Ingenier´
ıa Superior de Inform´
atica
´
Algebra y Matem´
aticas Discretas
– Manual completo de teor´
ıa –
Sergio Garc´
ıa Mondaray
www.YakiBoo.net
Escuela Superior de Inform´
atica de Ciudad Real
Universidad de Castilla-La Mancha
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Apuntes álgegra, Apuntes de Álgebra
Asignatura: Álgebra, Profesor: Manuel Funez Valdivia, Carrera: Ing. En informática, Universidad: UCLM
Tipo: Apuntes
2013/2014
1 / 67
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Ingenier´ıa Superior de Inform´atica
Algebra y Matem´^ ´ aticas Discretas
- Manual completo de teor´ıa – Sergio Garc´ıa Mondaray
www.YakiBoo.net
Escuela Superior de Inform´atica de Ciudad Real Universidad de Castilla-La Mancha
Este manual de teor´ıa corresponde con los apuntes tomados en las clases de ´Algebra y Matem´aticas Discretas del profesor Manuel F´unez, para la carrera de Ingenier´ıa Superior de Inform´atica. Adem´as son inclu´ıdos todos los ejercicios voluntarios resueltos.
Los apuntes originales fueron tomados por David Antonio P´erez Zaba. Yo, Sergio Garc´ıa Mondaray, los pas´e cuidadosamente a limpio y correg´ı peque˜nos errores, utilizando el lenguaje LaTeX, para mejorar la calidad de los mismos y facilitar su divulgaci´on a trav´es de internet.
Pido disculpas por posibles erratas, de las cuales me gustar´ıa que me notificarais para corre- girlas. Mi e-mail es [email protected]. Gracias de antemano.
Como siempre, espero que os resulte ´util.
- I Matem´atica discreta
- Teor´ıa de Conjuntos
- 1.1. Fundamentos de la l´ogica matem´atica
- 1.1.1. L´ogica proposicional
- 1.1.2. La demostraci´on. Sistemas axiom´aticos
- 1.1.3. L´ogica de predicados. Cuantificadores
- 1.2. Conjuntos y subconjuntos
- 1.2.1. Formas de definir un conjunto
- 1.2.2. Inclusi´on, no inclusi´on, contenido estricto y subconjuntos impropios
- 1.3. Operaciones con conjuntos
- 1.3.1. Uni´on de conjuntos
- 1.3.2. Intersecci´on de conjuntos
- 1.3.3. Conjunto complementario
- 1.3.4. Diferencia de conjuntos
- 1.3.5. Diferencia sim´etrica
- 1.4. Partici´on de un conjunto
- 1.5. Algebra de partes de un conjunto ( ´´ Algebra de Boole)
- 1.5.1. Algebra de Boole .´
- 1.5.2. Sub´algebras del ´algebra de Boole
- 1.6. Producto cartesiano
- 1.6.1. Representaci´on gr´afica del producto cartesiano
- 1.6.2. Producto cartesiano de n conjuntos
- 1.6.3. Propiedades del producto cartesiano
- 1.7. Ejercicios resueltos
- Relaciones y aplicaciones
- 2.1. Correspondencias
- 2.1.1. Formas de definir una correspondencia
- 2.1.2. Representaci´on de una correspondencia
- 2.1.3. Conjuntos que intervienen en una correspondencia
- 2.1.4. Composici´on de correspondencias. Correspondencia inversa
- 2.2. Relaciones binarias
- 2.2.1. Relaciones de equivalencia
- 2.2.2. Relaciones de orden
- 2.3. Aplicaciones
- Combinatoria b´asica
- 3.1. Principios b´asicos de conteo
- 3.2. Permutaciones
- 3.3. Variaciones
- 3.4. Combinaciones
- 3.5. N´umeros de Stirling de segunda especie
- Aritm´etica modular
- 4.1. N´umeros enteros y compuestos
- 4.2. Divisi´on eucl´ıdea en Z
- 4.3. M´aximo com´un divisor y m´ınimo com´un m´ultiplo
- 4.4. Algoritmo de Euclides
- 4.4.1. Teorema de Bezout
- 4.5. Ecuaciones diof´anticas
- 4.6. Congruencias
- Teor´ıa de Grafos
- 5.1. Grafos, digrafos y multigrafos
- 5.2. Representaci´on de grafos
- 5.3. Caminos, ciclos y grafos conexos
- 5.4. Grafos eulerianos y hamiltonianos
- 5.5. Optimizaci´on de grafos
- II Algebra´
- Teor´ıa de Grupos
- 6.1. Leyes de composici´on
- 6.1.1. Estructura algebraica
- 6.2. Grupos
- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
- 7.1. Matrices
- 7.2. Determinante de una matriz cuadrada
- 7.3. Inversa de una matriz cuadrada
- 7.4. Rango de una matriz
- 7.5. Sistemas de ecuaciones lineales
- 7.5.1. Teorema de Rouch´e-Fr¨obenius
- 7.6. Resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales
- Espacios vectoriales
- 8.1. Espacios vectoriales
- 8.2. Dependencia e independencia lineal
- 8.3. Sistemas generadores
- 8.3.1. Bases
- 8.4. Cambio de base
- 8.5. Subespacios vectoriales
- 8.6. Aplicaciones lineales
- 8.7. Diagonalizaci´on de un endomorfismo
Parte I
Matem´atica discreta
Parte I - Matem´atica discreta
Cuando en una misma f´ormula l´ogica intervienen conectivos de diferente tipo, debemos tener en cuenta la siguiente jerarqu´ıa, en orden creciente de relevancia: (¬) < (∧, ∨) < (→, ↔). Para distinguir el conectivo principal en una proposici´on en la que intervienen varios del mismo nivel, es necesario el uso de par´entesis. Por ejemplo: P ≡ p ∧ (q ∨ r) es una conjunci´on, mientras que Q ≡ (p ∧ q) ∨ r es una disyunci´on. Por otro lado, la expresi´on p ∧ q ∨ r estar´ıa mal formada, puesto que resulta ambig¨ua.
Ejemplo 1.1 En las siguientes proposiciones l´ogicas compuestas bien formadas, se ha resaltado el conectivo principal:
- ¬p ∧ q → r ∨ ¬s • ¬(p ∨ q) ∧ s → t ∨ ¬q
- (p ∧ q) ∨ s ↔ s ∧ t • ¬p ∨ (s ∧ (¬t ∨ q))
Ejemplo 1.2 Realizar la tabla de verdad de p ∧ q → ¬r ∨ q. Tenemos que estudiar el valor de verdad de la f´ormula para todas las combinaciones de valores de verdad de sus variables. Para ello descomponemos la f´ormula en subf´ormulas y evaluamos ´estas primero. El n´umero de casos (filas de la tabla) es 23 = 8.
p q r ¬r p ∧ q ¬r ∨ q p ∧ q → ¬r ∨ q 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1
Una tautolog´ıa es una proposici´on l´ogica siempre verdadera (v´ease el ejemplo 1.2). Lo que se traduce en que la f´ormula l´ogica correspondiente siempre se eval´ua como 1 en su tabla de verdad. Las f´ormulas condicionales (→) que son tautolog´ıas se llaman implicaciones, y se representan con el s´ımbolo ⇒. Las f´ormulas bicondicionales (↔) que son tautolog´ıas se denominan equivalencias l´ogicas^1 , y se representan con ⇔ o´ ≡.
Una contradicci´on es una f´ormula l´ogica siempre falsa, es decir, la que en su tabla de verdad todos los valores son F o 0. Negando una tautolog´ıa siempre se obtiene una contradicci´on, y viceversa.
Una contingencia es una f´ormula l´ogica que en algunas ocasiones es verdadera y en otras falsa, dependiendo de los valores de verdad que toman las variables l´ogicas de la f´ormula.
Algunas implicaciones son:
Adici´on: p ⇒ p ∨ q
Simplificaci´on: p ∧ q ⇒ p (^1) Dos f´ormulas son l´ogicamente equivalentes si sus valores de verdad son los mismos para todos los casos, es decir, si tienen la misma tabla de verdad.
Teor´ıa de Conjuntos
Modus Ponens: (p → q) ∧ p ⇒ q Modus Tollens: (p → q) ∧ ¬q ⇒ ¬p
Silogismo disyuntivo: (p ∨ q) ∧ ¬p ⇒ q Transitividad del condicional: (p → q) ∧ (q → r) ⇒ p → r
Dilemas constructivos: (p → q) ∧ (r → s) ⇒ p ∧ r → q ∧ s; (p → q) ∧ (r → s) ⇒ p ∨ r → q ∨ s
Algunas equivalencias son las siguientes:
Idempotentes: p ∨ p ⇔ p; p ∧ p ⇔ p Doble negaci´on: ¬(¬p) ⇔ p
De Morgan: ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q; ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q Contrapositiva: (p → q) ⇔ (¬q → ¬p)
Conmutativas: (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p); (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) Asociativas: p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r; p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
Distributivas: p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r); p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Ejemplo 1.3 Demostrar que las f´ormulas ¬(p ∨ q) y ¬p ∧ ¬q son equivalentes ( 1 a^ ley de Morgan). Esto se traduce en demostrar que la f´ormula ¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q es una tautolog´ıa (siempre verdadera):
p q p ∨ q ¬(p ∨ q) ¬p ¬q ¬p ∧ ¬q ¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1
1.1.2. La demostraci´on. Sistemas axiom´aticos
Definici´on 1.1 (Inferencia l´ogica) Se llama inferencia l´ogica al proceso mediante el que, partiendo de un n´umero finito de proposiciones l´ogicas llamadas premisas, se obtiene otra proposici´on l´ogica, la conclusi´on, utilizando las tautolog´ıas y reglas de inferencia.
P 1 P 2 ... Pn
⇒^ C
Reglas de inferencia
- Ley de la uni´on (o conjunci´on): Si se tiene com premisas P y en otro paso de inferencia, la premisa Q, entonces se puede concluir como nueva premisa la conjunci´on P ∧ Q.
Teor´ıa de Conjuntos
Figura 1.1: Funci´on f = |x|
Ejemplo 1.7 Ultima conjetura de Fermat (hoy en d´´ ıa es un teorema, puesto que fue demostrada): “La ecuaci´on xn^ + yn^ = zn, con n, x, y, z ∈ N y n > 2 , no tiene soluciones enteras”.
- Para el caso en que n = 1, la ecuaci´on si tiene soluciones enteras, y resulta trivial, puesto que se trata de descomponer un n´umero entero como suma de otros 2.
- Cuando n = 2, nos encontramos ante el teorema de pit´agoras para tri´angulos rect´angulos, y las soluciones enteras para x^2 + y^2 = z^2 son lo que se conoce como ternas pitag´oricas. Por ejemplo: (6, 8 , 10).
Formas de enunciar un teorema matem´atico
- Teorema directo: H ⇒ T
- Teorema rec´ıproco: T ⇒ H
- Teorema contradirecto: ¬H ⇒ ¬T
- Teorema contrarrec´ıproco: ¬T ⇒ ¬H
Ejemplo 1.8 Enunciemos el Teorema de Bolzano de las cuatro formas estudiadas:
- T. Directo: Si f : [a, b] ∈ R → R es una f.r.v.r.^3 definida y continua en [a, b] y f (a) · f (b) < 0 , entonces ∃c ∈]a, b[ / f (c) = 0.
- T. Contrarrec´ıproco: ∀x ∈]a, b[ / f (x) 6 = 0 ⇒ f no es continua o sig f (a) = sig f (b).
- T. Rec´ıproco: Sea f : [a, b] ∈ R → R una f.r.v.r. definida en [a, b]. Si ∃c ∈]a, b[ / f (c) = 0, entonces f es continua y f (a) · f (b) < 0. Este teorema es falso, y para demostrarlo basta encontrar un contraejemplo, por ejemplo f = |x| (ver Figura 1.1).
- T. Contradirecto: No tiene sentido, puesto que es equivalente al teorema rec´ıproco y hemos comprobado que es falso (no es un teorema).
(^3) Funci´on real de variable real
Parte I - Matem´atica discreta
Definiciones y teoremas de caracterizaci´on
Una definici´on se utiliza para introducir conceptos de caracter matem´atico. La estructura l´ogi- ca de una definici´on es una equivalencia l´ogica. Los tipos de definiciones son los siguientes:
Definici´on intuitiva: Consiste en introducir el concepto matem´atico mediante sin´onimos.
Definici´on axiom´atica: Consiste en emplear propiedades o axiomas caracter´ısticos del con- cepto a definir.
Los teoremas de caracterizaci´on son equivalencias l´ogicas, de la forma H ⇔ T. Se utilizan para dar otras definiciones equivalentes de conceptos matem´aticos.
M´etodos de demostraci´on matem´atica
Demostraci´on directa (H ⇒ T ): consiste en obtener T a partir de H, junto con definiciones, resultados demostrados previamente y reglas de inferencia. H es la llamada condici´on sufi- ciente de T , y T la condici´on necesaria de H.
Demostraci´on indirecta (Reducci´on al absurdo):
- Por contrapositiva: se basa en la tautolog´ıa contrapositiva, (H → T ) ≡ (¬T → ¬H). Consiste en introducir como nueva premisa la negaci´on de la t´esis y, aplicando reglas de inferencia y utilizando resultados previos, llegar a la negaci´on de la hip´otesis: ¬T ⇒ ¬H 1 ∨ ¬H 2 ∨ ... ∨ ¬Hn.
- Por contradicci´on: consiste en introducir como premisa auxiliar la negaci´on de la t´esis y, partiendo de las hip´otesis y utilizando las reglas de inferencia y resultados anteriores, llegar a una contradicci´on (como A ∧ ¬A).
Demostraci´on condicional: Se emplea s´olo cuando la tesis T es una expresi´on condicional (del tipo p → q). Se basa en la tautolog´ıa condicional, Q ⇒ (P → Q), y consiste en introducir como premisa auxiliar el antecedente de la tesis condicional, y tratar de deducir (utilizando las reglas de inferencia y resultados previos) el consecuente.
Demostraci´on por inducci´on completa (sobre N): Se hace uso del principio de inducci´on completa (ver Teorema 1.1) para probar expresiones del tipo P (n), donde intervienen n´umeros naturales, y se basa en que el conjunto (N, ≤) es un conjunto bien ordenado^4. Cuando se trata de demostrar la validez de una expresi´on de este tipo para cada n ∈ N, la metodolog´ıa consiste en demostrar la validez de la expresi´on para un primer caso; a continuaci´on se supone la validez de la misma para un caso general (n = k) y con ella, se comprueba para el siguiente (n = k + 1). Estos pasos dan cuenta de una infinidad de casos, constat´andose as´ı la veracidad de P (n) sea cual sea el n que intervenga.
Ejemplo 1.9 Demostrar de forma directa que la suma de 2 n´umeros naturales impares da como resultado un n´umero par. Para empezar recordamos que n ∈ N es par ⇔ n = 2k, ∀k ∈ N, an´alogamente, m ∈ N es impar ⇔ m = 2k + 1, ∀k ∈ N. La demostraci´on es sencilla: Sean p = 2k + 1, q = 2k′^ + 1 ⇒ p + q = 2(k + k′) + 2 = 2(k + k′^ + 1), que es un n´umero par.
(^4) V´ease Relaciones de orden, secci´on
Parte I - Matem´atica discreta
Ejemplo 1.14 Demostrar por inducci´on que ∀n ∈ N : P (n) ≡ 1 + 2 + ... + n = n(n + 1) 2
- Paso base: P (1) = 1 =
(V)
- Hip´otesis de inducci´on: Suponemos que se cumple 1 + 2 + ... + n = n(n + 1) 2
- Demostramos que P (n + 1) es V:
1 + 2 + ... + n + (n + 1), por la H.I., es igual a
n(n + 1) 2
- (n + 1) = n(n + 1) + 2(n + 1) = (n + 1)(n + 2) 2
(C.Q.D.)
Ejemplo 1.15 Demostrar por inducci´on que ∀n ∈ N : P (n) ≡ 1 + 3 + 5+ ( ...n) +2n − 1 = n^2.
- Paso base: Comprobamos que P (1) es verdadera: P (1) = 1^2 = 1 (V)
- Hip´otesis de inducci´on: Suponemos que se cumple 1 + 3+ ( ...n) +2n − 1 = n^2
- Demostramos que P (n + 1) es verdadera:
1 + 3+ (n ...+1) +2n − 1 + 2(n + 1) − 1 H.I. = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2 (C.Q.D.)
Ejemplo 1.16 Demostrar por inducci´on que ∀n ∈ N : P (n) ≡ (1+2+...+n)^2 = 1^3 +2^3 +...+n^3.
- Paso base: P (1) ≡ 12 = 1^3 (V)
- Hip´otesis de inducci´on: Suponemos (1 + 2 + ... + n)^2 = 1^3 + 2^3 + ... + n^3
- Demostramos que P (n + 1) es verdadera:
(1 + 2 +︸ ︷︷ ... + n︸ a
+(n + 1) ︸ ︷︷ ︸ b
)^2 = (1 + 2 + ... + n)^2 + (n + 1)^2 + 2(1 + 2 + ... + n)(n + 1) =
H.I. = (1 (^3) + 2 (^3) + ... + n (^3) ) + (n + 1) (^2) + ^2
n(n + 1) ︸ ︷︷^2 ︸ Ejem. 1.
(n + 1) = (1^3 + 2^3 + ... + n^3 ) + (n + 1)^3 =
= 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n + 1)^3 (C.Q.D.)
Ejemplo 1.17 Demostrar por inducci´on que ∀n ∈ N ∧ 0 ≤ x ≤ 2 n: P (n) ≡ |sin(nx)| ≤ n · |sin(x)|.
- Paso base: P (1) ≡ | sin(x)| ≤ | sin(x)| (V)
- Hip´otesis de inducci´on: Suponemos que | sin(nx)| ≤ n| sin(x)|
Teor´ıa de Conjuntos
- Demostramos P (n + 1) ≡ | sin((n + 1)x)| ≤ (n + 1)| sin(x)|
| sin((n + 1)x)| = | sin(nx + x)| ∗ =^1 | sin(nx) cos(x) + cos(nx) sin(x)|
∗ 2 ≤
∗ 2 ≤ | sin(nx) cos(x)| + | cos(nx) sin(x)|
∗ 3 ≤ | sin(nx)| · | cos(x)| + | cos(nx)| · | sin(x)|
∗ 4 ≤ ∗ 4 ≤ | sin(nx)| · 1 + 1 · | sin(x)|
H.I. ≤ n| sin(x)| + | sin(x)| = (n + 1)| sin(x)| (C.Q.D.)
∗ 1 ) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) ∗ 2 ) ∀a, b ∈ R : |a + b| ≤ |a| + |b| ∗ 3 ) ∀a, b ∈ R : |a · b| ≤ |a| · |b| ∗ 4 ) ∀x ∈ R : | cos(x)| ≤ 1
1.1.3. L´ogica de predicados. Cuantificadores
Definici´on 1.4 (Proposici´on) Se llama proposici´on de n variables a cualquier expresi´on con n variables x 1 , x 2 , ..., xn de manera que al sustituir las n variables por elementos de un con- junto referencial E, se transforma en una proposici´on l´ogica.
Ejemplo 1.18 Una proposici´on de 2 variables es p(x, y) =“x es menor que y”.
Definici´on 1.5 (Funci´on proposicional) Se llama funci´on proposicional de n variables x 1 , x 2 , ..., xn a cualquier aplicaci´on definida en el n-producto 6 En^ = E × E× ( ...n) ×E y que tome valores en el conjunto de todas las proposiciones l´ogicas, L.
Ejemplo 1.19 Algunas funciones proposicionales son las siguientes:
p : Z^2 −→ L (x, y) −→ p(x, y) =“x + y = 5”.
p : R^2 −→ L (x, y) −→ q(x, y) =“x > y”.
p : R^3 −→ L (x, y, z) −→ r(x, y, z) =“x + y > z”.
El objetivo principal del c´alculo de predicados (l´ogica de predicados) es hallar los valores de verdad de las funciones proposicionales y representar dichos valores de verdad utilizando cuan- tificadores.
Teor´ıa de Conjuntos
- ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, ∀z ∈ R : z < x + y ⇔ z − y < x (F)
Las variables que no est´an ligadas por cuantificadores se llaman variables libres, mientras que las que est´an ligadas por alg´un cuantificador se llaman variables acotadas.
1.2. Conjuntos y subconjuntos
Un conjunto es una reuni´on de objetos bien definidos y perfectamente diferenciados, de man- era que dado un objeto y un conjunto, se pueda asegurar si el objeto se encuentra o no en el conjunto.
Acostumbramos a designar los conjuntos mediante letras may´usculas (A, B, C...), usando letras min´usculas para referirnos a los objetos. Si un objeto a se encuentra en un conjunto A, diremos que a pertenece al mismo, y lo representaremos como a ∈ A.
Dos conjuntos A y B se dice que son conjuntos iguales cuando tienen los mismos elementos. El conjunto que no posee elementos se denomina conjunto vac´ıo, y se representa mediante ∅.
Llamamos cardinal de un conjunto finito A al n´umero de elementos que tiene, y lo represen- tamos como CardA o |A|.
1.2.1. Formas de definir un conjunto
A la hora de definir un conjunto existen dos alternativas:
Por extensi´on: Consiste en enumerar todos los elementos de que consta dicho conjunto. Por ejemplo: A = {a, e, i, o, u}. N´otese que cuando un conjunto tenga infinitos elementos, ser´a imposible definirlo por extensi´on.
Por comprensi´on: Consiste en definir el conjunto a trav´es de una propiedad que caracterice a todos sus elementos. Para el ejemplo anterior: A = {x / x es vocal}.
1.2.2. Inclusi´on, no inclusi´on, contenido estricto y subconjuntos impropios
Definici´on 1.6 (Inclusi´on) Sea E el referencial de las funciones proposicionales p(x) y q(x), las cuales definen a los conjuntos A y B:
A = {x ∈ E : p(x)}
B = {x ∈ E : q(x)} Se dice que A est´a contenido (o incluido) en B, o que A es un subconjunto de B, y se escribe A ⊆ B, cuando se verifica p(x) ⇒ q(x). M´as intuitivamente, A est´a contenido en B cuando todo elemento de A lo es tambi´en de B. La inclusi´on de conjuntos satisface las siguientes 4 propiedades:
- Propiedad reflexiva: A ⊆ A.
Parte I - Matem´atica discreta
- Propiedad antisim´etrica: A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇔ A = B.
- Propiedad transitiva: A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C.
- Conjunto vac´ıo como subconjunto: ∅ ∈ A, siendo A cualquier conjunto.
La expresi´on A * B indica que A no est´a contenido en B. Esto ocurrir´a cuando no todos los elementos de A pertenezcan tambi´en a B (puede haber algunos elementos comunes):
A * B ⇔ ∃x ∈ E : p(x) ∧ ¬q(x)
Definici´on 1.7 (Contenido estricto) Se dice que A est´a contenido estrictamente en B, y se escribe A ( B (o s´ımplemente A ⊂ B) cuando A ⊆ B pero A 6 = B. Existir´an entonces elementos de B que no pertenezcan a A.
Cualquier conjunto A tiene al menos dos subconcuntos, llamados subconjuntos impropios o triviales: el conjunto vac´ıo (∅), y el propio A. Al resto de subconjuntos de A se les llama subcon- juntos propios.
Ejemplo 1.23 Sea E = R^2 = R × R := {(x, y) : x, y ∈ R} y los conjuntos A y B, definidos de la siguiente manera: A := {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 1 } B := {(x, y) ∈ R^2 : |x + y| ≤ 1 ∧ |x − y| ≤ 1 }
a) Representar gr´aficamente A y B.
A es una circunferencia de radio 1. Recordemos que la ecuaci´on c´onica de una circunferen- cia era x^2 + y^2 = r^2 , siendo r es el radio.
La representaci´on de B no es tan inmediata:
- |x + y| ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ x + y ≤ 1 ⇔ −x − 1 ≤ y ≤ −x + 1
- |x − y| ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ x − y ≤ 1 ⇔ 1 ≥ −x + y ≥ − 1 ⇔ x + 1 ≥ y ≥ x − 1.
Por lo que B es un rombo de centro (0, 0) y lado
b) Probar que B ( A: Probar esto es equivalente a probar que B ⊆ A y, adem´as, B 6 = A, es decir:
B ⊆ A ⇔ ∀(x, y) ∈ R^2 : (x, y) ∈ B ⇒ (x, y) ∈ A
∃(x 0 , y 0 ) ∈ A / (x 0 , y 0 ) ∈/ B.
Para demostrar que B ⊆ A tomamos un punto cualquiera de B:
(x, y) ∈ B ⇔ |x + y| ≤ 1 ∧ |x − y| ≤ 1 ⇒ (x + y)^2 ≤ 12 ∧ (x − y)^2 ≤ 12 ⇒