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Asignatura: Matemàtiques II, Profesor: , Carrera: Química, Universidad: UV
Tipo: Ejercicios
1 / 26
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¡No te pierdas las partes importantes!
Antonio Marquina
1
Matematicas III. Grado de Ingenieria Informatica
1
Dept. de Matem ´
atica Aplicada, Universidad de Valencia
Despacho 309. Facultad de Matematicas.
e-mail: [email protected]
Tutorias: Lunes 10:30-12:30, Fac. Matematicas, Lunes 16:00-17:00, ETSE
Ajuste y Regresi ´
Según la ley de Hooke, la elongaci’on de un muelle es proporcional al peso quese cuelga de él. Para medir la constante elástica del muelle se realizan una seriede medidas, cuyo resultado aparece tabulado a continuación.
:Masa, g:
:
Elongación, cm :
Diagrama de dispersion
10
20
30
40
50
60
70
0
1
2
3
Ajuste y Regresi ´
Ecuaciones Normales:
y
i
an
b
x
i
x
i
y
i
a
x
i
b
x
2 i
1
/n
y
a
b
x
1 n
x
i
y
i
a
x
b
1 n
x
2 i
Despejamos
a
de la primera ecuación:
a
y
b
x
Sustituyendo en la segunda ecuación tenemos
n
x
i
y
i
y
b
x
x
b
n
x
2 i
y
x
b
1 n
x
2 i
x
2
b
n
x
2 i
x
2
n
x
i
y
i
x
y
El parámetro
b
se puede calcular utilizando la llamada
matriz de covarianzas
Ajuste y Regresi ´
No es dificil comprobar que:
n
x
2 i
x
2
n
x
i
x
2
s
xx
n
x
i
y
i
x
y
n
x
i
x
y
i
y
s
xy
b
n
x
2 i
x
2
n
x
i
y
i
x
y
bs
xx
s
xy
Parámetros de la recta de regresión
y
a
bx
b
s
xy
s
xx
a
y
b
x
y
a
bx
y
y
b
x
bx
y
y
s
xy
s
xx
x
x
Ajuste y Regresi ´
x=[10 20 30 40 50 60 70];
y=[0.4 0.9 1.3 1.8 2.3 2.9 3.4]
x
y
s
xy
s
xx
Recta de regresion de Y sobre X:
y
y
s
xy
s
xx
x
x
y
a
bx,
b
s
xy
s
xx
a
y
b
x
y
x
y
x
10
20
30
40
50
60
70
0
1
2
3
Ajuste y Regresi ´
coeficiente de correlación
r
s
xy
s
xx
s
yy
PROPIEDADES
P
r
Esta propiedad se deduce de
2 y
n
n
i
=
y
i
a
bx
i
2
s
yy
r
2
y
es el error cuadrático medio o desviación cuadrática media
de la recta de
regresión de
sobre
P
Cuanto mas cerca esta
r
de 1 menor es el error cuadrático medio
respecto a la recta de regresion, y mas
fuerte
es la ligadura lineal entre los
valores de las muestras
e
Ajuste y Regresi ´
i
α
βx
i
e
i
e
i
, σ
i.i.d.
Esta suposición equivale a suponer que:en cada medición concreta (obtención de valores concretos
y
1
,... , y
n
de las v.a.
1
n
), las desviaciones de la recta
α
βx
son debidas a errores aleatorios
y estos se comportan como una normal de media 0 y varianza desconocida.
i
α
βx
i
, σ
i
,... , n
Las fórmulas para los parámetros de la recta de regresión, escritos en función delas variables aleatorias
i
, se convierten en estimadores para los valores de
α
y
β
. Estos estimadores, sirven para construir intervalos de confianza para los
parámetros
α
y
β
, que se calculan a partir de las muestras observadas.
Ajuste y Regresi ´
on – p. 10/
Recordemos que la recta de regresion de
y
1
,... , y
n
sobre
x
1
,... , x
n
es
y
a
bx,
b
s
xy
s
xx
ns
xx
x
i
x
y
i
y
a
y
b
x
Definimos la variable aleatoria
β
x
i
x
i
ns
xx
ns
xx
x
i
x
i
que es una suma de v.a. normales, y por tanto
β
es una v.a. normal. Es facil
deducir que
β
β, σ/
ns
xx
β
β
σ/
ns
xx
β
es un estimador de
β
para el modelo de regresión lineal simple.
Ojo! no podemos utilizar
para construir intervalos de confianza para
β
porque
no se conoce
σ
Ajuste y Regresi ´
Para construir IC para
β
en el modelo de regresión lineal simple, a partir de una
tabla con
n
valores, se considera
β
β
σ/
ns
xx
n
−
2
y se construye el IC a partir de esta variable. El IC con nivel de confianza
α
es
β
z
∗
σ
ns
xx
β
z
∗
σ
ns
xx
donde
z
∗
satisface
z
∗
α/
El valor de
z
∗
se busca en las tablas de la
t
-student, con
n
grados de libertad,
donde
n
es el tamaño de la muestra.
Los valores
β
σ
s
xx
se calculan a partir de la tabla de valores y su ajuste lineal
(recta de regresión).
Ajuste y Regresi ´
x=[10 20 30 40 50 60 70];
y=[0.4 0.9 1.3 1.8 2.3 2.9 3.4]
n
x
y
s
xy
s
xx
Recta de regresion de Y sobre X:
y
a
bx,
b
s
xy
s
xx
a
y
b
x
y
x
IC para
β
. Siguiendo el modelo de regresión lineal simple
n
β
β
σ/
ns
xx
t
5
β
z
∗
σ
ns
xx
β
z
∗
σ
ns
xx
Nivel de confianza 95%. Buscamos en la tabla de la
t
5
el valor
z
∗
tal que
z
∗
z
Ajuste y Regresi ´
De manera análoga, es decir construyendo estimadores adecuados, se puedencalcular IC para
el valor del parámetro
α
El valor esperado para un valor concreto
x
0
El valor de una predicción
a
b
x
para un punto
x
, que puede estar o no en
la tabla construida.
Ajuste y Regresi ´
En una exposición de automóviles, un asistente ha realizado un conjunto deobservaciones relacionando el precio de los vehículos con sus pesos, obteniendolos siguientes datos:
peso (en TM)
Precio (en decenas de miles)
Ajusta estos datos a una recta por el método de los mínimos cuadrados y calculael precio esperado para la predicción. ¿Es bueno el ajuste?
Ajuste y Regresi ´
Calcula un intervalo de confianza al 95 % para la pendiente de la recta deregresión, en base a los datos de la tabla.El IC es
β
z
∗
ns
xx
β
z
∗
ns
xx
donde
β
para la tabla considerada (muestra considerada) es el valor de
b
obtenido
en el ajuste.
β
b
z
∗
se calcula como el valor tal que para una T de student con
n
grados de libertad se cumple que
z
∗
. En las
tablas de la
2
obtenemos
z
∗
n
, numero de medidas
ns
xx
σ
2
n
i
y
i
a
bx
i
2
Así:
z
∗
σ/
ns
xx
Por tanto,
el IC para la pendiente de la recta de regresión al 95% es
Ajuste y Regresi ´
y
1
y
2
y
n
x
1
x
2
x
n
Ajuste a una
parabola
: Ajustar a una curva de la forma
y
a
bx
cx
2
Plantear y resolver las ecuaciones normales:
a, b, c
i
y
i
a
bx
i
cx
2 i
2
∂a
∂b
∂c
Ajuste y Regresi ´
