ACOTADO 2, Apuntes de Ingeniería Agronómica

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Capítulo 4: Sistema de Planos Acotados. 123 5, PARALELISMO DE RECTAS Y PLANOS. 51. RECTAS PARALELAS. Si dos rectas son paralelas, tienen pendientes iguales y sus proyecciones también son paraletas. En consecuencia, sus intervalos son iguales y crece su graduación en el mismo sentido. Para comprobar esta situación de rectas paralelas, basta unir puntos de igual cota, si las rectas trazadas son paralelas las rectas también lo son; en caso contrario las rectas se cruzan. Figura 4.42 5,2, RECTA Y PLANO PARALELOS. Para que lo sean basta que la recta dada (1) lo sea a una cualquiera del plano (P). te pa E y 2 10 Figura 4.43 5.3. PLANOS PARALELOS. Figura 4.44. Autor: José M* Altemir Grasa. Expresión Gráfica. 124 Dos planos son paralelos cuando sus r.m.p. son paralelas, sus intervatos son iguales y la graduación crece en el mismo sentido. EJERCICIO. P Plano paralelo a una recta r y que contenga a otra recta dada s. Figura 4.45 a El plano solución será el formado por la recta dada s y una paralela a la r que corte a la recta s. 6. PERPENDICULARIDAD DE RECTAS Y PLANOS. 6.1, RECTAS PERPENDICULARES. Si dos rectas, r y s, son perpendiculares sus proyecciones también lo serán si, por lo menos, una de ellas es paralela al plano del dibuja como indica el TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES. Como estas perpendicualres se reducen, en ls) el caso general, a rectas horizontales, es P necesario analizar otra interrelación geométrica > para estudiar la perpendicularidad en el Sistema $ de Planos Acotados. —— Figura 4.46 Para ello, como muestra la figura 4.47, se traza una recta perpendicular a la dada que esté situada en un plano proyectante paralelo al de la recta inicial. Autor: José M” Altemir Grasa. Expresión Gráfica. La recta perpendicular a un piano es una recta (1) perpendicular a la 5.m.p. del plano. Por otra parts, el plano pemendieuiar a una recta es el que tiens su r.m.p. perpendicular a la recta dada. 3, PLANOS PERPENDICUALRES. mp + 1 La recta (t) es perpendicular al piano (P), cualquier plano del haz gue contenga a la recta tes perpendicular al plano (P). EJERCICIOS, 1.- Trazar el pleno Q que contenga a una recta dada r y sea perpendicular a un plana dado P. Y N Figura 4,50 Autor: José 44% Alem Grana. Capítulo 4: Sistema de Planos Acotados. 127 Por el punto de cota 7 de la recta r, se traza la recta t perpendicular al plano P. El plano Q solución es el formado por tas rectas r y t. 2.- Par un punto dado A trazar una recta s perpendicular a una dada r y que tenga pendiente p=0.5. 1 Y 6 ++ p? 19 19 A, ml 20 2 3 22 23 2 2 P Figura 4.51 pi Par el punto A se traza el plano P perpendicular a la recta r. Como toda recta contenida en el plana P es perpendicular a r, las dos soluciones son las rectas contenidas en el plano P, que pasan por el punto A y tienen pendiente p=0.5; Autor: José M* Alternir Grasa, Capitulo 4: Sistema de Planos Acotados. 129 Al girar el plano P alrededor de su traza e, el punto (A) describe una circunferencia de entro M y radio M(A) = Máa, cuyo plano es perpendicular a la chamela e. Sí A es la proyección del punto, el punto Aa abatido se encuentra sobre la perpendicular AM a la chamela. La distancia MIA), radio de la circunferencia de giro, se obtiene como la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene por catetos AM y la cota del punto (A) que se abate. Como pracedimiento se puede indicar que: para abatir un punto A de un plano sobre el plano dal dibujo se traza desde su proyección la perpendicular AM a la traza del plano O chamela. Sobre la horizontal del plano del punto se lleva un segmento igual a la cota del punto y se traza con centro M y radio M(A) el arco que contará a la perpendicular AM en dos puntos que son los posibles abatidos, según el plano gire hacia uno u otro lado. Algunas veces puede interesar abatir el punta sobre un plano horizontal paralelo a! del dibujo. En este caso, la chamela es la recta horizontal de intersección del plana dado con el de abatimiento y el segmento que se ileva sobre la horizontal del plano que pasa por el punto debe ser la diferencia entre la cota del punto y la del plano de abatimiento. ABATIMIENTO DE UNA RECTA DE UN PLANO. P ON A Ya Para abatir uns recta de un plano es l suficiente abatir dos cualesquiera de sus puntos. Sin embargo, se establece una relación de afinidad entre la proyección de la recta r y su Y posición abatida ra que facilita al proceso. Figura 4,54 La afinidad queda definida por sl eje, que es la chamela de abatimiento, y dos puntos afines obtenidos por el abatimiento previa de uno de sus puntos. La dirección de afinidad, que une los puntos afines es perpendicular al eje. Para obtener la recta ra abatida, como el punto C de corte con el eje es dable, se obtiene uniendo Ca con el previamente abatido Ag. Autor: José MP Altemár Grasa, Expresión Gráficé 130 7.3. ABATIMIENTO DE UNA FIGURA PLANA. DIRECCION AFINIDAD 1 de h Figura 4.55 _P% e K o E M Se abate el punto A por el procedimiento normal. La afinidad queda determinada por el EJE, que es la chamela de abatimiento, y la DIRECCION definida por los puntos A y Aa. Para obtener el abatido del punto 8, se pralonga el fado AB hasta que conta al ejo, punto N, y la recta abatida de AB es la NAa Sobre esa abatida estará el Ba abatido, en la dirección de afinidad desde la proyección E Para el punto C se procede de igual forma. Si el plano que se abate es vertical, vomo el que se muestra en la figura 4.56, basta trazar Por cada una de las proyecciones de los vérticas las perpendiculares a la traza y tomar sobre ellas las alturas o cotas respectivas, obteniéndose, en As, Ba y Ca los abatidos de los vértices y con ellos la figura abatida, Figura 4.56 A A(2) có) B Autor: José 14" Altemi Grasa. Expresión Gráfica. 132 La restitución de la circunferencia, como muestra la figura 4.59, es una elipse con el eje mayor, vértices A y B, paralelo a la chamela o aje de afinidad y el eje menor, vértices C y D, perpendicular. "4 37 2 3 e CHARNELA Figura 4.59 8, DISTANCIAS. 8.1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Para encontrar la distancia entre dos puntos 1 Go se abate el piano proyectante de la recta que los ho Ad — une. Para ello basta levantar por A y B - perpendiculares a la recta proyección y sobre ellas tomar las cotas correspondientes para tener Aa y Ba. AaBa es la verdadera distancia entre los puntos. AM Figura 4.60 También puede calcularse la distancia entre los puntos mediante la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene como catetos la proyección del segmento y el incremento de altura entre los puntos. Autor: Josó M* Altemir Grasa. Capitulo 4: Sistema de Planos Acotados. 133 3.2, DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. No. m a Sea el punto A y ta recta r. Para encontrar la distancia entre ambos se traza el plano P formado por el punto A y la recta r. El piano P se obtiene trazando por A una recta m paralela a r. Se abate el punto A y luego la recta m por afinidad, la recta ra es paralela a ma. La distancia buscada es la distancia entre Aa y ra. A(3) Figura 4.61 También puede resolverse este problema trazando por A el plano P perpendicualr a r, se halla la intersección del plana P y la recta r, y la distancia lA as la buscada. Figura 4.62 Autor: José M Altemt Grasa, Capitulo 4: Sistema de Planos Acotados. 135 . REPRESENTACION DI RRENOS 9.1. CURVAS DE NIVEL. Una de las aplicaciones del Sistema de Planos Acotados es la representación de terrenos, superficies sin ley geométrica determinada. Se' estudian 'epresentando sus intersecciones con planos horizontales tanto más próximos, cuanta mayor exactitud se requiera en la solución del problema concreto. Así se óbtienen las llamadas "curvas de nivel" Que se designan por sus cotas. Cada curva de nivel, o "línea de nivel" queda definida por su proyección sobre el plano del dibujo y por su cota respecto a este plano. Figura 4.65 Con los aparatos topográficos se toman tos datos de los diversos puritos del terreno en campo y en trabajo de gabinete se calculan las coordenadas y se represertan en planta con sus cotas o alturas referidos a un plano horizontal de cota O. Uniendo por curvas, los puntos de igual cota se obtienen las curvas de nivel. Se eligen, en general, puntos de cota entera, múltiplos de 5, o de 10 (10,20,30,etc.) y a este incremento Ue medida se llama equidistancia. 2 Un punto situado en una curva de nivel queda perfectamente determinado. Para hallar las cotas en puntos P sitgados entre dos curvas de nivel se treza| desde él una perpendicular a la curva de nivel inmediata que cortará en A y a la siguiente en B, El punto P se considera situado en AB y su cota será la que correspondería en fa rectá AB. Figura 4.66 Autor: José M* Altemk Grasa, ; Expresión Gréfica. 136 Y La LINEA DE MAXIMA PENDIENTE en un punto P se halla trazando en P el plano tangente a la superficie en dicho punto. La horizontal del plano en et punto P será tangente a la curva de nivel; la recta de m.p. del plano será norma! a la horizontal en P, o sea que la linea de m.p. de la 3 : superficie topográfica tiene su tangente perpendicular a la curva de nivel, o lo que es lo mismo, toda línea de máxima pendiente corta ortogonalmente a las curvas de nivel. De aquí se deduce que las líneas de mM.p. son trayectorias ortogonales a las curvas de nivel y esta 2 ortogonalidad se conserva en la proyección sobre el dibujo por ser las curvas de nivel horizontales. Figura 4.67 9.2, TRAZADO DE LINEAS DE PENDIENTE. CONSTANTE. Se llama LINEA DE PENDIENTE CONSTANTE aquella cuya inclinación y, por tanto, su pendiente es constante. Es un poligono de vértices situados sucesivamente en curvas de nivel consecutivas y cuyos lados tienen longitud constante, es decir de intervalo constante. 5 67? 2 ESCALA 1:2000 Figura 4.68 Es de aplicación en trazado de Sarreteras, ferrocarriles, canalos que siguen el terreno con pendiente constante, tuberías forzadas y en líneas eléctricas. Para hallar la linea de pendiente constante del 5% Que parte del punto A en la figura 4,68 y llega a la curva de nivel de cota 7, se determina el intervalo entra cada dos curvas de nivel. i= 1/pendiente= 11(5/100)= 20 metros. i= 201000/ESCALA = 20*1000/2000= 10 mm. Autor: José 14% Altemir Grasa, Expresión Gráfica, 138 En función de las escalas utilizadas los perfiles se clasifican en: - Naturales: Cuando ia escala de las longitudes horizontales y verticales es la misma del plano. - Realzados: La escala de las longitudes horizontales es la misma del plano pero la de tas longitudes verticales es mayor. - Ampliados: Las escalas horizontal y vertical son iguales pero ambas mayores que la del plano. 9.4, EXPLANACIONES. Se ilaman así a las partes del terreno que queremos hacerlas planas y, en algunos casos, horizontales. Las operaciones de excavación y relleno, necesarias para realizar una explanación del terreno, reciben el nombre de desmontes y terraplenes, respectivamente, P 2 3 La intersección de uno de estos planos, dado por su r.m.p., con el terreno se obtiene bd por la intersección de los puntos de sus 5 horizontales con las líneas de nivel correspondientes de igual cota, tal como se muestra en la figura 4.70. - — Figura 4.70 En los movimientos de tierras se presenta el problema de intersección de dos superficies, la del terreno y la que se quiere conseguir. La línea intersección nos dará la línea Que permanece. Del conocimiento de ambas superficies se puede deducir el volumen del movimiento de tierras, 9.4.1. EXPLANACIONES HORIZONTALES. Corro ejemplo de aplicación se Quiere obtener sobre al terreno dado una explanación que sea la indicada en la figura 4.74a cota 75 y con terraplenes de inclinación 45% y con desmontes de 600, Autor: José M* Altemir Grasa. 4 45 139 05 110 y 100 409 H + a5 30 es ALIS) - y l Po sswbsbola IB91B5 26 95 00, Es 80 $570 » £(75) 35 Elr5) Y E) 2 D(35) Y $5 é ES $0 0 pe Y 55 Figura 4.71 50 El proceso de resolución es el siguiente: 1. Determine los intervalos de los planos de terraplén y de desmonte. Intervalo de planos de terraplén, i= 5fag 45%= 5 metros, a escala 1:1000 y expresado en milímetros, i= 5x1000/1000 = 5 mn. intervalo de los planos de desmonte, i= Sitag 60” = 2.886 metros, como en el caso anterior, a la escala de plano y expresado en milímetros, i= 2.896x1000/1000 = 2.886 mm. 2. Dibuje el contorno de terreno a explanar. Desde la cota 75 hacia arriba habrá desmonte y desde esa cota hacia abajo terraplén. 3. Halle las intersecciones can el terreno y entre sí de los planos de intervalo de desmonte y el plano horizontal de cota 75. Los bordes de la explanación serán las intersecciones obtenidas. 4. Proceda de igual modo con los planos de terraplén de la parte inferior. 5. En la parte curva, las horizontales de plano serán curvas paralelas separadas el valor del intervalo que aumentarán de cota en el caso de desmonte y disminuirán de cota en el caso de terraplén. Autor: José MI Altemir Grasa. Capítulo 4: Sistema de Planos Acotados. 141 5 y E $ 2 5 Doy DD, = Cono de desmonte. Cono de terraplén. Figura 4.73 Las horizontales de plano serán las curvas envolventes de las circunferencias de igual cota y permiten hallar la intersacción de esta superficie envolvente con el terreno o con los planos de terraplén y de desmonte. 2.5. TRAZADO DE CARRETERAS. El trazado de las grandes alineaciones para carreteras, ferrocarriles o transporte de fluidos, etc., es un problema complejo y delicado por ta cantidad y variedad de factores que intervienen y que dan lugar, por consiguiente, a un grarí número de soluciones; entre éstas, debe elegirse la que más convenga al fin para el que se proyecta la alineación, sin olvidar otros aspectos de tipo económico, turístico, etc., que son los que, en conjunto, deciden si el trazado elegido ha sido, o no, acertado. Primeramente, se trazan sabre el plano los tramos rectilíneos que componen ¡a alineación y luego se unen por curvas de mayor o menor radio, según las características del terreno y de la via que se proyecta. La figura 4.74 es una parte de un plano topográfico, en el que se ha trazado la alineación de una carretera de 6 metros de anchura, así como su eje y el ancho de la explanación. En ella puede apreciarse un tramo rectilíneo y otro, en curva, de 54 metros de radio. Autor: José M* Altemlr Grasa. Expresión Gráfica. 142 1 ESCALA -1:1000] Pe Figura 4.74 Luego, se dibujan sobre el plano las trazas de los perfites transversales, normales al eje de la carretera, colocando al lado de cada uno, el número que le corresponde. A continuación, se levanta el perfil longitudinal del terreno, figura 4.75, siguiendo la alineación del eje de la carretera. Horizomtas « 1 21000 O de 0,048323 en 105,18. mts. CÓM Ecco O A A ON 1 1 COTAS ROJAS 3 $883 see 52 terraplén Dl 538 882 E 2 Desmonte AAA - e orosnanas E 83 Ss $83 ES3E5 3S El 5 Rasante ld ERE EEN ESRRR RE E E ses 88 38 A 0 d2n3s $s 3 E Termo RARE AAN SENRR_ RE A E Parciales E Ñ > 2 = 2 828 2 222 22 g E a origen] 888 ERE EENEE 2E E z PUNTOS 3 39% $32 BERRÍ ES 5 3 NIVELADOS Figura 4.75. ESTADO DE CURVA Nes ALINEACIONES RECTA DE 262/50 MIS, AA 1227 AD,58 1229.83 mm ReS400m.0:548 Autor: José M* Altemir Grasa,