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desarrollo de ejercicios de calculo integral
Tipo: Ejercicios
1 / 44
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Terea 1: El Concepto de integral
Tatiana Julieth Pimiento Acuña
Código: 1010159459
Claudia patricia Velazco
Édison Hernández
Código: 1.098.649.
Frank Alexander García
Johan Harley Luengas
Grupo colaborativo: 100411_
Tutor
Faver Adrian Amorocho
Universidad nacional abierta y a distancia UNAD
Escuela de ciencias básicas tecnología e ingeniera
Bucaramanga - Santander
Marzo de 2019
Introducción
El presente trabajo contiene el estudio de los siguientes conceptos: integral indefinida,
sumas Riemann, Teoremas de integración. Antiderivada, con el fin de determinar integrales
definida y indefinida.
Realizaremos ejercicios que nos permitirán ampliar nuestro conocimiento sobre estos temas
y la forma en la que se pueden aplicar.
Resolviendo ahora:
∫
[ ( x
2
2
] dx = I
1
Se expande el binomio dentro de la integral: ( a + b )
2
= a
2
2
1
∫
[( x
2
2
2
2
] dx
Simplificando por potenciación en cada termino:
1
∫
[ x
4
2
] dx
Aplicando linealidad en integrales:
∫ α
f ( x ) + g ( x )
dx = α ∫ f ( x ) dx + α ∫ g ( x ) dx
1
∫
x
4
dx + 2
∫
x
2
dx +
∫
Aplicando la propiedad:
∫ x
n
dx =
x
n + 1
n + 1
a : cte de integración
1
x
5
2 x
3
Por otro lado,
2
∫
Se desarrolla también aplicando: ∫ x
n
dx =
x
n + 1
n + 1
b : cte de integración
2
x
2
Finalmente:
3
∫
1 dx
Y aplicando la misma propiedad de arriba:
∫ x
n
dx =
x
n + 1
n + 1
c : cte de integración
3
=− 3 x + c
Reemplazando los valores de cada integral individual en la integral original:
( x
2
2
dx =
x
5
2 x
3
x
2
( x
2
2
dx =
x
5
2 x
3
x
a
x
2
( x
2
2
dx =
x
5
2 x
3
x
2
8 x
Donde:
a
Derivando el resultado:
d
dx
x
5
2 x
3
x
2
8 x
d
dx
x
5
d
dx
2 x
3
d
dx
x
2
d
dx
− 8 x
d
dx
Donde se ha aplicado linealidad en la derivada.
d
dx
[
α ( f + g ) ]
= α
d
dx
d
dx
d
dx
x
5
2 x
3
x
2
8 x
x
4
x
2
x −
Y donde se ha utilizado:
d
dx
n
n − 1
. Simplificando y reordenando:
d
dx
x
5
2 x
3
x
2
8 x
x
4
x
2
d
dx
x
5
2 x
3
x
2
8 x
x
4
x
2
d
dx
x
5
2 x
3
x
2
8 x
x
4
2
Por tanto:
d
dx
x
5
2 x
3
x
2
8 x
( x
2
2
Lo que indica que la respuesta es correcta.
Escribimos de una manera diferente nuestro ejercicio buscando reducir términos
∫
− 1
2
3
Separamos el ejercicio para empezar a integrar
∫
− 1
∫
2
3
Aplicamos las propiedades simultáneamente a ambos lados de la resta con las propiedades
∫ x
n
dx =
x
n + 1
n + 1
∫
f ( x )
− 1
=ln| x |
∫
5ln| x | dx − ∫
x
2
3
dx
Realizamos la suma
ya que
∫
5ln| x | dx − ∫
x
5
3
dx
Aplicamos la ley de extremos sobre medios o ley de la oreja
∫
5ln| x | dx −
∫
3 x
5
3
dx
Ejercicio D. Frank García
∫
tan( x )
2
∗ Csc ( x )
Sec ( x )
2
dx
∫
tan( x )
2
∗ Csc ( x )
Sec ( x )
2
dx para poder desarrollar se pasa a expresión en senos y cosenos
∫
sin
2
( x )
cos
2
( x )
sin ( x )
cos
2
( x )
dx
∫
sin( x )
cos
4
( x )
dx en este caso usamos
tan( x )=
sin ( x )
cos ( x )
∫
tan ( x )∗ sec 3 ( x ) dx ahora reemplazamos
u = sec
3
( x ) ⟹ du = 3 sec
3
( x ) tan( x ) dx ⟹
du
3 sec
3
x
tan ( x )
∫
tan ( x )∗¿ sec
3
( x ) dx ¿
∫
tan
x
∗¿ u =
du
3 sec
3
( x ) tan ( x )
∫
tan
x
∗¿ u =
du
3 ( u )
3
tan ( x )
∫
du =
u + C =
sec
3
( x ) + C
Ejercicio E. Johan Harley Luengas Rueda
1) e
∫
e
− 2 x
dx
x
+e
x
∫
x
− 2
x
dx
∫
x
dx + e
− 2
∫
x dx
- Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12)
rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la
curva
f ( x ) .
iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con
respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6
y n=12.
Solución
Numeral i.
Se sabe que se tiene la función:
f
x
= x
3
− 2 x + 5
Por medio de sumas de Riemann se tiene:
∑
n = 1
6
f
x
i
∆ x
Se calcula ∆ x como:
∆ x =
b − a
n
Entonces el valor de
x
i
es:
x
i
= a + i∆ x
x
i
i
Entonces los puntos
x
i
son:
Para i=
x
1
x
1
x
1
Para i=
x
2
x
2
x
2
Para i=
x
3
x
3
x
3
Para i=
x
4
x
4
Para i=
x
5
x
5
Para i=
x
6
x
6
Ahora, calculamos la imagen de los puntos
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
y
x
6
f
x
1
(
)
3
(
)
f
x
1
f
x
1
f
x
2
3
-Gráfica de la función
f ( x ) y el área bajo la función, usando 6 rectángulos:
Numeral ii.
Se sabe que se tiene la función:
f
x
= x
3
− 2 x + 5
Por medio de sumas de Riemann se tiene:
∑
n = 1
12
f
x
i
∆ x
Se calcula ∆ x como:
∆ x =
b − a
n
Entonces el valor de
x
i
es:
x
i
= a + i∆ x
x
i
i
Entonces los puntos
x
i
son:
Para i=
x
1
x
1
x
1
Para i=
x
2
x
2
x
2
Para i=
x
3
x
3
x
3
Para i=
x
4
x
4
x
4
Para i=
x
5
x
5
x
5
x
10
x
10
x
10
Para i=
x
11
x
11
x
11
Para i=
x
12
x
12
x
12
Ahora, calculamos la imagen de los puntos
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
, x
7
, x
8
, x
9
, x
10
, x
11
y x
12
f
x
1
(
)
3
(
)
f
x
1
f
x
1
f
x
2
(
)
3
(
)
f
x
2
f
x
2
f
x
3
(
)
3
(
)
f
x
3
f
x
3
f
x
4
3
f
x
4
f
x
4
f
x
5
(
)
3
(
)
f
x
5
f
x
5
f
x
6
(
)
3
(
)
f
x
6
f
x
6
f
x
7
(
)
3
(
)
f
x
7
f
x
7
f
x
8
3
f
x
8
f
x
8
f
x
9
(
)
3
(
)
Numeral iii.
Cálculo de la integral en Geogebra:
Como se puede evidenciar, la aproximación del área bajo la función x
3
− 2 x + 5
usando 6
rectángulos es mayor que la aproximación usando 12 rectángulos. De lo anterior se deduce
que entre más rectángulos se usen para estimar el área, más preciso será este cálculo en
comparación con el valor de la integral definida encontrada con Geogebra.
Ejercicio B. Tatiana pimiento
i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del
área bajo la curva de la función
f ( x )=− 2 x
2
Siga los siguientes pasos:
- Graficar la función f ( x ) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los seis (6)
rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la
curva f ( x ).
Solución:
f
x
=− 2 x
2
Definicion de la suma de Riemann :
a = x
o
< x
1
< x
2
< … < x
n − 1
< x
n
= b
donde ∆ xies lalongitud de i − Esimo subintervalo. Sic ies cualquier punto deli − Esimo subintervalo
∑
i = 1
n
f ( c i ) ∆ x i x i − 1 ≤ c i ≤ x i
∆ x =
b − a
n
Particion regular
