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Variables aléatoires réelles discrètes
I Généralités sur les variables aléatoires discrètes
1 Définition, propriétés
Définition 1 Soit (Ω, A), un espace probabilisable. On appelle variable aléatoire réelle (VAR) dis- crète définie sur (Ω, A) toute application X de Ω dans R telle que :
- X(Ω) = {xi/i ∈ I} avec I = N, Z ou une de leurs parties finies.
- pour tout x ∈ X(Ω), {ω ∈ Ω/X(ω) = x} ∈ A
Vocabulaire :
- X(Ω) est l’ensemble des valeurs prises par X.
- Si X(Ω) est un ensemble fini, on dit que X est une VAR discrète finie. Sinon on dit que X est une VAR discrète infinie.
Exemple 1: Un joueur lance deux fois de suite un dé et note les deux nombres obtenus sous la forme d’un couple : par exemple si le joueur obtient 2 puis 5, on note son résultat sous la forme (2, 5). L’univers de notre expérience est Ω = [[1; 6]] × [[1; 6]]. On définit la VAR discrète X qui à chaque couple associe la somme des deux nombres obtenus. Ici on a X(Ω) = { 2 , 3 ,... , 12 }. Donc X est une VAR discrète finie.
Exemple 2: On effectue une succession de lancers d’un dé cubique jusqu’à obtenir 6. Soit X le nombre de lancers effectués. Il est très difficile ici de décrire l’univers de notre expérience mais on peut tout de même donner très clairement X(Ω). En étant rigoureux on devrait écrire : X(Ω) = N∗^ ∪ {+∞} car il se peut que l’on obtienne jamais
- Mais on peut démontrer que la probabilité de ne jamais obtenir 6 est égale à 0, c’est-à-dire que l’on obtiendra presque sûrement 6. On peut alors choisir de considérer que X(Ω) = N∗^ et donc X est une VAR discrète infinie.
Propriété 1 Soit X une VAR discrète définie sur (Ω, A). Pour tout J intervalle de R, l’ensemble {ω ∈ Ω/X(ω) ∈ J} est un événement de A que l’on notera [X ∈ J].
Cas particuliers :
- Lorsque J = {a}, on note [X ∈ {a}] = [X = a] = {ω ∈ Ω/X(ω) = a}. (C’est une des notations de l’on va le plus utiliser)
- Lorsque J =] − ∞; a], on note [X 6 a].
- Lorsque J = [a; b[ on note [a 6 X < b].
Exemple 3: Revenons au premier exemple où un joueur lance deux fois de suite un dé et X est la somme des deux chiffres obtenus. On a
[X = 2] = {(1, 1)} [X = 4] = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} [X 6 5] = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
2 Loi d’une VAR discrète
Dans toute cette partie (Ω, A, P ) est un espace probabilisé et X une VAR discrète définie sur cet espace. On note X(Ω) = {xi/i ∈ I} avec I = N, Z ou une de leurs parties finies.
Définition 2 On appelle loi de probabilité de la VAR discrète X (ou distribution de X) l’ensemble de couples (xi, pi) où : xi ∈ X(Ω) et pi = P ([X = xi])
Pour simplifier les notations, on notera P ([X = xi]) = P (X = xi). Méthodologie : Lorsque vous devez répondre à la question « déterminer la loi de X », il faut commencer par donner clairement X(Ω). Puis pour chaque élément xi de cet ensemble X(Ω) il faut donner P (X = xi). Lorsque X(Ω) est fini et ne contient « pas trop » d’éléments, on peut présenter ses résultats sous forme de tableau avec dans la première ligne les valeur de xi et dans la deuxième ligne P (X = xi).
Exemple 4: On choisit au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Ω est l’ensemble des 52 cartes. A chaque carte ω ∈ Ω, on associe le réel X(ω) défini par : — X(ω) = 4 si ω est un as — X(ω) = 3 si ω est un roi — X(ω) = 2 si ω est une dame — X(ω) = 1 si ω est un valet — X(ω) = 0 dans tous les autres cas. Déterminer la loi de X.
- D’après l’énoncé X(Ω) = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }.
- L’événement [X = 0] est l’événement « obtenir un carte qui n’est pas un roi, une dame, un valet ou un as ». Toutes les cartes ayant la même probabilité d’être choisies et comme il y a 36 cartes correspondant à notre événement on a
P (X = 0) =
- L’événement [X = 1] est l’événement « obtenir un valet » donc P (X = 1) =
- De même P (X = 2) = P (X = 3) = P (X = 4) =
Donc on peut donner la loi de X sous la forme :
valeur de X 0 1 2 3 4 probabilité 139 131 131 131 131
Le résultat suivant est extrêmement important et permet en particulier de vérifier la cohérence des résultats obtenus pour votre loi :
Propriété 2 Soit X une VAR discrète. Si X(Ω) = {xi/i ∈ I} alors la famille d’événements ([X = xi])i∈I est un système complet d’événements. En particulier on a
i∈I
P (X = xi) = 1
Propriété 4
(i) ∀x ∈ R, F (x) ∈ [0; 1] (ii) F est croissante. (iii) lim x→−∞ F (x) = 0 et lim x→+∞ F (x) = 1.
(iv) ∀(a, b) ∈ R^2 , P (a < X 6 b) = F (b) − F (a)
Démonstration : hors cours (i) Provient de la définition d’une probabilité. (ii) Soit x 6 y. Alors on a [X 6 x] ⊂ [X 6 y] et donc P (X 6 x) 6 P (X 6 y), c’est-à-dire F (x) 6 F (y). (iii) admis (iv) ∀(a, b) ∈ R^2 , [a < X 6 b] = [X 6 b] \ [X 6 a] donc grâce aux propriétés des probabilités, P ([a < X 6 b]) = F (b) − F (a).
✷
Théorème 2 Caractérisation de la loi d’une VAR discrète à l’aide de sa fonction de réparti- tion On rappel que X(Ω) = {xi/i ∈ I}. Si les xi sont rangés par ordre croissant alors pour tout x ∈ I tel que i − 1 ∈ I (on a donc xi− 1 < xi) on a
P (X = xi) = F (xi) − F (xi− 1 )
Exemple 6: Un sac contient 4 boules numérotés de 1 à 4. On tire deux boules avec remise. On note X 1 le numéro de la première boule, X 2 le numéro de la seconde boule, et Y le plus grand des deux numéros obtenus. Déterminer la loi de Y. On remarque tout d’abord que Y prend les valeurs 1,2,3,4 donc Y (Ω) = { 1 , 2 , 3 , 4 }. De plus, on remarque qu’il est plus facile de calculer P (Y 6 k) que P (Y = k). Par exemple
[Y = 3] = ([X 1 = 1] ∩ [X 2 = 3]) ∪ ([X 1 = 2] ∩ [X 2 = 3]) ∪ ([X 1 = 3] ∩ [X 2 = 3])∪ ([X 1 = 3] ∩ [X 2 = 2]) ∪ ([X 1 = 3] ∩ [X 2 = 1]) [Y 6 3] = [X 1 6 3] ∩ [X 2 6 3]
Nous allons donc calculer F (1), F (2), F (3) et F (4) puis en déduire la loi de Y. grâce à la propriété précédente.
- F (1) = P (Y 6 1) = P (Y = 1) = P ([X 1 = 1] ∩ [X 2 = 1]) =
• F (2) = P (Y 6 2) = P ([X 1 6 2] ∩ [X 2 6 2]) =
×
• F (3) =
×
• F (4) = 1
On peut maintenant en déduire la loi de la variable Y :
P (Y = 1) = F (1) =
P (Y = 2) = P (Y 6 2) − P (Y 6 1) =
P (Y = 3) = P (Y 6 3) − P (Y 6 2) =
P (Y = 4) = P (Y 6 4) − P (Y 6 3) =
4 Fonction d’une variable aléatoire
Définition 4 Soient X une VAR discrète sur un espace probabilisé (Ω, A, P ) et g une fonction définie sur X(Ω) à valeurs dans R. On note g(X) l’application de Ω dans R définie pour tout ω ∈ Ω par
g(X)(ω) = g(X(ω))
Propriété 5 Soient X une VAR discrète sur un espace probabilisé (Ω, A, P ) et g une fonction définie sur X(Ω) à valeurs dans R. Alors Y = g(X) est une VAR discrète définie sur Ω et telle que :
Y (Ω) = {g(xi)/i ∈ I}
∀y ∈ Y (Ω), P (Y = y) =
i/g(xi)=y
P (X = xi)
Exemple 7: Soit X une VAR dont la loi est définie par :
valeur de X − 1 1 2 probabilité (^141214)
Déterminer la loi de Y = 2X + 1 et Z = X^2.
- Y (Ω) = {−1; 3; 5} et P (Y = −1) = P (X = −1) =
P (Y = 3) = P (X = 1) =
P (Y = 5) = P (X = 2) =
P (Z = 1) = P ([X = 1] ∪ [X = −1]) = P (X = 1) + P (X = −1) =
P (Z = 4) = P (X = 2) =
5 Moments d’une VAR discrète
Dans ce paragraphe (Ω, A, P ) désigne un espace probabilisé, X une VAR discrète, X(Ω) = {xi/i ∈ I} avec I = N ou Z ou une de leurs parties finies, et pi = P (X = xi), pour tout i ∈ I.
a Espérance Définition 5 On dit que X admet une espérance, ou que l’espérance de X existe, lorsque X(Ω) est fini ou lorsque la série
xiP (X = xi) est absolument convergente. On appelle alors espérance de X, le réel E(X) =
i∈I
xiP (X = xi).
Remarques : — E(X) est une moyenne pondérée des valeurs prises par X. — On note parfois :E(X) =
x∈X(Ω)
xP (X = x).
— Grâce au théorème de transfert, en cas de convergence, on a E(Xr) =
x∈X(Ω)
xrP (X = x)
— Le moment d’ordre 1 est l’espérance — Toutes les VAR discrètes finies admettent des moments d’ordre r pour tout r ∈ N∗.
Propriété 7 Soit r ∈ N∗. Si X admet un moment d’ordre r alors X admet des moments d’ordre s pour tout s ∈ [[1; r]].
Corollaire 5 Si E(X^2 ) existe alors E(X) existe
Attention la réciproque à cette propriété est fausse. Exemple 10: on considère la VAR X dont la loi est donnée par X(Ω) = N∗^ et pour tout n ∈ N∗^ P (X = n) =
λn^3
avec λ =
∑^ +∞
k=
k^3
On a nP (X = n) =
λn^2
donc
|nP (X = n)| converge et E(X) existe.
De plus n^2 P (X = n) =
λn
donc
|n^2 P (X = n)| diverge et E(X^2 ) n’existe pas.
c Variance et écart type Définition 8 Soit X une VAR discrète admettant une espérance et telle que la variable X −E(X) admet un moment d’ordre 2. On appelle variance de X le réel :
V (X) = E
(X − E(x))^2
De plus lorsque V (X) existe, on appelle écart-type de X le réel σ(X) =
V (X).
Remarques : — Si X n’admet pas d’espérance, X ne peut pas admettre de variance. — La variance est la moyenne du carré de la distance entre les valeurs de X et la moyenne de X. La variance est donc une mesure de dispersion de X par rapport à E(X).
Théorème 6 Formule de Huygens ou de Kœnig Soit X une VAR discrète. X admet une variance ssi X admet un moment d’ordre 2 et en cas d’existence on a : V (X) = E(X^2 ) − E(X)^2
Remarque : En pratique, on utilise 99 fois sur 100 cette formule pour calculer une variance. Exemple 11:
Reprenons l’exemple 8. On a calculé E(X) =
. De plus
E(X^2 ) =
x∈X(Ω)
x^2 P (X = x) = 0^2 ×
+ 1^2 ×
+ 2^2 ×
+ 3^2 ×
+ 4^2 ×
Donc on en déduit que V (X) = E(X^2 ) − E(X)^2 =
Propriété 8 Si X est une VAR discrète admettant une variance alors pour tout (a, b) ∈ R^2 , aX + b admet une variance et V (aX + b) = a^2 V (X)
Définition 9 Si X est une VAR discrète admettant une variance et telle que E(X) = 0 et σ(X) = 1, on dit que X est une variable centrée réduite.
Propriété 9
Soit X une VAR discrète admettant une variance non nulle. La variable aléatoire X∗^ =
X − E(X)
σ(X)
est une VAR discrète centrée réduite appelée la variable aléatoire centrée réduite associé à X.
La variable centrée réduite associée à X nous sera très utile dans le chapitre sur la convergence de suites de VAR et dans le chapitre sur les estimations.
II Lois discrètes usuelles
1 Lois discrètes finies
a Loi de Bernoulli (ou indicatrice d’événement)
Mise en place : On considère une expérience aléatoire e et A un événement lié à cette expérience tel que P (A) = p. On définit alors la variable aléatoire X en posant X = 1 si A est réalisé et X = 0 sinon. X est une VAR qui prend les valeurs 0 et 1 avec la probabilité P (X = 0) = 1 − p et P (X = 1) = p.
Définition 10 Soit p ∈ [0; 1]. On dit qu’une VAR X suit la loi de Bernoulli de paramètre p (notée B(1, p)) si :
X(Ω) = {0; 1}
P (X = 0) = 1 − p et P (X = 1) = p
Propriété 10 Si X suit une loi de Bernoulli alors
E(X) = p et V (X) = p(1 − p)
P (X = k) =
M
k
N − M
n − k
N
n
Définition 12 Soit N et n des entiers tels que n 6 N et p ∈ [0; 1] tel que N p est un entier. On dit qu’une VAR X suit la loi hypergéométrique de paramètres N, n, p (notée H(N, n, p)) si :
X(Ω) = [[max(0, n − N + M ); min(M, n)]]
∀k ∈ X(Ω), P (X = k) =
N p k
N − N p n − k
N
n
Propriété 12 Si X suit la loi hypergéométrique H(N, n, p) alors :
E(X) = np
d Loi uniforme Définition 13 Soit n ∈ N∗. On dit que X suit la loi uniforme sur [[1; n]] si :
X(Ω) = [[1; n]]
∀k ∈ [[1; n]], P (X = k) =
n
Tous les événements [X = k] sont donc équiprobables.
Propriété 13 Soit X une VAR qui suit la loi uniforme sur [[1; n]]. Alors :
E(X) =
n + 1 2
et V (X) =
n^2 − 1 12
Démonstration :
• E(X) =
∑^ n
k=
kP (X = k) =
∑^ n
k=
k ×
n
n
×
n(n + 1) 2
n + 1 2
- On sait que V (X) = E(X^2 ) − E(X)^2.
Or E(X^2 ) =
∑^ n
k=
k^2 P (X = k) =
∑^ n
k=
k^2 ×
n
n
×
n(n + 1)(2n + 1) 6
(n + 1)(2n + 1) 6
Donc V (X) =
(n + 1)(2n + 1) 6
(n + 1)^2 4
n^2 − 1 12
2 Lois discrètes infinies
a Loi géométrique (ou loi d’attente d’un premier succès dans un processus sans mémoire)
Mise en place : On considère une expérience aléatoire e et un événement A lié à e tel que P (A) = p. On répète l’expérience e dans des conditions identiques (les expériences sont indépendantes) et on appelle X le nombre d’épreuves effectuées jusqu’à ce que A soit réalisé pour la première fois. On note Ai l’événement « A est réalisé a cours de la ieme^ expérience ».
Soit R l’événement « A ne réalise jamais ». On a R =
i=
Ai. Donc
P (R) = lim n→+∞
P
( (^) n ⋂
i=
Ai
= lim n→+∞
(1 − p)n^ = 0
On peut donc considérer que X prend ses valeurs dans N∗. De plus pour tout n ∈ N∗,
P (X = n) = P (A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ An− 1 ∩ An) = (1 − p)n−^1 p
Définition 14 Soit p ∈]0; 1[. On dit qu’une VAR X suit la loi géométrique de paramètre p (notée G(p)) si : X(Ω) = N∗ ∀n ∈ N∗, P (X = n) = (1 − p)n−^1 p
Propriété 14 Soit X une VAR qui suit la loi géométrique G(p). Alors :
E(X) =
p
et V (X) =
1 − p p^2
b Loi de Poisson Définition 15 Soit λ > 0. On dit qu’une VAR X suit une loi de Poisson (notée P(λ)) si :
X(Ω) = N
∀n ∈ N, P (X = n) =
e−λλn n! On ne dispose pas ici d’une situation concrète simple pour illustrer la loi de Poisson. Une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson sera toujours introduite sous la forme « soit X une VAR qui suit une loi de Poisson. »
Propriété 15 Soit X une VAR qui suit la loi P(λ). Alors on a :
E(X) = λ et V (X) = λ
