100 ejercicios de Probabilidad, Ejercicios de Estadística

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PROBABILIDAD

Ejercicios varios.

1. Supóngase que el 24% de cierta población tiene el grupo sanguíneo B. Para una muestra de tamaño 20

extraída de ésta población encontrar la probabilidad de que:

a. Se encuentren exactamente 3 personas con grupo sanguíneo B.

Pr( 3 ) ( 0 , 24 )( 0 , 76 ) 0 , 1484 3 17 X   20 C 3 

b. Se encuentren 3 o 4 personas con grupo sanguíneo B.

Pr( 3 ) ( 0 , 24 )( 0 , 76 ) 0 , 1484 3 17 X   20 C 3 

Pr( 4 ) ( 0 , 24 )( 0 , 76 ) 0 , 20 4 16 X   20 C 4 

Pr( 3  X  4 )Pr( X  3 )Pr( X  4 ) 0 , 684

c. Se encuentren menos de 3 personas con grupo sanguíneo B. 0 20 3 Pr( 0 ) 20 0 ( 0 , 24 )( 0 , 76 ) 4 , 133 * 10

 X   C 

Pr( 1 ) ( 0 , 24 )( 0 , 76 ) 0 , 0261 1 19 X   20 C 1 

Pr( 2 ) ( 0 , 24 )( 0 , 76 ) 0 , 0783 2 18 X   20 C 2 

Pr( X  3 )Pr( X  0 )Pr( X  1 )Pr( X  2 ) 0 , 1085

d. Se encuentren exactamente 5 personas con grupo sanguíneo B.

Pr( 5 ) ( 0 , 24 )( 0 , 76 ) 0 , 2012 5 15 X   20 C 5 

2. En una bolsa hay 5 bolas rojas, 4 negras y 2 blancas. Se sacan tres bolas sucesivamente de la bolsa sin

volverlas a introducir. La probabilidad de que la primera sea negra, la segunda sea roja y la tercera sea

blanca es:

A) 3/

B) 3/

C) 4/

D) 11/

La probabilidad de que la primera sea negra es 4/11;

La probabilidad de que la segunda sea roja dado que la primera fue negra es 5/10;

La probabilidad de que la tercera sea blanca dado que las 2 primeras fueron negra y roja es 2/9, por tanto:

Pr( )  

A  B  C 

3. Se saca al azar una bola de una caja que contiene 10 rojas, 30 blancas, 20 azules y 15 naranjas. Hallar

la probabilidad de que la bola extraída sea: (a) roja o naranja, (b) ni roja ni azul, (c) no azul, (d) blanca y

(e) roja, blanca o azul.

e)

Pr{ , _ _ }

Pr{ }

Pr{ }

Pr{ }

rojablanca o azul

roja

azul

blanca

4. Una caja contiene 9 tickets numerados del 1 al 9. Si se extraen 3 a la vez, hallar la probabilidad de que

sean: (a) impar, par, impar, o (b) par, impar, par.

Espacio muestral = 9 tickets

a)

Pr{ , , }

Pr{ }

Pr{ }

^ 

impar par impar

impar

par

b)

Pr{ , , }  

parimpar par 

Sumando ambas probabilidades de los 2 primeros literales, tenemos:

Pr{ extraer _ 3 _ a _ la _ vez }   

5. Un bolso contiene 2 monedas de plata y 4 de cobre, y otro contiene 4 de plata y 3 de cobre. Si se coge

al azar de uno de los bolsos una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que sea de plata?

Espacio muestral primer bolso = 6 monedas

Espacio muestral primer bolso = 7 monedas

Pr{ }

Pr{ _ 2 }

Pr{ _ 1 }

plata

plata

plata

Como la probabilidad de sacar plata es de 0,5 debido a que existen dos bolsos, la probabilidad de sacar

plata de uno de los bolsos es:

Pr{ _ } 0 , (^5)  

plata f 

6. De entre 800 familias con 4 hijos cada una, ¿qué porcentaje es de esperar que tenga: (a) 2 chicos y dos

chicas, (b) al menos un chico, (c) ninguna chica y (d) a lo sumo 2 chicas? Se supone igual probabilidad

para chicos y chicas.

a)

Pr( 2 ) ( 0 , 5 )( 0 , 5 ) 0 , 375 37 , 50 % 2 2 X   4 C 2  

b)

Pr( 1 ) 1 Pr( 0 ) 0 , 9375 93 , 75 %

Pr( 0 ) ( 0 , 5 )( 0 , 5 ) 0 , 0625 0 4 4 0     

X X

X C

c)

Pr( 4 ) ( 0 , 5 )( 0 , 5 ) 0 , 0625 6 , 25 % 4 0 X   4 C 4  

d)

Pr( 2 ) ( 0 , 5 )( 0 , 5 ) 0 , 375 2 2 X   4 C 2 

Pr( 3 ) ( 0 , 5 )( 0 , 5 ) 0 , 25 3 1 X   4 C 3 

Pr( 4 ) ( 0 , 5 )( 0 , 5 ) 0 , 0625 4 0 X   4 C 4 

Pr( 2  X  4 ) 0 , 375  0 , 25  0 , 0625  0 , 6875  68 , 75 %

7. Tres joyeros idénticos tienen cada uno dos cajones. Cada cajón del primero contiene un reloj de oro, y

cada uno del segundo un reloj de plata. En un cajón del tercero hay uno de oro y en el otro uno de plata.

Si seleccionamos un joyero al azar, abrimos uno de sus cajones y en él hay un reloj de plata, ¿cuál es la

probabilidad de que en el otro cajón haya un reloj de oro?

10. Un paquete de 6 focos tiene 2 piezas defectuosas. Si se escogen 3 focos al azar para su uso, calcule la

probabilidad de que ninguno tenga defectos.

Pr{ _ _ }  

ninguno tenga error 

11. Entre 100 artículos de un lote hay 5 defectuosos. Halle la probabilidad de que entre 10 artículos

escogidos al azar, no se contenga más de un artículo defectuoso.

Pr{ 1 } 0 , 7385

Pr{ 1 }

Pr{ 0 }

10 100

9 90

1 10

10 90

0 10

10 100

9 90

1 10

10 100

10 90

0 10

C

C C C C

X

C

C C

X

C

C C

X

12. Un distribuidor de electrodomésticos recibe un envío de 20 planchas, de las cuales hay 3 defectuosas.

Para conocer si el lote está bueno prueba 6 aparatos. El distribuidor aceptará el lote si encuentra a lo más

un aparato defectuoso entre los probados. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el envío?

Pr{ 1 } 0 , 7982

Pr{ 1 }

Pr{ 0 }

6 20

1 3

5 17

0 3

6 17

6 20

1 3

5 17

6 20

0 3

6 17

C

C C C C

X

C

C C

X

C

C C

X

13 ) En una urna se colocaron 3 fichas rojas, 3 blancas y 3 verdes ¿Cuál es la probabilidad de extraer una

ficha roja?

Espacio muestral = 9 fichas

Pr{ 1 _ _ }  

ficha roja 

14 ) En una urna se colocaron 12 tarjetas de igual forma y tamaño; cuatro han sido numeradas del uno al

cuatro, en otras cuatro se escribieron las letras a, b, c, y d, y la otras cuatro se marcaron con figuras

geométricas, ¿Cual tarjeta tiene mayor probabilidad de salir?

Espacio muestral = 12 tarjetas

Cada tarjeta posee igual probabilidad de salir, independientemente de si se trate de una letra, número o

figura geométrica, por tanto, la probabilidad de sacar 1 tarjeta es:

Pr{ A } 

Siendo (^) Pr{ A }la probabilidad de sacar 1 tarjeta de número, letra o figura geométrica.

15 ) La probabilidad de que un nuevo producto tenga éxito es de 0,65 si se eligen 10 personas al azar y se

les pregunta si comprarían el nuevo producto cuál es la probabilidad de que exactamente 4 adquieran el

nuevo producto.

a. 0,

b. 0,

c. 0,

d. 0,

Pr{ 4 }  0 , 65   0 , 35  0 , 0689

4 6 X   10 C 4 

16 ) Suponga que se eligen aleatoriamente a dos personas de un grupo formado por cuatro mujeres y seis

hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas personas sean mujeres?

Pr{ _ _ }  

ambas sean mujeres 

17 ) Se desea formar un comité de 8 personas de un grupo formado por 8 hombres y 8 mujeres. Si se

eligen al azar los miembros del comité, ¿cuál es la probabilidad de que la mitad de los miembros sean

mujeres?

Pr{ 4 }

4 4

8 4   

X   C

18 ) Una determinada persona encuentra tres semáforos de camino al trabajo, suponga que los valores

siguientes reflejan las probabilidades del número total de semáforos que encuentra en rojo y en los que,

´por tanto, tiene que parar.

p(0 semáforos en rojo) = 0,

p(1 semáforos en rojo) = 0, 36

p(2 semáforos en rojo) = 0, 34

p(3 semáforos en rojo) = 0, 16

21 ) Hallar la probabilidad de competir en una carrera de 20 atletas y llegar antes que el primero.

Espacio muestral = 20 atletas

Pr{ ser _ primero }

22 ) Si la probabilidad de que una pareja de divorciados se vuelva a casar dentro de 3 años es de 0,4.

Determina la probabilidad de que 10 parejas de divorciados:

a) Cuando mucho 3 se volverán a casar.

Pr( 3 ) Pr( 0 ) Pr( 1 ) Pr( 2 ) Pr( 3 ) 0 , 38228

Pr( 3 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 6 ) 0 , 21499

Pr( 2 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 6 ) 0 , 12093

Pr( 1 ) ( 0 , 4 )( 0 , 6 ) 0 , 04031

Pr( 0 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 6 ) 0 , 006047

3 7 10 3

2 8 10 2

1 9 10 1

0 10 10 0

X X X X X

X C

X C

X C

X C

b) Cuando menos 7 se volverán a casar.

Pr( 7 ) Pr( 7 ) Pr( 8 ) Pr( 9 ) Pr( 10 ) 0 , 05476

Pr( 10 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 6 ) 0 , 000105

Pr( 9 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 6 ) 0 , 00157

Pr( 8 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 6 ) 0 , 01062

Pr( 7 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 6 ) 0 , 04247

10 0 10 10

9 1 10 9

8 2 10 8

7 3 10 7

X X X X X

X C

X C

X C

X C

c) De 2 a 5 se volverán a casar.

Pr( 2 5 ) Pr( 2 ) Pr( 3 ) Pr( 4 ) Pr( 5 ) 0 , 78740

Pr( 5 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 6 ) 0 , 20066

Pr( 4 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 6 ) 0 , 25082

Pr( 3 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 6 ) 0 , 21499

Pr( 2 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 6 ) 0 , 12093

5 5 10 5

4 6 10 4

3 7 10 3

2 8 10 2

X X X X X

X C

X C

X C

X C

d) Cuando menos 2 se volverán a casar.

Pr( 2 ) 1 Pr( 0 ) Pr( 1 ) 0 , 95364

Pr( 1 ) ( 0 , 4 )( 0 , 6 ) 0 , 04031

Pr( 0 ) ( 0 , 4 ) ( 0 , 6 ) 0 , 006047 1 9 10 1

0 10 10 0

X X X

X C

X C

23. Hallar la probabilidad de obtener un total de 7 puntos en dos tiradas de un dado: (a) una vez, (b) al

menos una vez y (c) dos veces.

a)

Pr( 1 )

1 1

2 1   

X   C

b)

Pr( 1 ) Pr( 1 ) Pr( 2 )

Pr( 2 )

Pr( 1 )

2 0

2 2

1 1

2 1

X X X

X C

X C

c)

Pr( 2 )

2 0

2 2   

X   C

24. Hallar la probabilidad de acertar una loto en la que se deben marcar 6 números de entre 1, 2, 3,......, 40

en cualquier orden.

Pr( 1 _ )

40

loto

C

25. Entre 800 familias con 5 hijos, ¿cuántas cabe esperar que tengan: (a) 3 hombres, (b) 5 mujeres y (c) 2

ó 3 hombres? Se suponen probabilidades iguales para chicos y chicas.

a)

Pr( 2 )  0 , 1   0 , 9  0 , 1937

2 8 X   10 C 2 

b)

e

e X

Np

Pr( 2 )

2 1   





28 ) Si el 3% de las válvulas manufacturadas por una compañía son defectuosas, hallar la probabilidad de

que en una muestra de 100 válvulas: (a) 0, (b) 1, (c) 2, (d) 3, (e) 4 y (f ) 5 sean defectuosas.

a)

3

0 3 1

0!

Pr( 0 )

e

e X

Np



b)

3

1 3 3

1!

Pr( 1 ) e

e X   



c)

3

2 3

Pr( 2 ) e

e X   



d)

3

3 3

Pr( 3 ) e

e X   



e)

3

4 3

Pr( 4 ) e

e X   



f)

3

5 3

Pr( 5 ) e

e X   



29 ) Una bolsa contiene 1 ficha roja y 7 blancas. Se saca una al azar, se anota su color y se devuelve a la

bolsa, tras lo cual se remueven de nuevo. Usando: (a) la distribución binomial y (b) la aproximación de

Poisson a la distribución binomial, hallar la probabilidad de que en 8 de esas extracciones salga la roja 3

veces exactamente.

a)

Pr( 3 )

3 5

8 3   

X   C

b)

e

e X 6

Pr( 3 )

3 1   



30. Una caja contiene 5 bolas rojas, 4 blancas y 3 azules. Se saca al azar una bola de la caja, se anota su

color y se vuelve a meter en la caja. Hallar la probabilidad de que entre 6 bolas así seleccionadas, 3 sean

rojas, 2 blancas y 1 azul.

Espacio muestral = 12 bolas

Pr( roja )

Pr( blanca ) 

Pr( azul ) 

Pr( 3 _ , 2 _ , 1 _ )

3 2

^  

rojas blancas azul 

31 ) Se lanza un dado 6 veces. Hallar la probabilidad de que: (a) salgan 1 uno, 2 doses y 3 treses y (b) que

salga cada número una vez.

a)

Pr( 1 )Pr( 2 )Pr( 3 )

Pr( 1 _ , 2 _ , 3 _ )

2 3 ^  

uno doses treses 

b)

Pr( 1 )Pr( 2 )Pr( 3 )Pr( 4 )Pr( 5 )Pr( 6 )

Pr( 1 _ , 1 _ , 1 _ , 1 _ , 1 _ , 1 _ )  

uno dos tres cuatro cinco seis 

Pr( B _ gana _ cualquier _ partida ) 

Pr( tablas _ en _ cualquier _ partida ) 

a)

Pr( _ _ 3 _ )  

A gane juegos 

b)

Pr( _ _ 2 _ )  

tablas en partidas 

c)

Pr( _ _ _ _ )  

A y B ganan alternadamente 

d)

Pr( _ _ _ _ 1 _ ) 1

Pr( _ _ _ _ 1 _ ) 1 Pr( _ _ _ 3 )

^ 

B gana al menos partida

B gana al menos partida B pierde las

35. De una baraja de 52 naipes bien mezclada se sacan 5 naipes. Hallar la probabilidad de que: (a) 4 sean

ases, (b) 4 sean ases y 1 rey, (c) 3 sean dieces y 2 sotas, (d) salgan nueve, diez, sota, caballo y rey en

cualquier orden, (e ) 3 son de un palo y 2 de otro y (f) al menos uno sea un as.

a)

Pr( 4 _ ) 52 5

48 1

4 4   C

C C

ases

b)

Pr( 4 _ _ 1 _ ) 52 5

4 1

4 4   C

CC

ases rey

c)

Pr( 3 _ _ 2 _ ) 52 5

4 2

4 3   C

CC

dieces sotas

d)

Pr( , , , , _ _ _ ) 52 5

4 1

4 1

4 1

4 1

4 1   C

C C C CC

nuevediezsotacaballorey en cualquier orden

e)

Pr( 3 _ _ _ _ 2 _ _ ) 52 5

13 2

13 3   C

C C

de cualquier figura de otra

f)

Pr( _ _ 1 _ ) 1

Pr( _ ) 52 5

48 5

al menos as

C

C

ningún as

36. En una competencia interescolar participan 3 personas A, B y C, el A tiene el triple de posibilidades

de ganar que el B y el B el doble que de C. Hallar las probabilidades respectivas de ganar para cada uno.

Pr(C) = p

Pr (B) = 2p

Pr(A) = 3(2p) = 6p

Pr(T) = p + 2p + 6p = 9p

Pr( _ )

Pr( _ )

Pr( _ )

p

p gana A

p

p gana B

p

p gana C

37. Si 6 personas se ordenan en una fila al azar, ¿Cuál es la probabilidad que dos de ellas queden una

junto a la otra?

a) 1/

b) 2/

c) 5/

d) 1/

e) 1/

a)

Pr(D) = Pr(A)Pr(D|A) + Pr(B)Pr(D|B) + Pr(C)Pr(D|C)

Pr(D) = 0,60(0,50) + 0,30(0,60) + 0,10(0,90) = 0,

b)

Pr(B⋂D) = Pr(B)Pr(D|B)

Pr(B⋂D) = 0,30(0,60) = 0,

c)

Pr(B|D) = Pr(B⋂D) / Pr(D)

Pr(B|D) = Pr(B)Pr(D|B) / [ Pr(A)Pr(D|A) + Pr(B)Pr(D|B) + Pr(C)Pr(D|C) ]

Pr(B|D) = 0,18/0,57 = 0.

d)

Pr(D|C) = 0.

39. En un examen de lengua entran 71 temas, pero el profesor escogerá 5 al azar sin decir a los alumnos

cuáles son, y pondrá una pregunta de cada uno de esos 5 temas. El examen se aprueba si el alumno

responde bien al menos a una de las preguntas. Un alumno sólo se ha estudiado 30 temas (se supone que

se los sabe bien). ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen? ¿Y si estudia 40?

La probabilidad de acertar una pregunta es p y la de no acertar una es (1-p), la de no acertar 5 es (1-p) 5 ,

por lo que la probabilidad de acertar al menos una es 1 - (1-p) 5 .

a)

Probabilidad de estudiar 30 temas

p = 30/

Pr(aprobar examen) = 1 - [1 - (30/71)] 5 = 0,

b)

Probabilidad de estudiar 40 temas

p = 40/

Pr(aprobar examen) = 1 - [1 - ( 4 0/71)] 5 = 0, 9841

40. Entre 100 fotografías de un sobre se encuentra la foto buscada. Del sobre se extraen al azar 10 fotos.

Hallar la probabilidad de que entre ellas resulte la foto necesaria.

Espacio muestral:

10 Card ( ) C 100

Resultados favorables:

9 Card ( A ) C 99

Probabilidad del evento:

Pr( ) 10 100

9 99   C

C

A

41. En un estudio sociológico sobre la fidelidad en el matrimonio se obtuvo el siguiente modelo

probabilístico, calificando al hombre y a la mujer como fiel (F) o infiel (I).

Hombre

Mujer F I F 0,22^ 0, I 0,31 0,

a) Cuál es la probabilidad de que un esposo sea fiel dado que su esposa es fiel?

b) Cuál es la probabilidad de que una esposa sea fiel dado que su esposo es infiel?

HF: Hombre fiel

HI: Hombre infiel

MF: Mujer fiel

MI: Mujer infiel

a)

Pr( | )

Pr( ) 0 , 22 0 , 31 0 , 53

Pr( ) 0 , 22

HF MF

MF

HF MF

b)

Pr( | )

Pr( ) 0 , 31 0 , 23 0 , 54

Pr( ) 0 , 31

MF HI

HI

MF HI

42. En una relojería hay 12 relojes de la marca X, 20 relojes de la marca Y y 18 relojes de la marca Z. La

probabilidad de que un reloj de la marca X sea de calidad excelente es igual a 0,9; para las marcas Y y Z

estas probabilidades son iguales a 0,6 y 0,9 respectivamente. Hallar la probabilidad de que el reloj

escogido al azar resulte ser excelente.

A: reloj marca X

B: reloj marca Y

C: reloj marca Z

E: reloj excelente