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MAT 106 - Cálculo Integral Prueba N◦ 3 27 de Junio de 2020. Tiempo: 120 minutos para resolver + 10 minutos para subir el archivo.
- [10 pts] Sea a un número real positivo. Considere la región S acotada por las curvas de ecuación y = |x| − 2 a, y = −|x|.
a) Determine el centroide de S en términos de a.
Solución: Grá camente la región corresponde a
Forma 1: Se puede observar que S es un cuadrado simétrico respecto de las rectas x = −a e y = 0, por tanto, al tratarse de una región homogénea su centroide se ubica en C = (0, −a).
Forma 2: Utilizando integrales se pueden obtener las coordenadas del centroide me- diante: x =
A
∫ (^) a
−a
x(−|x| − |x| + 2a) dx
y = 1 2 A
∫ (^) a
−a
(−|x|)^2 − (|x| − 2 a)^2 dx
donde A =
∫ (^) a
−a
(−|x| − |x| + 2a) dx Y se obtiene
• A =
∫ (^) a
−a
(−|x| − |x| + 2a) dx = 2
∫ (^) a
0
(− 2 x + 2a) dx = 2(−x^2 + 2ax)
a 0 = 2a
2
∫ (^) a
−a
x(− 2 |x| + 2a) dx = 1 2 a^2
−a
x(2x + 2a) dx +
∫ (^) a
0
x(− 2 x + 2a) dx
2 a^2
x^3 + ax^2
∣∣^0
−a
−^2
x^3 + ax^2
∣∣a 0
2 a^2
a^3 − a^3 − 2 3
a^3 + a^3
∫ (^) a
−a
(x^2 −x^2 +4a|x|− 4 a^2 ) dx = (^41) a 2
−a
(− 4 ax − 4 a^2 ) dx +
∫ (^) a
0
(4ax − 4 a^2 ) dx
= (^41) a 2
(− 2 ax^2 − 4 a^2 x)
0 −a^ + (2ax
(^2) − 4 a (^2) x)
a 0
= (^41) a 2 (2a^3 − 4 a^3 + 2a^3 − 4 a^3 ) = −a
Así, C = (0, −a).
Niveles de logro para pregunta 1a) :
Nivel 3 5 puntos
Determina correctamente ambas coordenadas del centroide.
Nivel 2 3 puntos
Gra ca la región y determina correctamente sólo una coordenada del centroide.
Nivel 1 1 punto
Gra ca la región y la utiliza para observar simetrías o bien para plantear las integrales, pero comete errores al determinar las coordenadas del centroide.
Nivel 0 No logra ingresar al problema o escribe un desarrollo que no conduce a su solución.
- [20 pts]
a) Use las ecuaciones paramétricas de una elipse x = a cos(t), y = b sen(t), 0 ≤ t ≤ 2 π para encontrar el área que encierra.
Solución:
Usando simetría debemos calcular la integral
∫ (^) π
0
|y(t)x′(t)|dt = 2
∫ (^) π
0
b sen(t)a(sen(t))dt
= 2 ab
∫ (^) π
0
sen^2 (t)dt
= 2 ab
∫ (^) π
0
1 − cos(2t) 2
dt
= ab
t
π 0 −^
sen 2t 2
π 0
= abπ
Niveles de logro para pregunta 2a) : Nivel 4 10 puntos
Plantea la integral correctamente y calcula su valor de forma correcta.
Nivel 3 7 puntos
Plantea la integral correctamente y calcula la integral con errores menores en el cálculo.
Nivel 2 5 puntos
Plantea la integral con errores menores y calcula de forma correcta la integral.
Nivel 1 3 puntos
Plantea una integral que permite calcular el área solicitada.
Nivel 0 No logra ingresar al problema o escribe un desarrollo que no conduce a su solución.
b) Una partícula se mueve sobre la curva polar r = 2 sen(3θ), correspondiente a una rosa de 3 pétalos. Plantee una integral que permita calcular el camino recorrido por la partícula desde que comienza en el origen y vuelve al mismo punto por primera vez.
Solución:
Debemos calcular la longitud de la curva r = 2 sen(3θ), con 0 ≤ θ ≤ π 3 ya que en θ = 0 tenemos el primer cero de la curva y en θ = π 3 tenemos el segundo cero de la curva. Por lo tanto, la integral que debemos calcular es
I =
∫ (^) π/ 3
0
(r(θ)′)^2 + r^2 (θ)dθ
como
(r′(θ))^2 + r^2 (θ) =
36 cos^2 (3θ) + 4 sen^2 (3θ), la integral queda
I =
∫ (^) π/ 3
0
36 cos^2 (3θ) + 4 sen^2 (3θ)dθ
Niveles de logro para pregunta 2b) :
Nivel 3 10 puntos
Plantea correctamente la integral que permite determinar la longitud de curva.
Nivel 2 7 puntos
Plantea la integral que permite calcular la longitud de curva con los límites de integración incorrectos pero con el integrando correcto
Nivel 1 4 puntos
Plantea la integral que permite calcular la longitud de curva con los límites de integración incorrectos y algunos errores menores en el integrando.
Nivel 0 No logra ingresar al problema o escribe un desarrollo que no conduce a su solución.
Niveles de logro para pregunta 3a) :
Nivel 5 10 puntos
Concluye justi cando correctamente que la integral es divergente.
Nivel 4 9 puntos
Plantea la integral impropia por de nición y calcula el valor del límite.
Nivel 3 6 puntos
Plantea la integral impropia por de nición y determina la antiderivada.
Nivel 2 4 puntos
Plantea la integral impropia por de nición y determina la descomposición en fracciones parciales.
Nivel 1 2 puntos
Plantea la de nición de la integral impropia.
Nivel 0 0 puntos
No logra ingresar al problema o escribe un desarrollo que no conduce a su solución.
b) ¾Es la serie
∑^ ∞
n=
n(1 + ln^2 (n))
convergente o divergente?
Solución:
Utilizaremos el criterio de la integral considerando la función
f (x) = 1 x(1 + ln^2 (x))
Se veri ca que
- f es continua en [2, ∞[, por álgebra de funciones continuas y porque el denomina- dor no se indetermina en el intervalo.
- f es positiva en [2, ∞[, pues x(1 + ln^2 (x)) > 0 para todo x > 0.
- f es decreciente en [2, ∞[, dado que
f ′(x) = − (1 + ln(x))
2 x^2 (1 + ln^2 (x))^2
< 0 , ∀x ∈ R
De aquí tenemos que f satisface las condiciones del criterio de la integral. De modo
que analicemos la convergencia de ésta. ∫ (^) ∞
2
x(1 + ln^2 (x))
dx = l´ t→∞ım
∫ (^) t
2
x(1 + ln^2 (x))
dx
La integral puede ser calculada utilizando un cambio de variable, a saber, u = ln(x).
t^ l´→∞ım
∫ (^) t
2
x(1 + ln^2 (x))
dx = (^) tl´→∞ım
∫ (^) ln t
ln 2
1 + u^2
du
= (^) tl´→∞ım arctan(u)
ln t ln 2 = (^) tl´→∞ım(arctan(ln t) − arctan(ln 2)) = π 2 − arctan(ln 2)
De lo anterior se concluye que la integral es convergente y por lo tanto, por el criterio de la integral, la serie dada tambien es convergente.
Niveles de logro para pregunta 3b) :
Nivel 5 10 puntos
Concluye justi cando correctamente que la serie es convergente.
Nivel 4 9 puntos
Veri ca las hipótesis del criterio de la integral y analiza correctamente la integral impropia de primera especie.
Nivel 3 5 puntos
Veri ca las hipótesis del criterio de la integral e intenta calcular la integral impropia de primera especie cometiendo errores graves que no le permiten concluir.
Nivel 2 3 puntos
Reconoce el uso del criterio de la integral y veri ca las hipótesis necesarias.
Nivel 1 1 puntos
Reconoce el uso del criterio de la integral pero no veri ca las hipótesis necesarias.
Nivel 0 No logra ingresar al problema o escribe un desarrollo que no conduce a su solución.
b)
∑^ ∞
n=
n! (n + 1)5n Solución:
Notemos que si an = n! (n + 1)5n^
entonces
L = (^) nl´→∞ım^ a an+ n
= (^) nl´→∞ım^ (n^ + 1)!(n^ + 1)
n n!(n + 2)5n+
= (^) nl´→∞ım(n + 1)
1 + (1/n) 1 + (2/n)
ya que (^) nl´→∞ım
1 + (1/n) 1 + (2/n)
- Usando el criterio de la razón podemos concluir que la serie es divergente.
Niveles de logro para pregunta 4b) :
Nivel 3 5 puntos
Aplica correctamente el criterio de la razón y concluye que la serie es divergente.
Nivel 2 3 puntos
Plantea el límite L pero comete errores al calcularlo, en base al valor de L concluye.
Nivel 1 1 punto
Plantea el límite L.
Nivel 0 No logra ingresar al problema o escribe un desarrollo que no conduce a su solución.
