ALEM Miranda, Apuntes de Álgebra

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ALGEBRA (UGR)

ALGEBRA

ROSALES, JOSE CARLOS 16-

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ALGEBRA (UGR)

EJERCICIOS ALGEBRA LINEAL (RESUELTOS) NUM

ENTEROS

JAVIER LOBILLO, FCO. 12-

Para que existan soluciones en N, se tiene que verificar exista algún k ∈ Z tal que x, y , z ≥ 0 , esto es 61 − 3 k ≥ 0 , −22 + 5k ≥ 0 y 11 − 2 k ≥ 0. Esto es, k ≤ 613 = 20.ˆ 3 , k ≥ 225 = 4, 4 y k ≤ 112 = 5, 5. El único k que verifica estas tres desigualdades es k = 5, que corresponde con la solución x = 46, y = 3, z = 1.

3. Esperanza y Angustias son dos médicos que trabajan en el mismo hospital. Esperanza es cirujano cardiovascular y Angustias pediatra. Se conocieron cuando trataban a un bebé con arrítmia cardíaca al que operaron un día de luna llena.

Para celebrar el éxito de la operación, decidieron verse todos los días de luna llena que estuvieran libres. Esperanza trabaja cuatro días a la semana y descansa uno. Angustias trabaja dos días consecutivos y descansa el tercero.

Teniendo en cuenta que Angustias descansó ayer, que Esperanza descansará pasado mañana y que hace diez días que hubo luna llena, ¿cuántos días pasarán hasta que vuelan a verse?

(Nota: Como aproximación, suponemos que hay luna llena cada 28 días)

Solución:

Llamemos x al número de días, desde hoy, en el que Esperanza y Angustias volverán a verse.

(a) Como hace diéz días que hubo luna llena y sólo se reúnen en luna llena (es decir en 18 días y a partir de ahí en los múltiplos de 28 ), x ≡ 18 (m´od 28).

(b) Como Angustias trabaja dos días y descansa el tercero, y ademś descansó ayer, x ≡ 2 (m´od 3).

(c) Como Esperanza trabaja cuatro días y descansa el quinto, y descansará pasado mañana, x ≡ − 3 (m´od 5) (o equivalentemente x ≡ 2 (m´od 5).

Así el sistema queda

x ≡ 18 (m´od 2) x ≡ 2 (m´od 3) x ≡ 2 (m´od 5)

Resolviendo la primera ecuación, tenemos que x = 18 + 28k. Sustituyendo en la segunda, tenemos que 28 k ≡ −16 (m´od 3) lo que es equivalente a k ≡ 2 (m´od 3), luego k = 2 + 3k′, y por tanto x = 18 + 28(2 + 3k′) = 74 + 84k′. Sustituyendo en la última ecuación: 84 k′^ ≡ −72 (m´od 5), o equivalentemente 4 k′^ ≡ 3 (m´od 5). El inverso de 4 en Z 5 es 4 , luego multiplicando por 4 tenemos que k′^ ≡ 2 (m´od 5), y k′^ = 2 + 5k′′.

Finalmente tenemos que x = 74 + 84k′^ = 74 + 84(2 + 5k′′) = 242 + 420k′′. Así el próximo día que se reunirán Esperanza y Angustias será dentro de 242 días.

Fecha máxima de entrega: 7 de Diciembre de 2010. Nota: Los ejercicios deben ser entregados a mano, indicando el nombre, los apellidos y el grupo.