Productos notables 1, Apuntes de Cálculo diferencial y integral

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Algebra

Unidad I Ing. Gerardo Sarmiento Algebra

Productos Notables

PRODUCTOS NOTABLES

Definición.- Son aquellos productos cuyo desarrollo se conocen

fácilmente por simple observación.

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES CUBO DE UNA SUMA FÓRMULAS DE PRODUCTOS NOTABLES CUBO DE UNA DIFERENCIA EJERCICIOS

BINOMIO DEFINICIÓN

En álgebra, un binomio es un polinomio con sólo dos términos. Es, por lo tanto, la suma de dos

monomios

Ejemplos de binomios







Grado de un binomio

Es el máximo de los exponentes encontrados en el binomio.

 Ejemplos de binomios de primer grado:

 Un número complejo es un binomio de la forma

donde i es la unidad imaginaria o raíz cuadrada de menos uno.

 El producto de un par de binomios lineales a x + b y c x + d es:

 Un binomio a + b elevado a la n-esima potencia se representa como

BINOMIO AL CUADRADO

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

( a + b )^2 = a^2 + 2ab + b^2

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

a) El cuadrado del 1er término es (5x)(5x) = 25x^2

b) El doble producto de ambos términos es 2(5x)(7) =( 10x)(7) = 70x

c) El cuadrado del 2do término es (7)(7) = 49

Entonces ( 5x + 7 )^2 = 25x^2 + 70x (^) + 49

a) El cuadrado del 1er término es (0.5x)(0.5x) = 0.25x^2

b) El doble producto de ambos términos es 2(0.5x)(9) =( 1x)(9) = 9x

c) El cuadrado del 2do término es (9)(9) = 81

Entonces ( 0.5x + 9 )^2 = 0.25x^2 + 9x + 81

BINOMIO AL CUADRADO EJEMPLOS

1.- (m + n)² = (m)² + 2(m)(n) + (n)² = m² + 2mn + n²

2.- (5x – 7y)² = (5x)² + 2(5x)(-7y) + (-7y)² = 25x² – 70xy + 49y²

3.- (ab – 1)² = (ab)² + 2(ab)(-1) + (-1)² = a²b² – 2ab + 1

4.- (3a³ + 5ab)² = (3a³)² + 2(3a³)(5ab) + (5ab)² = 9a6 + 30 a4b + 25a²b²

RESOLVER

5.- (4x² – 7xy)² = 6.- (m – 1)² = 7.- (8a + 2ab)² = 8.- (5x + y)² = 9.- (9a – 7b)² = 10.- (5ab² + 6)² = 11.- (1 + ab)² = 12.- (5x³y² – x)² = 13.- (5x³y² – 3x)² = 14.- (7x + 7y)² = 15.- (5/6a + 2b)² =

Nombre:________________________________________________________________ Grupo:____________________ Fecha:_____/_____/_____

RESOLVER LOS BINOMIOS AL CUADRADO

MULTIPLICACION DE BINOMIOS

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

( a + b ) ( a - b ) = a

- b

La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término

menos el cuadrado del segundo término.

a) El cuadrado del 1er término es (4x)(4x) = 16x

b) El cuadrado del 2do término es (9y)(9y) = 81y

Entonces (^) ( 4x + 9y ) (^) ( 4x - 9y ) = 16x^2 - 81y^2

a) El cuadrado del 1er término es (10x)(10x) = 100x

b) El cuadrado del 2do término es (12y

)(12y

) = 144y

Entonces ( 10x + 12y

) (^) ( 10x - 12y^3 ) = 100x

• 144y

RESTA DE TRINOMIOS

CUBO DE UNA DIFERENCIA

( a - b )^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3

El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.

1. ( 6x - 2y )^3 = (6x)^3 - 3(6x)^2 (2y) + 3(6x)(2y)^2 - (2y)^3

a) El cubo del 1er término es (6x)(6x)(6x) = 216x^3

b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término

3(6x)(6x)(2y) = (18x)(6x)(2y) = (108x^2 )(2y) = (216x^2 y)

c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término

3(6x)(2y)(2y) = (18x)(2y)(2y) = (36xy)(2y) = (72xy^2 )

d) El cubo del 2do término es (2y)(2y)(2y) = 8y^3

Entonces ( 6x - 2y )^3 = 216x^3 - 216x^2 y + 72xy^2 - 8y^3

2. ( 4x^6 - 5y )^3 = (4x^6 )^3 - 3(4x^6 )^2 (5y) + 3(4x^6 )(5y)^2 - (5y)^3

a) El cubo del 1er término es (4x^6 )(4x^6 )(4x^6 ) = 64x^18

b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término

3(4x^6 )(4x^6 )(5y) = (12x^6 )(4x^6 )(5y) = (48x^12 )(5y) = (240x^12 y)

c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término

3(4x^6 )(5y)(5y) = (12x^6 )(5y)(5y) = (60x^6 y)(5y) = (300x^6 y^2 )

d) El cubo del 2do término es (5y)(5y)(5y) = 125y^3

Entonces ( 4x^6 - 5y )^3 = 64x^18 - 240x^12 y + 300x^6 y^2 - 125y^3

MULTIPLICACION DE TRINOMIOS

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO

COMÚN

(x + a )(x + b ) = x

+ (a + b) x + ab

El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual al cuadrado del

término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más

el producto de los términos no comunes.

1) (x + 2 )(x + 7 ) = x^2 + ( 2 + 7 ) x + ( 2 )( 7 )

a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x

b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es (2 + 7)x = 9x

c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Entonces: (x + 2 )(x + 7 ) = x

+ 9 x + 14

2) (y + 9 )(y - 4 ) = y^2 + ( 9 - 4 ) y + ( 9 )( - 4 )

a) El cuadrado del término común es (y)(y) = y

b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es (9 - 4)y = 5y

c) El producto de los términos no comunes es (9)( - 4) = -

Entonces: (y + 9 )(y - 4 ) = y

+ 5 y - 36

Nombre:________________________________________________________________

Grupo:____________________ Fecha:_____/_____/_____

RESOLVER

• 01 (x + 5)^2 = x^2 + 10x + PREGUNTAS RESPUESTAS
• 02 (7a + b)^2 = 49a^2 + 14ab + b
• 03 (4ab^2 + 6xy^3 )^2 = 16a^2 b^4 + 48ab^2 xy^3 + 36x 2 y
• 04 (xa+1 + yb-^2 )^2 = x2a+2 + 2xa+1yb-^2 + y2b-
• 05 (8 - a)^2 = 64 - 16a + a
• 06 (3x^4 - 5y^2 )^2 = 9x^8 - 30x^4 y^2 + 25y
• 07 (xa+1 - 4xa-^2 )^2 = x2a+2 - 8x2a-^1 + 16x2a-
• 08 (5a + 10b)(5a - 10b) = 25a^2 - 100b
• 09 (7x^2 - 12y^3 )(7x^2 + 12y^3 ) = 49x^4 - 144y
• 10 (x + 4)^3 = x^3 + 12x^2 + 48x +
• 11 (5x + 2y)^3 = 125x^3 + 150x^2 y + 60xy^2 + 8y
• 12 (2x^2 y + 4m)^3 = 18x^6 y^3 + 48x^4 y^2 m + 96x^2 ym^2 + 64m
• 13 (1 - 4y)^3 = 1 - 12y + 48y^2 - 64y
• 14 (3a^3 - 7xy^4 )^3 = 27a^9 - 189a^6 xy^4 + 441a^3 x^2 y^8 - 343x^3 y
• 15 (2xa+4 - 8ya-^1 )^3 = 8x3a+12 - 96x2a+8ya-^1 + 384xa+4y3a-^3 - 512y3a-
• 16 (x + 5)(x + 3) = x^2 + 8x +
• 17 (a + 9)(a - 6) = a^2 + 3a -
• 18 (y - 12)(y - 7) = y^2 - 19y +
• 19 (4x^3 + 15)(4x^3 + 5) = 16x^6 + 80x^3 +
• 20 (5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14) = 25y2a+2 - 50ya+1 -

FÓRMULA DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES CUBO DE UNA SUMA

( a + b )^2 = a^2 + 2ab +b^2 (a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

CUBO DE UNA DIFERENCIA

( a - b )^2 = a^2 - 2ab + b^2 (a - b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 -b^3

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE

LA FORMA

(a + b) (a - b) = a^2 -b^2 (x + a) (x + b) = x^2 + (a+b)x +ab