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TEMA: PRODUCTOS NOTABLES.
Docente: Vivian Lizbeth Martínez R.
Motivación: En un problema de ingeniería se llega a la siguiente expresión:
2
2
Calcular el valor de la expresión cuando x= √
2 , y= √
1. Definición: los productos notables son reglas especiales que permiten simplificar
procesos algorítmicos en la resolución de multiplicaciones de expresiones
algebraicas; al denominarse reglas estas cumplen características específicas que
permiten encontrar los resultados de las multiplicaciones por simple inspección.
En esta unidad estudiaremos los siguientes productos notables:
- Cuadrado de la suma de dos cantidades
- Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
- Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugados)
- Cubo de la suma de dos cantidades
- Cubo de la diferencia de dos cantidades
- Producto de dos binomios con el primer término en común
Los productos notables se relacionan con fórmulas de factorización, por lo que se
facilita su proceso de resolución y solución en multiplicaciones, permitiendo
simplificar expresiones algebraicas complejas.
1.1. Casos de productos notables
1.1.1. Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado (𝐚 + 𝐛)
𝟐
Dos cantidades a y b , cuya suma se encuentra elevada al cuadrado, se resuelve
multiplicado la suma por sí misma, así:
𝟐
𝟐
𝟐
Demostración:
2
2
2
Ejemplo 1: multiplicación de bases iguales.
2
2
Se aplica la regla para este producto notable ;
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de
la segunda cantidad.
Ejemplo 2 : reemplazando directamente en la ecuación 𝑎
2
2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Ejercicio: realice las sumas de binomios al cuadrado en equipo de cuatro
persona..
2
3
4
2
2
1.1.2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
𝟐
Demostración:
2
2
2
Regla del producto notable
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a la primera cantidad al
cuadrado, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda
cantidad, más la segunda cantidad al cuadrado.
Ejemplo: reemplazando directamente en la ecuación 𝑎
2
2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Ejercicio: realice en parejas las diferencias de binomios al cuadrado.
Ejemplo: reemplazando directamente en la ecuación
Ejercicios: realice el cubo de las cantidades
1.1.5. Cubo de la diferencia de dos cantidades
Demostración:
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
Regla del producto notable:
El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad,
menos 3 veces el cuadrado la primera por la segunda cantidad, más 3 veces la
primera cantidad por el cuadrado de la segunda cantidad, más el cubo de la
segunda cantidad
Ejemplo: reemplazando directamente en la ecuación
Ejercicios: realice el cubo de las cantidades
1.1.6. Producto de dos binomios con el primer término en común (x +a) (x + b)
Este producto notable hace referencia a la multiplicación de binomios que poseen
un término común.
Demostración
𝟐
𝟐
Regla del producto notable
Resolvemos colocando el término común al cuadrado, más el producto del
término común con la suma de los términos no comunes, más el producto de los
términos no comunes.
Ejemplo: (𝑥 + 2 )(𝑥 + 3 ) = 𝑥
2
2
Ejercicio: desarrolle los ejercicios propuestos a continuación.
𝟕
𝟒
𝟕
𝟒
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
2. Resolución del ejercicio de motivación.
Sobre el ejercicio se vuelve después de haber visto el tema.
2 𝑥
2
− 8 𝑥𝑦+ 8 𝑦
2
√
2 𝑥− √
8 𝑦
( √
2 𝑥− √
8 𝑦)
2
√
2 𝑥− √
8 𝑦
Entonces el valor se calcula fácilmente
2 .1 Actividad practica
Clasifica cada multiplicación como cuadrado de una suma, cuadrado de una
diferencia o suma por la diferencia, y aplica la formula adecuada para hallar el
producto.
Factores Cuadrado
de una
suma
Cuadrado
de una
diferencia
Suma por
la
diferencia
(x+a)(x+b) Cubo
de una
suma
Cubo de
una
diferencia
Producto
(𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟒)
(
𝑲
𝟐
𝟐
𝑲
𝟐
𝟐
( 𝒙
𝟐
− 𝟑
)( 𝒙
𝟐
)
( 𝒃 − 𝒘𝒚
𝟐
)( 𝒃 − 𝒘𝒚
𝟐
)
2
4
2
𝑥
3
3
Nota: la segunda parte de la guía, se adicionará en el transcurso de la próxima semana.
