Mohamed Hbibi 2024
Dierentes sortes de convergence :
Notations :
|On dit qu’une suite (Tn)n2Nde variables aléatoires converge en probabilité vers une variable T; si
pour tout > 0
lim
n7!+1P(jTnTj> ) = 0:
|On dit qu’une suite (Un)n2Nde variables aléatoires converge en moyenne vers une variable Usi et
seulement si : pour tout n2N;la variable aléatoire jUnUjpossède une espérance et :
lim
n7!+1E(jUnUj) = 0:
|On dit qu’une suite (Xn)n2Nde variables aléatoires converge presque surement vers une variable
aléatoire Xsi :
P(w2; lim
n7!+1Xn(w) = X(w)) = 1:
Partie I :Borel Cantelli
Soit (; T ; P )un espace probabilisé et (An)n2Nune suite d’évènements. On note
A=\
n2N[
pn
Ap:
1. Montrer que si PP(An)converge alors P(A) = 0:
2. Montrer que si les évènements (An)n2Nsont indépendants et si PP(An)diverge alors P(A) = 1:
Partie II :Comparaison entre les dierents modes de convergence
1. Montrer que la convergence en moyenne entraine la convergence en probabilité.
2. Montrer que si une suite (Tn)n2Nde variables aléatoires converge en probabilité, alors lalimite
de cette suite est une variable aléatoire presque surement unique. Plus précisément, si l’on a Tn
converge en probabilité vers Tet T0alors PT=T0= 1:
3. On se propose dans cette question d’étudier un exemple montrant que la réciproque de la propriété
précédente est fausse : On considère une suite (Zn)n2Nvariable aléatoires dé…nie sur un espace
probabilisé (;; P ), indépendantes, et suivant toutes la loi de Poisson de paramètre ( > 1):
Pour tout entier naturel non nul, on pose
Yn=
n
Y
k=1
Zk:
(a) Déterminer P(Yn6= 0) ; n 2N:
1
