans les lycées, cette remarque reste vraie : pour être performant en Maths, l’élève de série scientifique, aussi doué soit- il, doit s’astreindre à résoudre de très nombreux exercices et problèmes, ce qui est d’ailleurs l’essence même de l’activité mathématique. Malheureusement, au Sénégal, il est difficile de trouver un manuel d’exercices au niveau de la classe de Première S conforme aux exigences du programme en vigueur. Il faudrait recourir à une douzaine de livres pour réunir des exercices et problèmes suffisamment nombreux et variés pour à la fois illustrer efficacement les notions du Cours et donner à l’élève des situations plus complexes où il peut exercer ses connaissances, voire acquérir un embryon de culture scientifique. Pour simplifier le travail des élèves et des collègues, nous proposons une sélection des meilleurs exercices et problèmes qui ont été proposés dans plusieurs lycées du Sénégal en classe de Première S1 ou S2 au cours des douze dernières années, ou que nous avons eu à collecter dans divers manuels. Chaque chapitre est précédé de rappels de cours. Nous y ajoutons les textes de 30 épreuves de devoirs surveillés ou de compositions. Ce premier tome couvre environ la moitié du programme. Il traite des sujets généralement abordés au premier Semestre de l’année scolaire. Les exercices et problèmes plus particulièrement destinés aux élèves de la Première S1 sont signalés par un point (∙). Des thèmes généraux (Programmation linéaire, Puissance d’un point pour un cercle, etc….) sont regroupés sous forme de Travaux Pratiques. Il appartient aux collègues de juger de l’opportunité de traiter tel ou tel thème. Enfin une indication de durée a été donnée pour chaque devoir. Nous espérons que cet humble travail intéressera les collègues et les élèves. Nous remercions par avance toute personne qui voudra bien nous signaler des erreurs matérielles (inévitables! ) qui se seraient glissées dans le texte ou formuler des suggestions. L’Auteur Contact : [email protected] (^1) Eminent mathématicien français, Professeur à l’Ecole Polytechnique, titulaire de la médaille Fields, l’équivalent du Prix Nobel en Mathématiques
- ELEMENTS DE LOGIQUE ……………………………………………
- EQUATIONS, INEQUATIONS, SYSTEMES………………………….
- GENERALITES SUR LES FONCTIONS……………………………..
- FONCTIOINS POLYNOMES………………………………………….
- CALCUL VECTORIEL ET ANALYTIQUE. BARYCENTRES…….
- ANGLES ORIENTES……………………………………………………
- PRODUIT SCALAIRE…………………………………………………..
- TRIGONOMETRIE……………………………………………………...
- LIMITES ET CONTINUITE…………………………………………….
- DERIVEES ET APPLICATIONS………………………………………
- DEVOIRS…………………………………………………………………
8°) p : x est un parallélogramme. q : x est un carré. 9°) p : x est une banane. q : x est un fruit. 10°) p : x est un cheval. q : x est un fruit. EXERCICE 2 Dans chacun des cas suivants, écrire p quand p est la phrase : 1°) Tous les sportifs se dopent. 2°) Tous les politiciens sont des menteurs. 3°) Tout nombre réel peut s’écrire sous forme de fraction. 4°) Il y a un élève de 1ère^ S1 qui aime le sport. 5°) Je traverse le pont Faidherbe chaque jour. 6°) Tous les quadrilatères sont des rectangles. 7°) Tous les profs de maths du lycée portent des lunettes. EXERCICE 3 Reprendre les phrases de l’exercice 1. Dans chaque cas, écrire p et q et dire si on a p q ou q p. EXERCICE 4 Dire parmi les assertions suivantes quelles sont celles qui sont vraies et quelles sont celles qui sont fausses. 1°) x = 2 x^2 = 4. 2°) x = 2 x^2 = 5 3°) x^2 = 4 x = 2. 4°) x^2 = 4 (^) x = 2. 5°) x ≠ 2 (^) x^2 ≠ 4 6°) x ≠ (^2) x^2 ≠ 5. 7°) x ≠ (^4) x^2 ≠ 2. EXERCICE 5 Enoncer les contraposées des phrases suivantes : 1°) si un nombre est plus grand que 5, il est strictement positif. 2°) si un nombre est multiple de 6, alors il est pair. EXERCICE 6 Quelle conclusion peut-on tirer des trois phrases suivantes? A : Les bébés sont illogiques. B : Nul n’est méprisé quand il peut venir à bout d’un crocodile. C : Les gens illogiques sont méprisés. ( d’après Lewis Caroll) EXERCICE 7 Les professions de trois frères, Ali, Baba et Cory sont : pharmacien, dentiste et chirurgien Sachant que les implications suivantes sont vraies, déterminer la profession de chacun (∗) Si Ali est chirurgien, alors Baba est dentiste. (∗) Si Baba n’est pas chirurgien, alors Cory est dentiste. (∗) Si Ali est dentiste, alors Baba est pharmacien. (∗) Si Cory est pharmacien, alors Ali est dentiste. EXERCICE 8 1°) Soient a et b deux nombres de même parité. Démontrer que a + b est pair. 2°) Démontrer que tout nombre de la forme aaa , avec a chiffre non nul, est un multiple de 37
3°) Déterminer les entiers naturels compris entre 10 et 1000 dont le produit des chiffres est 6. 4°) Soit n un entier naturel tel que n² est impair ; démontrer que n est impair. EXERCICE 9 Parmi une douzaine d’œufs apparemment identiques, 11 ont la même masse, alors qu’une autre est de masse différente. Trouver en quatre pesées si cet œuf est plus léger ou plus lourd que les autres. Comment le reconnaître? EXERCICE 10 Un seau contient 8 litres d’eau. Un autre a une contenance de 5 litres et un troisième de 3 litres, mais ces deux derniers sont vides. Expliquer comment avoir 4 litres en 6 transvasements. EXERCICE 11 Effectuer les démonstrations suivantes en appliquant la méthode de raisonnement indiquée : 1°) Montrer que les médiatrices d’un triangle sont concourantes ( Raisonnement par implications successives ) 2°) 2 n’est pas un nombre rationnel ( Raisonnement par l’absurde )
3°) D est la médiatrice du segment [AB]. π est le demi-plan ouvert de frontière D
contenant A , π ' le demi-plan ouvert de frontière D contenant B. Montrer que tout point M
du plan tel que MA < MB appartient à π. ( Raisonnement par disjonction des cas ). 4°) Démontrer que si le déterminant des vecteurs
AB et → CD est non nul, alors les droites (AB) et (CD) sont sécantes ( Raisonnement par contraposition ). 5°) Démontrer que a) ∀ n ≥ 1 : 1 + 2 + 3 + …….+ n = n(n + 1) 2 b) ∀ n ≥ 5 , 2 n
n². ( Raisonnement parrécurrence )
∙ 1 ère^ étape : A l’aide d’opérations Lk ← Lk + λ L 1 (remplacement de la ligne Lk par la
ligne Lk + λ L 1 ) pour k = 2 et k = 3, on annule les coefficients de x dans L 2 et L 3. ∙ 2 ème^ étape : On annule le coefficient de y dans la ligne L 3 en utilisant l’opération :
L 3 ← L 3 + μ L 2 ) μ étant un réel convenable, autrement dit, on suit le même procédé qu’à
la première étape mais avec la ligne L 2 comme pivot. On obtient alors un système triangulaire. ∙ On résout le système triangulaire obtenu à la deuxième étape en « remontant » à partir de la dernière ligne :on calcule succesivement z, puis y puis x. Cette méthode s’étend aisément aux systèmes 4 × 4 , 5 × 5 , etc… 5.Equation du second degré On appelle ainsi l’équation ( E ) : f (x) = ax² + bx + c = 0 a) Résolution On utilise la quantité Δ = b² ― 4ac appelée discriminant de l’équation. ― Si Δ < 0, alors ( E ) n’a pas de solution et f (x) n’est pas factorisable. ― Si Δ = 0, alors ( E ) a une solution xo = ― b 2a , appelée racine double et f (x) = a(x ― xo)². ― Si Δ > 0, alors ( E ) a deux solutions (ou racines) distinctes : x 1 = ― b ― Δ 2a ; x 2 = ― b + Δ 2a et on a : f (x) = a(x ― x 1 ) (x ― x 2 ). b) Somme et produit des racines Si l’équation ( E ) a deux racines x ' et x '' , on a : x ' + x '' = S = ― b a et x ' x '' = P = c a
**Si deux nombres ont pour somme S et pour produit P, alors ils sont solutions de l’équation X² ― SX + P = 0. On peut calculer certaines expressions en fonction de S et P. Par exemple : x ' 2
- x '' 2 = (x ' + x '')² ― 2 x ' x '' = S² ― 2P. x ' 3
- x '' 3 = (x ' + x '') 3 ― 3 x ' x '' (x ' + x '') = S 3 ― 3PS. 1 x '**
x ''
S
P
c) Signe des racines Le signe des racines se déduit de l’étude des signes de S et de P. ― Si P < 0 : x ' < 0 < x '' ― Si P > 0 : S < 0 : x ' < x '' < 0 S > 0 : 0 < x ' < x ''. d) Signe du trinôme. Inéquations du second degré
― Si Δ < 0, alors pour tout x de R, f (x) = ax² + bx + c est du sigtne de a.
― Si Δ = 0, alors f (x) = 0 pour x = ― b 2a et f (x) est du signe de a pour x ≠ ― b 2a
― Si Δ > 0, alors f (x) est du signe de a pour ∈ ] ― ∞ ; x 1 [ ⋃ ] x 2 ; + ∞ [ (extérieur des racines) et du signe de ― a pour x ∈ ] x 1 ; x 2 [(intérieur des racines). d) Position d’un nombre par rapport aux racines d’une équation du 2 nd degré On rappelle que f (x) = ax² + bx + c = 0 est une équation du second degré notée ( E ). Pour comparer un nombre α aux racines de ( E ) , on forme a. f (α).
― Si a. f (α) < 0 , ( E ) a deux racines distinctes x ' et x '', et on a : x ' < α < x ''. ― Si a. f (α) = 0, alors α est l’une des racines de ( E ). ― Si a. f (α) > 0, et si Δ > 0, alors ( E ) admet deux racines distinctes x ' et x '' et α est à l’extérieur des racines. ٭ Si
S
― α < 0, alors on a : x ' < x '' < α. ٭ Si
S
― α > 0, alors on a : α < x ' < x ''.
6. Equations et inéquations irrationnelles L’équation A = B est équivalente à : B ≥ 0 A = B². L’ inéquation A < B est équivalente à : A ≥ 0 B > 0 A < B² L’ inéquation A ≥ B est équivalente à la réunion des systèmes suivants : A ≥ 0 ou bien B ≥ 0 B < 0 A ≥ B² PREMIER DEGRE EXERCICE 12 Résoudre les équations suivantes : a) (2x ― 5) (2x + 1) 8
( x + 3) 2 6
( x ― 3) x 3 b) (2x + 3) ( (4x + 5) ― ( 4 x^2 ― 9) + ( 7x ― 3) ( 2x + 3) = 0 c) x ― 1 x ― 2
x ― 2 x ― 3
x ― 4 x ― 5
x ― 5 x ― 6 d)
x ― 1
x
x + 1
4x ― 5 x ( x^2 ― 1) EXERCICE 13 Résoudre les inéquations suivantes : a) x + 1 4
1 ― 3x 5
1 ― x 10 b) x x ― 2 < 3 c) 3x ― 2 5 ― 3x
1 d) x + 1 x
x ― 1 2x EXERCICE 14 Résoudre les systèmes d’inéquations suivants : a) x x ― 1 < 4 b) (x ― 2) (x + 1) 2x ― 3
0 c) 2x ― 5 x + 7
3x x + 1
(1 ― x) (x + 2) x < 0 ( x 2
- ( x + 5) > ( x 2
- ( 2x + 4)
g) x + y + z = a h)
x
y = a y + z + t = b
y
z = b z + t + x = c
z
x = c t + x + y = d EXERCICE 22 Résoudre par la méthode du pivot chacun des systèmes suivants : a) 3x ― 2y + 7z = ― 36 d) ― 5 x ― 5y ― 4z + t = 73 ― 10 x ― 7y + z = ― 29 ( Solution : ( 1, 2, ― 5 ) ) 4y + 3z + 2t = ― 29 6x + 4y ― 3z = 29 5y ― 5z ― t = ― 73 3x + 5y ― 3z + 2t = ― 96 b) 3x + 4y + 9z = 53 ( Solution : ( ― 9 , ― 10 , 5, ― 2 ) ) 7x ― 10y + 3z = ― 23 ( Solution : ( ― 3 , 2, 6 ) ) 2x + 9y ― 5z = ― 18 c) 9x + 3y + z + 9t = 34 3x + 2y ― 9z + 7t = 6 ( Solution : (3, ― 4, 1, 2 ) ) ― x + y ― 6z + 5t = ― 3 7x ― 4y + 4z ― 6t = 29 EXERCICE 23 m étant un paramètre, résoudre et discuter les systèmes : 2m x + ( m + 1) y = 2 9x + my ― z = 4 ( m + 2 ) x + ( 2m + 1 ) y = m + 2 4m x ― 2y + (m ― 1) z = m 5x + (2m ― 1) y ― 3z = 3 (m + 2) 5x + (2m ― 1) y ― 3z = 3 (m + 2) ∙ EXERCICE 24 Résoudre et discuter les systèmes suivants en supposant a, b, c distincts : a) x + a y + a^2 z + a^3 = 0 b) x + a y + a^2 z + a^4 = 0 c) x + y + z = a + b + c x + b y + b^2 z + b^3 = 0 x + b y + b^2 z + b^4 = 0 b x + c y + a z = ab + bc + ca x + c y + c^2 z + c^3 = 0 x + c y + c^2 z + c^4 = 0 c x + a y + b z = ab + bc + ca Résoudre et discuter les systèmes suivants en supposant que m est un paramètre réel : d) mx + y + z = 1 e) x + my ― 2m = 0 ( Pour quelles valeurs de m les solutions x + my + z = m x² + y² ― 2x = 0 obtenues sont-elles constituées de nombres x + y + mz = m² x et y tous deux positifs ?) ∙ EXERCICE 25 1°) Résoudre en discutant suivant les valeurs du paramètre , le système suivant : 2( x + 1) = m ( 5y ― 5m ― 14 )
3x + 2y = 11m + 5 2°) Pour quelles valeurs du paramètre m, x et y prennent-ils des valeurs positives? Comparer dans ce cas les deux nombres x et y. 3°) Les conditions précédentes étant remplies, peut-on choisir m pour que x et y soient les mesures des côtés d’un triangle isocèle. (Envisager tous les cas géométriques possibles). EXERCICE 26 : Un problème de robinets On dispose de trois robinets A, B et C pour remplir une piscine. Avec les robinets A et B, il faut 10 min, avec B et C, 20min et avec C et A 12 min. Déterminer le temps mis par chaque robinet fonctionnant seul pour remplir la piscine. EXERCICE 27 : Un problème d’Euler Trois frères ont acheté un champ pour cent louis. Le Cadet dit qu’il pourrait le payer seul si le Second lui donnait la moitié de l’argent qu’il a ; le Second dit que si l’Aîné lui donnait le tiers seulement de son argent, il payerait le champ seul ; enfin, l’Aîné ne demande que le quart de l’argent du Cadet pour payer le champ seul. Combien chacun avait-il d’argent? ( D’après Euler , Eléments d’algèbre , 1774 ) EXERCICE 28 Déterminer un nombre de trois chiffres sachant que : ∙ la somme de ces chiffres est égale à 17 ; ∙ si on permute le chiffre des dizaines et celui des centaines, le nombre augmente de 360 ; ∙ si on permute le chiffre des unités et celui des centaines, le nombre diminue de 198.
TRAVAUX DIRIGES 1 : PROGRAMMATION LINEAIRE
Une entreprise produit deux types d’objets A et B. Pour des questions de vente, l’entreprise doit produire chaque semaine au moins 20 objets A et au moins 30 objets B, et, au maximum, 100 objets A et 80 objets B. Par ailleurs, 440 heures hebdomadaires de travail sont disponibles dans l’entreprise : la confection d’un objet A nécessite 2 heures de travail, tandis que celle d’un objet B nécessite 4 heures de travail. on désignera par x le nombre d’objets A et par y le nombre d’objets B produits. Indications : on raisonnera tout d’abord comme si x et y étaient des réels positifs quelconques ; on considérera,ensuite, le fait qu’ils doivent être entiers. A. Les contraintes 1°) Justifier que les données du problème peuvent se traduire par le système d’inéquations : 20 ≤ x ≤ 100 30 ≤ y ≤ 80 2x + 4y ≤ 440 le système obtenu s’appelle système des contraintes.
SECOND DEGRE
EXERCICE 30
Résoudre les équations suivantes : a) ― 6 x 2
- x + 1 = 0 b) ― x 2 2 + ( 1 ― 2 ) x + 2 = 0 c) 2 x 2
- x 6 ― 6 = 0 d) ― x^2 3 + 3 ( 1 ― 3 ) x + 3 = 0 e)
x ― a
x ― 2a
x ― 3a = 0 ( a paramètre) f) x | x + 1 |
7x + 3 x = 1 ∙ g) m ( a ― m )^2 (a ― x ) 2 x
m ( a + m )^2 (a + x ) 2 x = 1( m et a réels donnés) h) (2x + 1)² ― 3(2x +1) + 2 = 0 i)
x² ―
x
- 1 = 0 j)
(x + 1)²
x + 1
EXERCICE 31
Soit l’équation ( E ) : 4x 4
- 8x 3 ― 37x 2
- 8x + 4 = 0. 1°) Montrer que 0 ne peut pas être solution de ( E ). En déduire que ( E ) est équivalente à ( E ' ) : 4x ² + 8x ― 37 +
x
x ²
2°) En posant X = x +
x , déterminer une équation ( E '' ) d’inconnue X déduite de ( E ' ). 3°) Résoudre ( E '' ). En déduire les solutions de ( E ). EXERCICE 32 1°) Factoriser les expressions suivantes : A = x 2 ― ( a ― b)x ― ab B = x 2 ― 2( a 2
- b 2 ) x +(a 2 ― b 2 ) 2 C = a x^2 + ( b + c ) x ― a + b + c D = 2 x^2 + xy ― y^2 ― 5x + 4y ― 3. 2°) Simplifier les fractions rationnelles suivantes : E = 2 x^2 ― 2 ( 1 + 2 ) x + 2 2 x^2 ― 3x 2 +
F =
ab x^2 ― (a^2 + b^2 ) x + ab b x 2 ― ( a + b)x + a EXERCICE 33 Dans chacun des cas suivants, former l’équation du second degré ayant pour racines les nombres indiqués : a)
et ―
b) 2 ― 3 et 2 + 3 c)
1 + m et m 1 + m d) a b et b a e) a + b ab et a ― b ab EXERCICE 34 Etudier l’existence et le signe des racines des équations suivantes : a) m x 2 ― 2m x + m ― 8 = 0 b) (m ― 3 ) x 2
- ( 2m ― 1 ) x + m + 2 = 0 c) (2m ― 1 ) x 2 ― 2(2m ― 1)x + m + 7 = 0 d) m(m + 2) x 2 ― (m + 2) x ― m + 1 = 0 EXERCICE 35 1°) Pour quelles valeurs du paramètre m l’équation : mx² ― (2m ― 7) x + m + 5 = 0 a-t-elle deux solutions positives? 2°) Pour quelles valeurs du paramètre m l’équation : mx² ― (2m + 3 ) x + m + 1 = 0 a-t-elle deux solutions négatives?
3°) Pour quelles valeurs du paramètre m l’équation : mx² ― 2 (4 + m) x + 15 + m = 0 a-t-elle deux solutions de signes contraires? EXERCICE 36 Résoudre les systèmes suivants : 1 °) x ― y = 2 2 °) xy = ― 6 3 °) x y
y x
x² + y² = 164
x ―
y
xy = ― 1 3 4 °) 3x + 4xy + 3y = ― 5 5 °) x + y + xy = ― 7 6 °) 2x + xy + 2y = ― 4 x ― 2 xy + y = 5 x²y + xy² = 6 x²y + xy² =
EXERCICE 37
Résoudre les systèmes suivants : 1°) a² + b² ― 2 a ― 3b = 9 2°) a + b ― ab = 2m ― 1 m 2 ― 1
a²
b² = m + 1 3 a² + 3 b² ― a + 5b = 1 ( a + 1 ) (b + 1 ) = m (m + 2) m^2 ― 1 ab = m ― 2 (a, b inconnues ) (a, b inconnues, m paramètre ) (a, b inconnues ) EXERCICE 38 Soit le système : x + y = 2 x 2 y 2
- 4xy ― m 2
- 4 = 0 (x, y inconnues, m paramètre ). Discuter l’existence et le nombre de solutions de ce système suivant les valeurs du paramètre m. EXERCICE 39 Une équation du second degré a ses racines x ' et x '' telles que : m x ' + m x '' ― m = 4 ― 2 x ' ― 2 x '' m x ' x '' + m = 2 ― 2 x ' x '' 1°) Former cette équation dont les coefficients dépendent du paramètre m. 2°) Montrer qu’il existe entre x ' et x '' une relation indépendante de m. 3°) Utiliser cette relation pour déterminer les racines doubles de l’équation obtenue. 4°) Comment faut-il choisir m pour que les deux racines soient positives? EXERCICE 40 1°) Montrer que l’équation ( E ) : 2x ² ― 8x ― 18 = 0 admet deux racines distinctes x ' et x ". 2°) Sans calculer x ' et x " , déterminer : x ' ― x ", x ' 2
- x " 2 , x ' 3
- x " 3 ,
x '
x "
x ' ― 1 x "
x '' ― 1 x '
3°) Former l’équation dont les racines sont : X ' = x ' ² + x " x " et X '' = x '' ² + x ' x '
EXERCICE 41
Dans chacun des cas suivants, montrer que l’équation proposée ( E ) a 2 racines x ' et x ". Puis calculer la valeur numérique des expressions A et B. 1°) ( E ) : 2 x 2 ― 3x ― 1 = 0 A = 2 (x ' 3
- x " 3 ) ― (x ' 2
- x " 2 ) ― 5 (x ' + x " ).
c) (m + 3) x 2 ― 2(m + 2) x + m + < 0. d) (4m + 3) x² ― (3m ― 1) x + m + 1 ≥ 0 EXERCICE 47 Déterminer les conditions que doivent remplir le paramètre m pour que les équations suivantes aient deux racines positives. a) (m ― 4 ) x 2
- (m + 2) x ― m = 0 b) (m ― 2) x 2 ― 2m x + 2m + 3 = 0 ∙ EXERCICE 48 Résoudre et discuter, suivant les valeurs du paramètre m, les inéquations suivantes: 1°) x m
m x ― 1 ( ne pas chasser les dénominateurs ; étudier le signe d’une fraction ; il faudra placer 1 par rapport aux racines d’une équation du second degré ). 2°) ― 3 < x² ― mx + 1 x² + x + 1 < 3 ( on établira que ∀ x , x² + x + 1 > 0 ) 3°) x + 2m x ― 1
m x ( il faudra placer 0 et 1 par rapport aux racines d’une équation du second degré ). EXERCICE 49 Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1°) x^4 ― 13 x^2 + 36 = 0 2°) 2x^4 ― 3 x^2 ― 5 = 0 3°) 3x^4 ― 28 x^2 + 9 = 0 4°) 3x 4
- 13 x 2
- 4 = 0 5°) x 4 ― 7 x 2
- 6 > 0 6°) 2 x 4 ― 5 x 2 ― 7 < 0 7°) 2x 4
- x 2
- 1 > 0 8°) x 4
- x 2
- 1 < 0 9°) ― x 4
- 3x² + 4 ≥ 0 10°) x^4 ― 5x ² + 4 < 0 x^4 ― 8x ² ― 9 < 0 EXERCICE 50 Résoudre et discuter les équations suivantes : 1°) (m ― 1) x 4 ― 2(m + 1) x 2
- m ― 2 = 0 2°) (2m ― 1) x 4 ― 2 x 2
- m = 0 3°) (m + 1) x^4 ― 2mx^2 + m ― 2 = 0 4°) (2m ― 1) x^4 ― (m + 2) x^2 + m ― 1 = 0 ∙ EXERCICE 51 On donne l’équation ax^4 + bx^2 + c = 0. Lorsque l’équation admet quatre racines, calculer leur somme et leur produit. EXERCICE 52 Résoudre les équations et inéquations irrationnelles suivantes : 1°) ― 2x + 1 = x^2 + 5 2°) x + 25 ― x^2 = ― 7 3°) 2 x^2 + 5x + 4 = x ― 2 4°) x + 2 x^2 ― 5x ― 3 = 3 5°) ― 2x + 10 +2 3x +
= 20 x + 39 6°) 11 ― x = 5 x + 15 ― 3 x ― 2 7°) 9 ― x^2 + x ― 6 = ― 2x 8°) ― x + 12 + x ― 7 = 2 x ― 13 9 °) x 2
- 4x ― 5 = 2x + 12 10°) 2x + x + 5 = 3 ― ― 5x + 4 11 °) x ― 2 < x + 1 12°) x ― 4 ≥ x 2 ― 4 12°) x + 1 < 3 ― x 13°) 2x ― 5 > x^2 + x + 1 14°) x + 1 > x^2 + 2x 15°) x < 2 + x 2 ― 8x + 4 16°) x 2 ― 3 x + 5 = 2 x 2 ― 3x + 2 ( Poser : x^2 ― 3x + 2 = X) 17°) x + x ― 1 ― x = 1 18°) 4 + x^4 + x^2 = x ― 2
19°) x + x + 1 < 6 x + 1 20°) 5 x + 1 ― x + 1 < 2 21°) 2 x 2
- 3 + 5 ― 8 x 2
4 x 2
- 7 22°) x + 2 x ― 1 ― x = 4. 23°) 2 x ² ― 3x ― 2 2 x ² ― 3x ― 2 ― 1 = 0 ∙ 24°) 1 ― x^4 ― x ² = x ― 1 EXERCICE 53 Etudier suivant les valeurs de x le signe de : a) f (x) = 1 ― 3x 12 ― 3 x 2 b) g (x) =^ (2x² ― 6x) ( 3 ― 2x) x² ― 9 + 2(x ― 3 ) c) h (x) = x 4 ― 17 x² + 60 x(x^4 ― 8x² + 15) EXERCICE 54 Soit A (x) = | x | ― 1 x ² ― 1 ― x ² ―| x | x ² ― 2 | x | + 1 1°) Définir A (x) puis simplifier A (x).
2°) Résoudre dans R l’inéquation |A (x) | <
∙ EXERCICE 55
Résoudre et discuter : 1°) x^2 + 3x + m = x ― 2 (m paramètre ) 2°) 1 ― x^2 ― mx = 1 ― 2m (m paramètre ) 3°) h(x ― 1 ) (x ― 2 ) = x ― m (h, m paramètres ) 4°) 7 + x + 3 ― x = m 5°) x ― 2 ― 2 x ― 2 = m 6°) x + a^2 ― x^2 = b (a et b paramètres positifs ) 7°) 1 + x ― 1 ― x 1 + x + 1 ― x = m. (m paramètre ) 8°) m( 1 ― x²) ― x = m (x ― 1). 9°) 1 ― x² = mx + 1 ― 2m. EXERCICE 56 Résoudre : x + x² ― 10x + 9 = x + 2 + 2 x² ― 10x + 9 ( On étudiera soigneusement le domaine de définition ). ∙ EXERCICE 57 Résoudre l’équation : m(x ― 1 ) (x ― 2 ) = x ―
et discuter suivant les valeurs de m (on sera amené à étudier la place du nombre
par rapport aux racines d’une équation du second degré). EXERCICE 58 Résoudre : 1°) 3 x² + x ― 6 ≥ 2(2x ― 3) 2°) x² ― 3x + 2 = | x ― 1 | ∙ EXERCICE 59 Résoudre et discuter les inéquations suivantes : 1°) x + 2 > mx + 1 2°) m² x² ― 7mx + 6 m² x² ― 6mx ― 5
EXERCICE 60
Résoudre les systèmes suivants : 1°) 2x ― 5y = ― 1 2°) x 2
- y 2 = 13 3°) x ― y = 7 4°) xy 2
- x 2 y = ― 30