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GRAFOS

Primeras nociones sobre

1. Concepto de grafo.

Gráficamente, un grafo es una configuración de puntos del plano, llamados vértices , y líneas que los unen, llamadas aristas.

Si hay más de una arista entre dos vértices, el grafo se dice multigrafo. Si las aristas tienen una orientación, el grafo se dice dirigido o digrafo.

Grafo simple Multigrafo (^) Digrafo

Similarmente, un digrafo es un par (V,E), siendo como antes V y E conjuntos finitos, los vértices y las aristas, respectivamente; pero ahora las aristas son pares ordenados de elementos distintos de V.

a

d

b

c

V = { a, b, c, d } E = {( a, b ) , ( a, d ) , ( b, c ) , ( b, d ), ( c, a ), ( d, b )}

O, abreviadamente, E = { ab, ad, bc, bd , ca , db } → → → → → →

2. Algunos grafos característicos.

K4 K5 K

C4 (^) C

a) Los grafos completos Kn : contienen todas las aristas

b) Los ciclos Cn

C 3

K 4 K 5 K 6

C 4 C 5

01

01 000

001

010 011

100 101 110

111

Q2 Q

11

00

Los n-cubos Qn : Sus vértices son las secuencias de n bits. Dos

vértices son adyacentes si sus secuencias se diferencian en un bit exactamente.

110

(^00 )

(^1011)

Q 2

100

101

111

000

010

001

011

Q 3

3. Grado de un vértice.

En un grafo (no dirigido), el grado de un vértice es el número de aristas que en él confluyen.

gr( a ) = 3, gr( b ) = 2, gr( c ) = 1, gr( d ) = 2, gr( e ) = 2, gr( f ) = 3, gr( g ) = 1.

a d

b (^) c

e (^) f g

Teorema: La suma de los grados de todos los vértices es igual al doble del número de aristas.

4. Matriz de adyacencia.

a b c d a^0 0 1 b^1 0 0 c^0 1 0 d^1 1 0

a

d

b

c

Sea un grafo (o un digrafo) con n vértices v 1 , v 2 , ..., vn. La matriz

de adyacencia del grafo es la matriz cuadrada de orden n cuya entrada [ i,j ] es 1 si vjvi (o vjvi ) es una arista del grafo; y es 0 si

dicha arista no pertenece al grafo.

→

a d

c

e (^) f g

b

a b c d e f g a^0 1 0 1 1 0 b^1 0 0 0 0 1 c^0 0 0 0 0 0 d^1 0 0 0 0 1 e^1 0 0 0 0 1 f^0 1 0 1 1 0 g^0 0 1 0 0 0

Si el grafo es no dirigido, la matriz de adyacencia es simétrica; si es dirigido, no tiene porque serlo. Sumando las filas o columnas, obtenemos los grados de cada vértice.

Si el origen del camino coincide con el final, el camino se dice cerrado. En otro caso se dice abierto.

Un camino (abierto) se dice simple , si en la sucesión de vértices no se repite ninguno. Un circuito es un camino cerrado que no repite aristas. Un ciclo es un circuito con todos los vértices distintos, excepto el primero y el último.

2 1 3

4

5

Circuito: [12, 23, 34, 42, 25, 51] = [1, 2, 3, 4, 2, 5, 1] Ciclo: [12, 23, 34, 45, 51] = [1, 2, 3, 4, 5, 1].

Teorema: Sea un grafo (o un digrafo) con n vértices v 1 , v 2 , ..., vn y

matriz de adyacencia A. El número de caminos de longitud k del vértice vi al vértice vj es Ak [ j,i ].

a

d

b

c

a b c d a^1 1 1 b^3 2 2 c^2 2 1 d^3 3 2

A^5 :

¿Cuantos caminos de longitud 5 hay de d a c? ¿Cuántos caminos cerrados de longitud 5 pasan por a?

La relación “estar conectado” es una relación de equivalencia en el conjunto de vértices. En cada clase de equivalencia están todos los vértices conectados entre sí. Todas ellas constituyen una partición del conjunto de vértices.

El grafo inducido por cada clase de equivalencia se denomina componente conexa del grafo.

Un grafo se dice conexo si tiene una sola componente.

a d

c

e (^) f g

b a d

c

e (^) f g

b

Dos componentes (^) Grafo conexo

En un digrafo, dos vértices u y v están conectados si hay sendos caminos que nos llevan de u a v y de v a u.

De nuevo, esta relación “estar conectado” es de equivalencia. Ahora, el grafo inducido por cada clase de equivalencia se denomina componente fuertemente conexa del digrafo.

Un digrafo se dice fuertemente conexo si tiene una sola componente fuertemente conexa.

a

d

b

c

Este digrafo es fuertemente conexo.

Teorema: Un grafo conexo tiene un camino abierto euleriano si y sólo si todos sus vértices excepto dos tienen grado par. Y es euleriano si y sólo si todos sus vértices tienen grado par.

K

Camino euleriano

Grafo euleriano

No hay camino euleriano

En un grafo conexo, un camino se dice hamiltoniano si contiene todos sus vértices sin repetir ninguno.

Un grafo se dice hamiltoniano si contiene un ciclo hamiltoniano.

Grafo hamiltoniano

Camino hamiltoniano