¡Descarga Prueba 2 Calculo Integral (UAI) y más Exámenes en PDF de Cálculo para Ingenierios solo en Docsity!
MAT 106 - Cálculo Integral Pauta Prueba N◦ 2. 11 de mayo 2020
- a) Calcule
x^2 √ 9 − x^2
dx.
Solución
Realizando la sustitución trigonométrica x = 3 sin θ se tiene dx = 3 cos θ dθ,
∫ x^2 √ 9 − x^2
dx =
(9 sin^2 θ)(3 cos θ) √ 9 − 9 sin^2 θ
dθ
sin^2 θ dθ
(1 − cos 2θ) dθ
θ −
sin 2θ + C
arcsin
x 3
x
9 − x^2 + C
Niveles de logro para pregunta 1a) : Nivel 4 10 puntos
Calcula la integral pedida.
Nivel 3 8 puntos
Calcula la integral de sin^2 θ y la deja expresada en términos de θ.
Nivel 2 5 puntos
Realiza la sustitución y obtiene la integral de sin^2 θ.
Nivel 1 3 puntos
Realiza la sustitución trigonométrica y calcula el dx.
Nivel 0 No logra ingresar al problema o escribe un desarrollo que no conduce a su solución.
b) Sea R la región del plano sombreada en la grá ca adjunta.
Determine, en términos de f y g, la o las integrales que permiten calcular el área de R.
Solución
Si denotamos el área de R por a(R), se tiene que
a(R) =
2
(g(x) − 2) dx +
3
(f (x) − 2) dx +
8
(g(x) − 2) dx
Niveles de logro para pregunta 1b) : Nivel 3 10 puntos
Plantea correctamente las tres integrales que permiten calcular a(R)
Nivel 2 6 puntos
Plantea correctamente dos de las tres integrales que permiten calcular a(R)
Nivel 1 3 puntos
Plantea correctamente una de las tres integrales que permiten calcular a(R)
Nivel 0 No logra ingresar al problema o escribe integrales que no conducen a la solución.
Niveles de logro para pregunta 2a) : Nivel 3 10 puntos
Calcula el volumen pedido.
Nivel 2 8 puntos
Integra correctamente pero comete errores al evaluar en los extremos del intervalo.
Nivel 1 6 puntos
Plantea correctamente la integral que permite calcular el volumen del sólido, de acuerdo al método utilizado. Nivel 0 No logra ingresar al problema o escribe un desarrollo que no conduce a su solución.
b) La base de un sólido S es la región encerrada por una circunferencia de radio 10cm y cada sección plana perpendicular a un diamétro jo de la base, es un triángulo isósceles con una altura de 25 cm y una cuerda del círculo como base. Plantee una integral que permita calcular el volumen de S.
Solución. Si se coloca la base del sólido en el plano xy y el origen en el centro de la circunferencia
de radio 10, se tiene
Note que el área de la sección transversal es: as(y) = 25
100 − y^2 y
V =
− 10
as(y) dy = 25
− 10
100 − y^2 dy
Niveles de logro para pregunta 2b) : Nivel 2 10 puntos
Plantea correctamente la integral que permite calcular el volumen del sólido.
Nivel 1 6 puntos
Plantea correctamente la función área de la sección transversal.
Nivel 0 No logra ingresar al problema o escribe un desarrollo que no conduce a su solución.
Niveles de logro para pregunta 3 a) Nivel 4 10 puntos
Describe el perímetro de la región encerrada por las curvas.
Nivel 3 8 puntos
Calcula la longitud de cada una de las curvas correctamente pero no describe el perímetro.
Nivel 2 6 puntos
Describe el perímetro de la región encerrada por las curvas, informando que corresponde a la suma de las longitudes de cada curva entre los puntos de corte entre ellas, pero al describir algunas de las longitudes comete errores al derivar o al calcular los puntos de intersecci«. Nivel 1 3 puntos
Aplica la fórmula que permite calcular la longitud de sólo una curva en la situación dada: Determina explícitamente límites de integración y función del integrando. Nivel 0 0 puntos
No logra ingresar al problema.
b) El área de super cie del sólido generado al rotar la región en torno a la recta y = − 1 , está dada por:
S = 2π
[ ∫^2
− 1
1 + 4 − x^2
1 + (− 2 x) 2 dx +
− 1
(1 + 2 − x)
1 + (−1)^2 dx
]
Niveles de logro para pregunta 3 b) Nivel 4 10 puntos
Utiliza integrales para describir el área de la super cie de revolución.
Nivel 3 8 puntos
Describe las integrales que permiten calcular el área de una super cie de revolución en la situación dada: Determina explícitamente límites de integración y función del integrando. No realiza la suma.
Nivel 2 5 puntos
Describe el área de la super cie como suma de áreas. Comete errores al describir el área de una de las super cies de revolución.
. Nivel 1 3 puntos
Describe la integral que permiten calcular el área de una super cie.
Nivel 0 No logra ingresar al problema.
