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(Lo YE + gm dr: a (TE) = g n95 1 (E ET1) AUP2-0) saso300a so] e eguaruoO ob ¡Y ap 950q Un semuooUg “97 eS mi ap asa pun pus A (OMA ECO (TI) euasts ja un ys seno yg] 7] al) “[x] a ap seg vin to] xx A Eo La E=¿X SOILOUOH 50] ls amos e “El AS PD A 401994 [2p SUPPuUAPI009 SE] APIIVH * ¿A Op osvq eun uprqueo So mens Img=ta “Ointa "Enmin=ta 1100 “(fa*ala)=tg, oruafuoo [a ob seqorduoo “aseq MPIP 9 (1-"1"1) supetapaooo ap a soj90n ja A ¿Y ap (00m) =1g aseq *[ UBIQpISUOO 98 "EJ a € 1)) 950q v1 op oroadsas (11) 101994 [ap Septnapaoo se] seee pa OO ACTO) AAA) ACTO COD (11) :sar01m ap seurajsis soomáts so ¿AL PP SS UOS 18 SEIPIUS “TJ * U3P(UE-7) Á(I'Z£) S1O399A SO] 9p [vay] PatNOAUO PY aeupunana “01 “UOS O] NIUE "AG=Z K ME=M SaJO199A so] amb seqoad * | SAL0199A SOP U0S AÁNIS"G -opn8l 09 (TINEO 111)) “¿a ap sasojooa ap vurosts ja anb mxed x op sojea jo ape: d : . 4 74 91GOS ¿¿) vIOHe OpuRIApIsuoo 00d “o:pmusa otusfur jo 'nzyuay + o 21908 ¿9 Ietloro0n ojords Jap (1+1"1) A (1Z'L+]) sasoz00A SOL ap [$ou] erouapuadop 1] sespoysg LEPE AMAT AENA OA COCODAZI) EU 9P 52101994 9p SUIDASI5 SOJUAIMBTS SO] Ap [vau1] mouapuadap 1] ap e u9=k-xE Mpo=Á-xE to kerxíg eo Acre OIJPNOO DP SUOISIS 50] 19AJOS0Y “5 A pa O=Z-xc(8 :sauotounos se tesombjimmo ¡et10100A otondso un 19 “10Ajosay “y da a1qos ¡porosa ojoudso un sauotomado su1so 109 ¿Y $47 - 3 CAMERA (22 KK 002 A 2) (2: sanoromaado SY] UaUNap as ¿a ug eE “Y 21q0s ¡rzor00n oJoadso un weno] Q=o4-qq+e uglotnoa 1] ap sauojonjos st ap (91 39'q'8:(0'q1+))=5 Onmfioo ja amb sensomoc “q Inhiora3A Orordsa un sa (91 9.1: G0x)=S onnfuoo jo anb mnsoraq +] SATVRIOLITA SOIOV ASA *X1-000) semopqo.d SVLINOSIA SVIILYINALVIN A VUHIO Ty asey P1P 09 [(10'1'0)] 201994 |ap sepeuapaooo se sejjey A 57 UL AJUALI00. ojotdsa [op 95eq eun 10 "(1 T0'1-3U0'1"2"1)3=8 oroedsoqus o vsopisuoo os ¿QUE ou nu 19p 9suq bun aujpey A (9) Yy ap ¡p1101904 otoedsaqns un sa y 409 uEjnuuoo Lo anb (4) ap saormeu ap ojunfuioo 1a onb 109014 ( : Jev zan y opio as 5 1d onb aus as (1) 7=A 1S (p) Opegi] so «y vurajsts jo “u=d A AR(D718 (0) A 3p 10pesouia8 euuajsis un so 4 oyunfuoo ja “uzd 15 (q) Opy31] sa ojunfuoo ja “u>d 15 (4) SUONEl CASICA CLA LA) AU UDISUALp 3p [eLsoj00n OJordso un A 299 9 ¿9D Ouro vuioyss UN UBULIO] ¿Y DANA SOJOJO9A 501 vJoIbsajen) (0) TU! soouojua CELo Una Ugativia os tnzeln=ta plazo amb ju so gen “a sn á LHld=A IS Cp SIN I>ECAM> DUI) DS SIDUOUI “ALA UOD * ¿USA mn uvas “E A AP soJeraojo9a sotoedsaqns PRIUS ROI Á Edel 9 UA soonoyu0 “A, ap sojordsaqus os, 24 Á 14 15 2 ; 4 A 33 Pp IeHo1o0a ojordsogns un sa ¿ “A fetiojoda oJoedso un ap orutifuvaqos mm so 4 18 + :OS]EJ O OJ0PrpiaA “0€ “9stq BUN $9 S9J0J99A AP OU OJUNÍUOO OpO,, (p) So10pusauod op vtuas1s so amb out ojunfuoo un Avg (9) 59Seq 9p ONU OJotumu un ojsixg (q) 52101934 ap OJJUL] OzOUINU UN 0jsIXg (v) OU) UQISUAHP ap [v1101094 Otordso un ug (p) “owtad OJoctIpar un so 0 ¿21 ap UQISUatuIp e] onbiod ¡pp1oj904 otoedsa tn sa ou s(p) $01 UQIStIatuIp op qoploj99a oroedsa un sa y (9). OuN U9ISUatuIp 9p jeuojo9A otoedse un so g (q) ,U ap “was so ou s (e) JPOIHOA 98 "(Q=X ROD IX, S(PYEX'DEIx))=-g noprouoo os IO) 0 (p) s (2) £ (a) 1 (2) 159 Sw vozotayad ¿01994 2359 91D 29211 9D x ap Joea [a “(x'S'7'[-) s0139A [a opeg WTO DUTZP)))7=8 vropisuos as 9 ug (2) (19 DA 2 a (CLIO) (9) f0=be bx: (ut LO=Ix: ¿ar a(txex (O=tx tela: y (exce x))=S (0) Segundo parcial de Álgebra y Matemáticas Discretas 28 de abril de 2008 N5 L. a) Aplicar el algoritmo de euclides para calcular el máximo común divisor de 132 y 300. b) Encontrar los valores a: y 4 que cumplen la relación de Bezout 1320: + 3008 = d, donde d = m.c.d(132, 300). c) Resolver la ecuación diofántica 1322 + 300y = 36 d) Calcular el menor valor de x positivo que resuelve la anterior ecuación. 2. Sea el grafo de la siguiente figura 1 Figura 1: Grafo del ejercicio 2.) a) Representar el grafo empleando los formatos L2QUE y la matriz de adya- cencia. b) Aplicar el algoritmo de Dijkstra par calcular el camino mínimo para ir desde el nodo 1 al nodo 7. Álgebra y M. Discretas. 1? Parcial. 28/01/02. Grupos 20 (1? A) y 22 (1%B) (1) 1. Relaciona los conceptos partición y conjunto cociente. (2pto.) 2. Demuestra por inducción que para cada natural n, |sennx| < n|senx| Vx e R. (Nota: sen (A+B)=serAcosB + cosAsenB) (2pto.) 3. a) Demuestra que un homomorfismo de grupos es inyectivo si y sólo si su núcleo se reduce al neutro del grupo inicial. b) Demuestra que si el orden del elemento a de un grupo finito (G,+) es k, entonces m € Y verifica a”=e si y sólo si m es múltiplo de h. Cc) Sea (G,+) un grupo en el que existe un elemento a tal que G=. Demuestra que si G es infinito, es isomorfo al grupo aditivo (Z, +) de los enteros. d) Sea (G,») un grupo en el que existe un elemento a tal que G=. Demuestra que si G es finito de n elementos, es isomorfo a (Z,, 0). (Nota: En la resolución de los apartados c) y d) pueden utilizarse los resultados de a) y b)) (4 pto.) 4. Utilizar el teorema Chino del resto para encontrar el menor entero positivo que al dividirlo por 5 da de resto 2; al dividir su doble por 7 da de resto 1 y al dividir su triple por 11 da de resto 4. (2 pto.) Escribir el nombre en tocos los folios e indicar el grupo Tiempo: tres horas y cuarto No usar calculadora No escribir con lápiz ÁLGEBRA Y MATEMÁTICAS DISCRETAS. Exámen final. Junio de 2000 ING. TÉCNICAS INFORMÁTICA SISTEMAS Y GESTIÓN 1. a) Enuncia y demuestra el Principio de Inducción. (1 pto) b) Demuestra por inducción H, + 27 + 31 (0.5 plo) E a “an amn 2. Indica de cuántas formas se pueden colorear once pelotas de golf con cinco colores. Da una breve explicación. (1 pto). 3. Sea (G,+) un grupo y a e G. Se considera el conjunto < a >= La” : n e Z). a) Comprueba que < a > es un subgrupo de G. (0,5 pto) b) ¿Todos los elementos de < «a > han de ser distintos?. Introduce el concepto orden del elemento a. Si o(a)=h, ¿quién es explícitamente ?. (0,5 pto) Cc) Obtener el orden de los elementos [2] y [3] del grupo aditivo (Zs,+) y los subgrupos generados por dichos elementos. — (0,5 pto). 4. Encuentra las soluciones enteras positivas de la ecuación diofántica S0x +20y= 430. (1 pto) 5. a) Ecuaciones de un subespacio vectorial de un espacio vectorial V de dimensión finita. (1 pto) b) Obtener de forma razonada unas ecuaciones paramétricas y unas implícitas del subespacio vectorial de R* generado por los vectores (1,2,1), (0,0,1), (1,21). — (1 pto). 6. Se considera la aplicación lineal f : R3 + R? dada por: Kux213)) = (01 +212, 02,4%: — da + 3x3) a) Escribir fen forma matricial. (0,5 pto) b) Hallar la imágen y el núcleo de f Clasificar f. (0,5 pto) c) En general, ¿qué significa que un endomorfismo sea diagonalizable?. Justifica si el endomorfismo f anterior es o no diagonalizable. (0,5 pto). 7. a) Representa un grafo cuya matriz de adyacencia es . (0,5 pto) 0000 oooo- fl Sie a a oo-oo orooo X b) Optimización en grafos pesados. Explica para qué se utilizan y cómo se realizan los algoritmos Árbol de expansión mínimo y DIJKSTRA. (1 pto) 1 m eS Esad SEGUNDO PARCIAL DE ÁLGEBRA Y M. DISCRETAS. Junio de2000. 1%B Y 1*C. a) Enuncia el criterio de irreducibilidad de Eisenstein sobre polinomios. Utilizalo para probar que la ecuación 30x" = 91 no tiene raíces racionales para ningún n>1. (1 pto) b) Estudiar las raíces racionales de P =2x* — 3x + 1. (0,5 pto) Una matriz A cuadrada se dice idempotente cuando verifica 4? = A. a) Demuestra que una matriz idempotente distinta de la matriz unidad no puede ser regular. (0,5 pto) b) Probar que si A es idempotente, también lo es B =J-— 4 y que AB = BA =Ú. (0,5 plo) aL Se considera la matriz 4 = ( ) Probar que el conjunto de matrices de Ma(R) 1 que conmutan con A es un subespacio vectorial de M,(R) y hallar una base del mismo. (1 pto) Se consideran los subespacios vectoriales F y G de R*, donde F es el subespacio generado por los vectores (1,-1,0), (2,0,-1), (1,1,-1) y G=4(x1,x2,x3) € R3 3x1 +x2 = 0). a) Obtener de forma razonada unas ecuaciones paramétricas y unas implícitas de F. (0,5pto) b) Hallar una base de FNG e interpretar geométricamente. (0,5 pto) 0) Hallar la dimensión de F+G. ¿Son F y G subespacios suplementarios?. (0,5 pto) Se considera la aplicación f : R* + R? dada por: Ae1,x2,13)) = (1 +2x2,=x2, 4x1 — 4x2 + 3x3). a) Probar que fes lineal. (0,5 pto) b) Escribir fen forma matricial. (0,5 pto) c) Hallar la imágen y el núcleo de f. Clasificar f. (0,5 pto) e) En general, ¿qué significa que un endomorfismo sea diagonalizable?. Justifica si el endomorfismo f anterior es o no diagonalizable. (+ pto) a) ¿Qué es un árbol de expansión de un grafo?. (0,5 pto) b) ¿Cómo se realiza la búsqueda dal árbol de expansión mínimo en un grafo pesado? (0,75 pto) c) Obtener un árbol de expansión mínimo en el grafo siguiente: (0,75 pto) (Se trataba de un grafo muy sencillo) d) Muestra un problema real que pudiera ser resuelto mediante un árbol de expansión mínimo en el grafo anterior. (0,5 pto) 1 Ad09138 Ed Pol ¿ase ap orquieo zin eun vas [eau] ugroeorde eun e eporoose zimvur ey onb jo u9 ose un8je sa00u07? “pl O1us1y1OwuOme O OUISIJJOUIdO “OtISIy10wuOUOta Zz e0 so [ez L Ol zimew op ¿a op Ousiuowopuo ¡9 e omaupaud [ap sosojua amb exed amosig “El La eL JaogIsero (Pp O Ty DO o 0) (¿DY (a LA A CA es =(010) 0z (01) 10d Ppruop CI Teo uproearide ep op jerome uprsoldxgg (e sopid og coa MN E ¡ + a is i APUOp “Y Á ¿Y “SOJUO1 SOJILOJOOA SOJOYASO SO] UIBJOPISUOO 9 “Z] (XEHXZ-D)] I9U9IQO '9+XQ+¿X8=0 “eso mbjeno oJtuoupod un op 09 4eur ey amppr pr Exc A E=C0y 2I=(1)y 10d opup ([xJeppuzray A [x]tay pennojo9a oroudsa Ja exoprsuoo ag “11 sore juoura¡dns 10s soson1aJue sotordsaqus sop so] anb seqo1duoo (p sojsondo Sns 19 UIBUnIOJSUY as anb sa10199A SO] U09 UIIPT. (o “ost PUN 1909190) “OUN UDISUOMAP Ap [dnio09A otoudsoqns un uos sotustux 39 ua ueunojsuen as anb soxojo9n soy onb 1eq014 (q "BOJUQUEO 2SVA Y] UO J SP SaUO LON (Y aprd as (DOY (1-19 =((1'DY 2D 1er ¿ OtUSIyJOtuOpua [a auan 95 ¿ay JeLIo190n ooudsa ja ug “01 "9 9p A 1 DP SOJO]BA 50] UNÍAS SOJABOJISU]D “to4taq+la=(“9)y to4ta4la=(29)y toploptlar=(ta)y 10d SOPIUEJAP ¿E DP SOLUISIJIOLUIOPU SO Á (£9'“0'la)=g1 aSeq *] P19PISUOO 95 ¿UAG y9= £ B4y “8 y op someta se] seppery CALA (ex TzE+ AG) (7 AX) 10d ¿Y U0 ¿Y 9P SEPIUIJOP SOJeour] souororonde 3 y uvas "8 (DAD) A (TD WT7DO0Z)=a Soseq sel ua y ap zLneJaL (o Jopoopan (a RO copadas (oz Apx)=((2£%)p 10d epep ¿2 Y 120 ugtovor¡de ey epegL y 9p uageun oroedsaqns jap sauoroenog (q 'Sromoueo sasrq sranoadsar se ap o102dso1] e apeiose zeneja (e :apid og COLO) ITD=(S DY amb yes pea] uorovoride sun Y y 19S 9 y 199 9p 9Stq tun Á UOISUAUIP Á y Su] op ostq eun Á UQISUawuIp ape XENA ExqIX=A IxglxIA 10d OPIU1JOP ¿Al 9 OLISIJIOUIOPUO Ja OPPT*S “oaJonu pop EI Y 4(1D=Co 0d) (1 D=((0 01) 10d eprurjap ¿MM :J ¡eau ugrotor]de e] pe "y asp pun amp Ay aeomisejo “(CO 11) repre Suoromaride mporp ap 2LnRur hy ampmojeo ops (ETO A (8'L""1) S910109A SO] 9 SOUIBPUN Se] 1eJJe (o [proper euro] uo eprquosa (q feo] so onb 1eqosg (e capId os (6 y2x lx) ((ECTXIX)) 10d UPTUIJO “UA Y UOEOROp¡de 1] WpU “€ ; 4 , “ * sOTUSPUI SO[ 9P UQISUAMIP Y] Á 9Stq tun O1uO0 jse ua8era] 2 OAJ9NN Soroedsaqus so] Jeuruualop “sopor uvas om Jorayue otorozofo fop souoroworide se] esta “z -,dydz=(d)y 10d epep Pera DIA 3001 (OT) (ETA) Y 0d pep a a (6 (ex Ixe) (Exc) 10d Eprunop MES (R (xi) 10d apro EAS xxl) 10d rpg EA (O 9=094 10d eprugop aa (s A ES e E TAX ALA) 10d apro) EA (E (5951) 10d Ppruyap ¿E AI (E (0 P0=((£x))y 10d epruyap a S ( :S0nO1DR01de SOJUSIMÍIS SU] SOJBOUI] LOS IS IENBLISAY “1 SATVINIT SINOIOVONTIV Seto qosg 0 SWIAWIOSIA SVOLLYNALVIA A VUHHDTY S7 No 75 'Ad091938 v a 0.0 zz, AS AS A CRE E CS crlloezr, jor ttlosree Po . LzZz, 1. 8. Estudiar la reducibilidad enQ/x] de los siguientes polinomios: 37%, Srs, ez, AxES, +3, x-1, Do, 43 ++ 6x4, AS 2S, 6x1 1x8. 9. Estudiar la reducibilidad en Z [x], O [x], R [x] y en C[x] del polinomio x%-1. 10. Estudiar la ireducibilidad de xP +1 y 3 +x+2 en Z[x] y A[x]. 11. Descomponer en R [x] el polinomio So, 12. Probar que el polinomio x+x+1 es irreducible en Mx] y en Q[x], comprobando que es irreducible en Z;, p primo. 13. Hallar el resto de la división del polinomio P por (x?+1)(x+1), sabiendo que al dividir P por x2+1 el resto es 2x+3 y al dividirlo por x+1, el resto es 4. 14. Descomponer en suma de fracciones simples de R(x): x+1 20-50 +10x-4 3x4 3 4x2 4x 42" xó 4x0 +8x* -16x +16" x+2x?-x x?+3 x 4 xx? pta) 4)" pó +4)0é +2)" REALCOPY, s1 Problemas Aritmética entera y modular 1. Usar el algoritmo de Euclides para hallar d = mcd(a, b) y a,B € Ztales que d= aa+ Bb en los casos siguientes: a=1312, b=800; a=322, b=406; a=688, b=2000 2. Hallar los inversos de : [13] en Za; y Zs: [4] y [12] en Zig. 3. ¿Son primos los siguientes números ?: 601, 607, 79, 47, 61, 69, 341. 4. Hallar los restos de dividir 2015291 por 7, 317% por 5 y 156% por 601. 5. Hallar todas las soluciones enteras de : a) 28x+38y=44 b) 66x+550y=88 6. El precio de la entrada de un espectáculo es 20 euros para un adulto y 12 para un niño. Si una persona comprara entradas por valor de 640 euros, ¿cuántas entradas de Cada clase podría adquirir, sabiendo que hay más adultos que niños? 7. Hallar las soluciones enteras de la ecuación 525x+100y=50. ¿Pueden ser x e y las dos positivas? ¿Y las dos negativas?. 8. Resolver a) r=13(mod91) b) 2x=6(mod 10) Cc) 3x= l(mod19) 9. Hallar el indicador p(») de Euler, para m=12, 15 y 23. Bk+ (2) = [1] 10. Resolver en Zsel sistema: Rh: + y = [3] 11. Encontrar el menor número que dividido por 3 da de resto1; dividido por 5 da de resto 2 y dividido por 7 da de resto 3. 1 KK REALCOPY, 51 ÁLGEBRA Y MATEMÁTICAS DISCRETAS.- ... PROBLEMAS “RELACIONES y APLICACIONES”. 1. Dar la gráfica de las siguientes relaciones: a) R=((1,2), 2,1) (3,3), (1,1), (2,2)) en A=(1,2,3) b) R=((1,2), (2,5), (3,4), (4,1)) en A=(1,2,3,4) 2. Escribir las relaciones siguientes como conjuntos de pares ordenados: a) b) a Ib [: <% «€ | a b c d Y Ze G G : Sr 3. En A=(1,2,3,4) se define la relación xRy <> x S y. Dar explícitamente R y su gráfica. ¿Qué propiedades verifica R2. 4. En A=(1,2,3,4,5) se define la relación xRy <> (x + y) € 6. Enumerar los elementos de R y de su inversa. (La inversa es R=((1):00:) ER)).¿Es R reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva?. ¿Es R de eqivalencia?. ¿Y de orden?. 5. Contestar a las mismas preguntas pero ahora para la relación en A: (y) ER O x= y -1. 6. Determinar si las relaciones en INI siguientes son reflexivas, simétricas, antisimétricas o transitivas: ahxRyS xy d) xRy > x=y b) xRy<> x>y e) xRy > x-y es múltiplo de 5. C)xRy > x2 y 7. Estudiar si la relación en N dada por: (x,y)€ R si y sólo si m.c.d.(x,y)=1 es reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva. Dar algunos elementos de R. 8. Sea A=(1,2,3,4,5). Decidir cuáles de las relaciones siguientes en A son de equivalencia, enumerando las clases de equivalencia correspondientes: a) (0,),0,2), 6,3), (44), (5,5), (1,5), G,1)) 5) ((1,1), 24,2), 6,3) (4,4), (5,5), (1,3), 6,D, ES 4), (4,3) 910,0,0,2), 6,5), (44), 6,5), (1,5), 5,1), 6,5), (5,3), d) ((x,y) € AxA:(x-y) es múltiplo de 4) e) (xy) € AxA:(x+y) es múltiplo de 3) 1) (y) € AxA:Q-y) es múltiplo de x). (0,3, 6,1) 9. Sean E=(1,2,3,4,5), X=(3,4) y C=(1,3). En f0(E) se define la relación: ARB<=> AU X=BUX. Probar que R es de equivalencia y determinar la clase [c]. 10, Proporciona un ejemplo de relación de equivalencia en A=(1,2,3,4,5,6) con exactamente cuatro clases de equivalencia, enumerando sus pares ordenados. 11. En INHiNÍ se define la relación: (a,b)R(c,d) >a+d=b+c. Prueba que R es de equivalencia Intuitivamente, ¿qué representan las clases de equivalencia?. P a? REALCOPY, 5.1 27. Sean A=(1,2,3), B=(a,b,c,d) y C=(w,x,y,z) y las aplicaciones =((1,b), (2,0), 2,8)), de A en B y 2= ((a.x), (b,x), (c,2), (d,w)), de B en C. Dar gof. Dada la aplicación f=((x,x7):x € A) de A=(-5,-4,....0,...4,5) en el conjunto Z de los números enteros, escribir f cómo conjunto de pares ordenados. ¿Es f inyectiva?, ¿y sobre?. 29. Si x es un entero no negativo y » es un entero positivo, se define x mod y como el resto de división de x por y. Se considera la aplicación f de A=(0,1,2,3,4) en A definida por £(9=4x mod 5. Escribir como pares ordenados. ¿Es f inyectiva?, ¿y sobre?. 30.Sean /:A>B y g:B > C. Demostrar: sa) Si g of es inyectiva, entonces ftambién lo es. b) Si g of es sobre, entonces g también lo es. c) Si 2 of es inyectiva y f sobre, entonces g es inyectiva. -. +9) Si f y gson biyectivas, entonces go f también es biyectiva. 31. Sean f,2:N —=R, siendo f(x)=x" y g(x)=2x-3. Hallar f, e, (gofy (log) fMoglyglo fl + 32. Estudiar inyectividad y sobreyectividad de a 8 x-2 1 F,8:M—M, dadas por J(x)= q y g()= ap Cuando f y g sean biyectivas, hallar sus inversas + > 33. Demostrar que la inversa de una aplicación biyectiva es única. HOJA DE PROBLEMAS. CONJUNTOS. Grupos C-D 1. Dados los conjuntos de números naturales Az= [£xeIN/x=2n,neIN] B:=(xeIN/ x-3n,nelN ) Ci (xelIN /x= 4n-1nelN] y D= (xelN / x4n+1 3 Hallar A MB, CUD, CAD, IN-A=A*, AM(CUD). 2. Sean los conjuntos A:= (xeIN / x=2n + 3m ,mnelN o alguno de ellos 0) y B:= (xelIN / 2 r a? REALCOPY, 5.