Download probabilité conditionelle and more Cheat Sheet Mathematics in PDF only on Docsity!
PROBABILITÉS
CONDITIONNELLES
I. Exemple d’introduction
Un laboratoire pharmaceutique a réalisé des tests sur 800 patients atteints d’une maladie. Certains sont traités avec le médicament A, d’autres avec le médicament B. Le tableau présente les résultats de l’étude : Médicament A Médicament B Total Guéri 383 291 674 Non guéri 72 54 126 Total 455 345 800
- On choisit au hasard un patient et on considère les évènements suivants : A : « Le patient a pris le médicament A. » G : « Le patient est guéri. » On a alors : La probabilité qu’un patient soit traité avec le médicament A est égale à
P ( A ) =
La probabilité qu’un patient soit guéri est égale à P ( G ) =
La probabilité qu’un patient soit guéri et qu’il soit traité par le médicament A est égale
à P ( G ∩ A ) =
La probabilité qu’un patient ne soit pas guéri et qu’il soit traité par le médicament A
est égale à P ( G ∩ A ) =
- On choisit maintenant au hasard un patient guéri. Médicament A Médicament B Total Guéri 383 291 674 Non guéri 72 54 126 Total 455 345 800 La probabilité que le patient ait pris le médicament A sachant qu ’il est guéri se note
PG ( A ) et est égale à PG ( A ) =
La probabilité que le patient soit guéri sachant qu ’il a pris le médicament B se note
PB ( G ) et est égale à PB ( G ) =
Définition : On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A , la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé. On la note : PA ( B )
II. Arbre pondéré
Vidéo https://youtu.be/Pc5kJBkPDbo
- Règles de calcul Un sac contient 50 boules, dont :
- 20 boules rouges,
- 30 boules noires, où il est marqué soit "Gagné" ou soit "Perdu".
- Sur 15 boules rouges, il est marqué Gagné.
- Sur 9 boules noires, il est marqué Gagné. On tire au hasard une boule dans le sac. Soit R l'événement "On tire une boule rouge". Soit G l'événement "On tire une boule marquée Gagné" Soit R ∩ G est l'événement "On tire une boule rouge marquée Gagné". L'expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré (ou arbre de probabilité) :
M : « Être porteur de la maladie » T : « Avoir un test positif ».
- Construire un arbre pondéré traduisant les données de l’énoncé.
- Un animal est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que son test soit positif?
- Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu’il soit malade? D'après BAC S (et oui !), Antilles-Guyanne 2010
- La probabilité que le test soit positif est associée aux événements : M ∩ T et M ∩ T. P (^) ( M ∩ T ) =0,02 x 0,85 = 0,017 (règle 2) P (^) ( M ∩ T ) =0,98 x 0,05 = 0, P ( T ) = P ( M ∩ T ) + P ( M ∩ T ) (règle 3) = 0,017 + 0,049 = 0,066. La probabilité que le test soit positif est égale à 6,6%.
Propriété : PA ( B ) =
P ( A ∩ B )
P ( A )
PT ( M ) = P (^) ( T ∩ M ) P (^) ( T )
0 , 02 × 0 , 85
La probabilité que le bovin soit malade sachant que le test est positif est d’environ 26%. Le test n’est pas fiable! Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
