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Álgebra Lineal

y Estructuras

Matemáticas

(ALEM)

2 CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES

representa el conjunto de todos los números naturales, y es denotado como N. También podemos describir el conjunto de los números enteros, que denotaremos como Z

Z = {· · · , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , · · · }

Otros conjuntos infinitos con los que trabajaremos a lo largo del curso son, por ejemplo, el conjunto de los números racionales (Q), el conjunto de los números reales (R), el conjunto de los números complejos (C), etc. Hay otra forma de especificar un conjunto, y es a partir de una o varias propiedades que determinen de forma exclusiva los elementos de ese conjunto. Normalmente, en este caso, haremos referencia a un conjunto y especificaremos los elementos de este conjunto que verifican la propiedad. Por ejemplo, el conjunto X podemos describirlo:

X = {n ∈ N|n < 10 }

Y se leería X es el conjunto de todos los n ∈ N tal que n es menor que 10, o si preferimos, el conjunto de todos los números naturales menores que 10. En este caso, hemos hecho referencia al conjunto de los números naturales. También podríamos haberlo descrito haciendo referencia a los números enteros como

X = {n ∈ Z| 0 ≤ n < 10 }

A esta forma de describir un conjunto la llamaremos implícita, en contraposición a la que consiste en enumerar los elementos, que llamaremos explícita. Por ejemplo, si P es el conjunto de los números pares, entonces podemos describirlo como sigue:

P = {· · · − 6 , − 4 , − 2 , 0 , 2 , 4 , 6 , · · · } = {n ∈ Z|n es par } = {n ∈ Z|existe m ∈ Z : n = 2m}

P = {n ∈ Z|n = 2m para algún m ∈ Z}

Incluso, podríamos escribir:

P = { 2 n : n ∈ Z} = 2Z

Con la notación 2 Z queremos decir el conjunto de todos los números que se obtienen de multiplicar por 2 los elementos de Z. No interpretar como el producto de un número por un conjunto. ¿Cómo podríamos entonces especificar el conjunto de los números impares? ¿y el de los números que dan resto 2 al dividirlos por 5?

Igualdad e inclusión de conjuntos.

Hemos dicho más arriba que un conjunto queda determinado por los elementos que tiene. No influye por tanto el orden en que estén dados esos elementos ni ningún otro factor. En tal caso, los conjuntos A = { 3 , 1 , 5 } y B = { 1 , 3 , 5 } son iguales, e iguales al conjunto {m ∈ N|m impar y m ≤ 6 }. También el conjunto A es igual al conjunto C = { 1 , 3 , 3 , 5 , 5 , 5 , 3 , 5 , 5 } pues todos los elementos que pertenecen a C pertenecen a A y todos los elementos que pertenecen a A pertenecen también a C. La igualdad de conjuntos, por tanto, podría definirse así:

Definición 1. Sean A y B dos conjuntos. Se dice que A y B son iguales (A = B) si para cualquier x ∈ A se tiene que x ∈ B y viceversa, es decir, para cualquier x ∈ B se tiene que x ∈ A.

Cuando todos los elementos de un conjunto A son también elementos de un conjunto B diremos que A es un subconjunto de B, y lo representaremos como A ⊆ B. También puede leerse esto como A está contenido en B o B contiene a A. Esto queda recogido en la siguiente definición:

Definición 2. Sean A y B dos conjuntos. Diremos que A es un subconjunto de B, que A está contenido en B, o que B contiene a A, y escribiremos A ⊆ B si para cualquier elemento x ∈ A se tiene que x ∈ B.

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1.1. Conjuntos 3 De acuerdo con lo que hemos dicho antes, dos conjuntos A y B son iguales cuando A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, pues en tal caso, todos los elementos de A están en B y todos los elementos de B pertenecen a A. Normalmente, para demostrar que dos conjuntos son iguales, probaremos que cada uno es subconjunto del otro.

A ⊆ B B ⊆ A

=⇒ A = B

(de hecho, la anterior implicación es una equivalencia) Esta propiedad se conoce como antisimétrica Si A es un subconjunto de B distinto de B y queremos hacer notar esta relación escribiremos A ( B (algunos autores emplean la notación A ⊂ B). En tal caso, diremos que A está contenido propiamente en B. Obviamente, A ( B si, y sólo si, A ⊆ B y existe un elemento b ∈ B tal que b 6 ∈ A.

Ejemplo 1.1.1. P ( Z, pues P ⊆ Z (todo elemento de P es un número entero) y existe un número entero (de hecho existen muchos), por ejemplo, 1 que no pertenece a P (recordemos que P denotaba el conjunto de los números pares). Dado cualquier conjunto X, el conjunto vacío es un subconjunto de X (es decir, ∅ ⊆ X), pues todos los elementos del vacío, absolutamente todos, sin excepción, son elementos de X. Por ejemplo, tomamos A = {m ∈ N|m < 0 }. Es claro que A es un subconjunto de N, pues en A hemos tomado todos los números naturales que cumplen una propiedad. Además, es claro que A = ∅. Por tanto, ∅ ⊆ N. El conjunto vacío es el conjunto de todos los círculos cuadrados, luego ∅ es un subconjunto del conjunto de todos los círculos, y es un subconjunto del conjunto de todos los cuadrados. El conjunto vacío es el conjunto de todos los hombres con 7 manos (creo que no hay ninguno) por tanto, el conjunto vacío es un subconjunto del conjunto de todos los hombres. El conjunto vacío es el conjunto de todos los números racionales e irracionales, luego es un subconjunto de Q y del conjunto de todos los números irracionales.

Hemos visto que la inclusión de conjuntos es antisimétrica. También es reflexiva (todo conjunto es subconjunto de sí mismo) y transitiva (si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C entonces A es subconjunto de C). Cuando hemos comenzado a hablar de conjuntos, hemos dicho que los elementos de un conjunto pueden ser de cualquier naturaleza. En particular pueden ser conjuntos. Por tanto, un conjunto puede ser elemento de otro conjunto (podría hasta ser elemento de sí mismo). Un conjunto, podría ser entonces A = { 1 , N, { 0 , 1 , 2 , 3 }}. Este conjunto tendría tres elementos. Estos son: 1 , el conjunto de los números naturales, y el conjunto { 0 , 1 , 2 , 3 }. Si renombramos a los elementos, x 1 = 1, x 2 = N y x 3 = { 0 , 1 , 2 , 3 } tenemos entonces que A = {x 1 , x 2 , x 3 }. Es decir, A, como conjunto tiene exactamente 3 elementos. A su vez, x 1 ∈ x 2 , x 1 ∈ x 3 y x 3 ⊆ x 2. El conjunto vacío, como conjunto que es, puede ser elemento de otro conjunto. Así, el conjunto {∅} tiene exactamente un elemento: el conjunto vacío.

Conjunto potencia.

Definición 3. Dado un conjunto X podemos formar el conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de X. Este conjunto será denotado como P(X), y lo llamaremos el conjunto partes de X.

Como ya sabemos, para cualquier X, el conjunto vacío es un subconjunto de X, luego ∅ ∈ P(X). También se tiene que ∅ ⊆ P(X). Otro subconjunto de X es el propio X, es decir, X ∈ P(X).

Ejemplo 1.1.2. Sea X = { 1 , 2 }. Entonces P(X) = {∅, { 1 }, { 2 }, { 1 , 2 }}. Por otra parte, P(∅) = {∅} (tiene un elemento). P(P(∅)) = {∅, {∅}} (tiene 2 elementos) P(P(P(X))) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}} (tiene 4 elementos)

1.1.2. Operaciones con conjuntos.

Vamos a ver a continuación cómo, a partir de algunos conjuntos podemos obtener otros nuevos.

Jesús García Miranda

1.1. Conjuntos 5 Diferencia de conjuntos.

Definición 6. Si A y B son dos conjuntos, se define el conjunto diferencia A \ B como el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B (es decir, para formar A \ B le quitamos a A los elementos que están en B).

A \ B = {x ∈ A|x 6 ∈ B}

Ejemplo 1.1.5. Para los conjuntos A y B del ejemplo anterior se tiene que A \ B = { 0 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 } (a A le quitamos el 2 que es el único elemento que pertenece a B), mientras que B \ A = { 3 , 5 , 7 , 11 , 13 }.

Notemos que dados dos conjuntos cualesquiera A y B se tiene que A \ B = A \ (A ∩ B), pues al quitarle a A un elemento que está en B en realidad estamos quitando un elemento que está en A ∩ B (si no estuviera en A no habría que quitarlo). Veamos una demostración de esto. Como hemos dicho antes, para ver que dos conjuntos son iguales probaremos que uno está incluido en el otro y el otro en el uno. En primer lugar veamos que A \ B ⊆ A \ (A ∩ B), es decir, que todo elemento de A \ B pertenece a A \ (A ∩ B). Sea x ∈ A \ B. Entonces x ∈ A y x 6 ∈ B. Por tanto, x 6 ∈ A ∩ B (pues no pertenece a B). Tenemos entonces que x ∈ A y x 6 ∈ A ∩ B, luego x ∈ A \ (A ∩ B). Recíprocamente, si x ∈ A \ (A ∩ B) entonces x ∈ A y x 6 ∈ A ∩ B. Como x 6 ∈ A ∩ B, x no puede ser simultáneamente elemento de A y de B, luego o no es elemento de A o no es elemento de B, es decir, x 6 ∈ A ó x 6 ∈ B. La primera opción no puede darse, pues teníamos que x ∈ A, luego se da la segunda, es decir, x 6 ∈ B. Y lo que tenemos ahora es que x ∈ A y x 6 ∈ B, luego x ∈ A \ B.

Diferencia simétrica.

Definición 7. Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia simétrica de A y B como el conjunto A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A).

Es decir, en A∆B están los elementos que pertenecen a uno de los dos conjuntos, A ó B, pero no a ambos. Podría entonces haberse definido como (A ∪ B) \ (A ∩ B). Queda como ejercicio demostrar que ambas definiciones son equivalentes. Para los conjuntos A y B de los ejemplos anteriores se tiene que A∆B = { 0 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 }.

Complementario.

Normalmente, cuando estamos trabajando con conjuntos, fijaremos un conjunto de referencia al que llamaremos universo, y todas las operaciones que realicemos serán entre subconjuntos del mismo. Así, en los ejemplos que hemos visto, podríamos haber trabajado con N como universo. Todos los conjuntos que intervienen son subconjuntos de N.

Definición 8. Si X es un universo, y A es un conjunto (un subconjunto de X), se define el comple- mentario de A como el conjunto formado por todos los elementos (de X) que no pertenecen a A. El complementario de un conjunto A será denotado como A o A′.

Si X = N, y A es el subconjunto formado por los números pares, entonces A es el conjunto de todos los números impares. Notemos que el conjunto A es igual al conjunto X \ A.

Tablas de pertenencia.

Si X es un conjunto que tomamos como universo, y A 1 , A 2 , · · · An son subconjuntos de X, para cada conjunto C que podamos formar a partir de los conjuntos A 1 , A 2 , · · · , An vamos a definir la denominada tabla de pertenencia. Esta tabla está formada por ceros y unos, y nos indica la posibilidad de que un elemento pertenezca o no al conjunto C en función de que ese elemento pertenezca o no a cada uno de los conjuntos Ai. Un uno nos indica que el elemento pertenece, y un cero nos indica que no pertenece. Las tablas de pertenencia para las distintas operaciones que hemos definido serían:

Jesús García Miranda

6 CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES

A B A ∪ B

A B A ∩ B

A B A \ B

A B A∆B

A A

En la primera tabla, la primera fila nos dice que si un elemento no pertenece a A y no pertenece a B (eso está indicado con los dos ceros que hay debajo de A y B respectivamente), entonces no pertenece a A ∪ B (eso nos lo dice el cero que hay en la columna de A ∪ B). La segunda fila nos dice que si un elemento pertenece a B, pero no pertenece a A entonces pertenece a la unión de A y B. Y así, el resto. Vamos a calcular la tabla de pertenencia de (A∆B)∆C. Como partimos de tres conjuntos, esta tabla tendrá 8 filas, correspondientes a las 8 posibilidades que hay (que un elemento pertenezca o no a A, que pertenezca o no a B y que pertenezca o no a C).

A B C A∆B (A∆B)∆C 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 Las tres primeras columnas nos indican las 8 posibilidades que tenemos y que hemos dicho antes. La columna cuarta se obtiene a partir de las columnas primera y segunda, y la tabla de pertenencia de la diferencia simétrica. La columna quinta se obtiene a partir de las columnas tercera y cuarta y la tabla de pertenencia de la diferencia simétrica. Vamos a calcular la tabla de pertenencia de A∆(B∆C)

A B C B∆C A∆(B∆C) 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 Vemos que las columnas correspondientes a (A∆B)∆C y A∆(B∆C) coinciden. Eso significa que cualesquiera que sean los conjuntos A, B y C se tiene que (A∆B)∆C = A∆(B∆C). Esto que acabamos de hacer es una forma de demostrar igualdades o identidades entre conjuntos. A continuación enumeramos una serie de propiedades referentes a las operaciones que hemos visto entre conjuntos.

Propiedades.

Sea X un conjunto y A, B y C subconjuntos de X. Entonces:

1. A ∪ B = B ∪ A.
2. A ∩ B = B ∩ A.
3. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
4. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.

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8 CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES

1.1.3. Producto cartesiano

Definición 9. Dados dos conjuntos A y B definimos el conjunto producto cartesiano A × B como el con- junto cuyos elementos son parejas, donde la primera componente pertenece a A y la segunda componente pertenece a B. Es decir:

A × B = {(a, b) : a ∈ A; b ∈ B}

Ejemplo 1.1.6. Por ejemplo, si A = { 0 , 2 , 4 } y B = { 1 , 2 } entonces

A × B = {(0, 1), (2, 1), (4, 1), (0, 2), (2, 2), (4, 2)}

De forma análoga puede definirse el producto cartesiano de tres o más conjuntos. Incluso podría definirse el producto cartesiano de infinitos conjuntos. Normalmente, el producto cartesiano de un conjunto A por sí mismo será denotado como A^2 ; el producto A × A × A como A^3 , y Ak^ el producto cartesiano de A consigo mismo k veces. Por ejemplo:

A^2 = {(0, 0), (0, 2), (0, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (4, 0), (4, 2), (4, 4)}

B^3 = {(1, 1 , 1), (1, 1 , 2), (1, 2 , 1), (1, 2 , 2), (2, 1 , 1), (2, 1 , 2), (2, 2 , 1), (2, 2 , 2)}

Si X = ∅ o Y = ∅ entonces X × Y = ∅.

1.2. Aplicaciones

1.2.1. Definición y ejemplos.

Supongamos que tenemos dos conjuntos X e Y , y que para cada elemento x ∈ X, hemos elegido un elemento (y sólo uno) y ∈ Y. Eso es lo que vamos a llamar una una aplicación de X en Y.

Definición 10. Una aplicación de X en Y es una forma de asignar, a cada elemento de X, un elemento (y sólo uno) de Y. Si llamamos f a una aplicación de X en Y , y x ∈ X, el elemento y ∈ Y que le asignamos a este elemento lo denotaremos como f (x), y leeremos f de x. Diremos que este elemento es la imagen por (la aplicación) f del elemento x.

Cuando tengamos una aplicación f , de X en Y , escribiremos f : X → Y , o X f −→ Y. Al conjunto X se le llama dominio de la aplicación, mientras que al conjunto Y codominio.

Ejemplo 1.2.1. Cuando somos pequeñitos, y nos bautizan, o nos inscriben en el registro civil, nos asignan una (o más) palabras que dicen que es nuestro nombre (vamos a suponer que todos tenemos nombres simples). Esta asignación, salvo casos excepcionales, nos marca de por vida. Tenemos de esta forma una aplicación del conjunto de las personas en el conjunto de palabras. Más adelante, se nos asigna un número natural que será el que nos identifique. Así tenemos una aplicación del conjunto de los españoles mayores de 18 años en el conjunto de los números naturales. A cada número natural le vamos a asignar su doble. Vamos a llamar f a esta asignación. Tenemos entonces que f es una aplicación N → N. Para cada número natural n su imagen por f es 2 n, es decir, f (n) = 2n. Podríamos haber descrito esta aplicación como sigue: Sea f : N → N la aplicación dada por (o definida por) f (n) = 2n (o definida por n 7 → 2 n).

Podemos ver entonces f como una regla, o como una máquina, que transforma cada elemento de X en un elemento de Y (en el ejemplo precedente cada número natural en un número natural). Sobre las posibles reglas no hay restricción alguna. Podemos elegir una regla, como la de asignar a cada número su doble, o simplemente, ir eligiendo una a una la imagen de cada elemento, sin ningún criterio aparente. Así, podemos tener la aplicación que asigne al cero el valor 35, al uno el valor 26, al dos el valor 99, al tres el valor 638, al cuatro el valor 2411. Y así podríamos seguir definiendo la imagen de cualquier otro número. Claro, que de esta forma únicamente tenemos definida la aplicación para aquellos valores de los que hemos dicho explícitamente su imagen.

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1.2. Aplicaciones 9 Podría decirse que la aplicación anterior es la que asigna a cada número natural n menor o igual que cuatro, el número 16 n^4 − 32 n^3 + 25n^2 − 18 n + 35. En tal caso, podríamos considerar la aplicación N −→f N dada por f (n) = 16n^4 − 32 n^3 + 25n^2 − 18 n + 35 o cualquier otra expresión que satisfaga las cinco condiciones dadas (habría en este caso que comprobar que si n ∈ N entonces 16 n^4 − 32 n^3 + 25 n^2 − 18 n + 35 ∈ N). También podría haberse definido la aplicación como f (0) = 35, f (1) = 26, f (2) = 99, f (3) = 638, f (4) = 2411 y f (n) = n si n ≥ 5.

Definición 11. Si f : X → Y es una aplicación, se define el grafo de f como el conjunto:

G(f ) = {(x, f (x)) : x ∈ X}

es decir, las parejas formadas por un elemento y su imagen.

Notemos que G(f ) es un subconjunto de X × Y. Muchos autores definen una aplicación a partir de su grafo. Una aplicación de X en Y sería un subconjunto G de X × Y de forma que para cualquier x ∈ X existe un único elemento y ∈ Y tal que (x, y) ∈ G.

Ejemplo 1.2.2. Por ejemplo, si X = { 1 , 2 , 3 }, Y = {a, b, c, d} y f : X → Y es la aplicación dada por f (1) = b, f (2) = c y f (3) = b, entonces G(f ) = {(1, b), (2, c), (3, b)}. Notemos que el conjunto {(1, b), (2, c), (3, b)} determina totalmente a la aplicación f. Para cualquier conjunto X tenemos una aplicación X → X dada por x 7 → x. Esta aplicación se conoce como aplicación identidad, y se denota como IdX o (^1) X. Si A es un subconjunto de un conjunto X, tenemos la aplicación i : A → X definida como i(x) = x. Esta aplicación se conoce como aplicación inclusión. Como caso especial, consideramos que para cualquier conjunto X hay una aplicación ∅ → X. Su grafo es el único subconjunto de ∅ × X = ∅. La siguiente regla ab 7 → a + b no define ninguna aplicación Q → Z, ya que no determina de forma única la imagen de un elemento. Por ejemplo, 12 podría tener como imagen a 3 , a 6 (pues 12 = 24 ), a − 3 y en general a cualquier múltiplo no nulo de 3. El único elemento que tendría determinada su imagen es − 1.

1.2.2. Imagen directa e imagen inversa.

Definición 12. Sea f : X → Y. Definimos entonces dos nuevas aplicaciones.

f∗ : P(X) → P(Y ) f∗(A) = {f (x) : x ∈ A} f ∗^ : P(Y ) → P(X) f ∗(B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B}

Es decir, si A es un subconjunto de X, entonces f∗(A) es el conjunto formado por todas las imágenes de los elementos de A, mientras que f ∗(B) está formado por todos los elementos de X cuyas imágenes pertenecen a B. Las aplicaciones f∗ y f ∗^ se conocen como aplicaciones imagen directa e imagen iversa respectivamente. Al conjunto f∗(X) se le conoce como la imagen de f. Será denotado como Im(f ). Algunos autores escriben f (A) en lugar de f∗(A) y f −^1 (B) en lugar de f ∗(B).

Ejemplo 1.2.3. Sea f : Z → N la aplicación dada por f (x) = x^2. Sean A 1 = { 0 , 1 , 2 }, A 2 = {− 3 , − 1 , 0 , 3 }, B 1 = { 1 , 2 , 3 , 4 } y B 2 = { 3 , 5 , 7 }. Entonces: f∗(A 1 ) = { 0 , 1 , 4 }, pues f (0) = 0, f (1) = 1 y f (2) = 4. f∗(A 2 ) = { 0 , 1 , 9 }, pues f (0) = 0, f (−1) = 1 y f (−3) = f (3) = 9. f ∗(B 1 ) = { 1 , − 1 , 2 , − 2 } pues f (1) = f (−1) = 1 ∈ B 1 y f (2) = f (−2) = 4 ∈ B 1 , y no hay ningún otro número entero cuya imagen por f pertenezca a B 1. f ∗(B 2 ) = ∅, pues no hay ningún número entero cuyo cuadrado sea 3 , 5 ó 7.

Propiedades. Sean X e Y dos conjuntos, A 1 , A 2 ⊆ X y B 1 , B 2 ⊆ Y y f : X → Y una aplicación. Entonces:

1. f∗(A 1 ∪ A 2 ) = f∗(A 1 ) ∪ f∗(A 2 ).

Jesús García Miranda

1.2. Aplicaciones 11 Dada una aplicación f : X → X, denotaremos como f 2 a la composición f ◦ f. Más en general, definimos:

f 0 = IdX f n+1^ = f n^ ◦ f

Ejemplo 1.2.6. Si f : N → N es la aplicación dada por f (n) = 2n + 1, entonces f 2 (n) = f (f (n)) = f (2n + 1) = 2(2n + 1) + 1 = 4n + 3, f 3 (n) = f 2 (f (n)) = f 2 (2n + 1) = 4(2n + 1) + 3 = 8n + 7. En general, puede verse que f k(n) = 2kn + 2k^ − 1. Comprueba esta afirmación por inducción.

1.2.4. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

Aplicaciones inyectivas.

Definición 14. Una aplicación f : X → Y se dice inyectiva cuando elementos distintos del dominio dan lugar a imágenes distintas. Es decir, dados x 1 , x 2 ∈ X, x 1 6 = x 2 =⇒ f (x 1 ) 6 = f (x 2 ). O lo que es lo mismo, f (x 1 ) = f (x 2 ) =⇒ x 1 = x 2.

También podría haberse definido una aplicación inyectiva como aquella aplicación tal que para cada y ∈ Y el conjunto f ∗({y}) tiene a lo sumo un elemento.

Ejemplo 1.2.7. La aplicación f : N → N dada por f (n) = 2n es inyectiva, pues dos números distintos no pueden tener el mismo doble. Es decir, n 6 = n′^ =⇒ 2 n 6 = 2n′. La aplicación f : N → N dada por f (n) = n^2 es inyectiva, mientras que g : Z → Z dada por g(n) = n^2 no lo es, pues g(1) = g(−1) (es decir, dos elementos distintos tienen la misma imagen).

Propiedades. Para cualquier conjunto X, la aplicación IdX es inyectiva. La composición de aplicaciones inyectivas es inyectiva. Si g ◦ f es inyectiva, entonces podemos asegurar que f lo es, pero g podría serlo o no.

Ejemplo 1.2.8. Sean X = { 1 , 2 , 3 }, Y = {a, b, c, d} y Z = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 }. Consideramos las aplicaciones f : X → Y dada por f (1) = a, f (2) = c y f (3) = d y g : Y → Z dada por g(a) = 0, g(b) = 4, g(c) = 4, g(d) = 8. Entonces g ◦ f es inyectiva (la imagen de 1 es 0, la imagen de 2 es 4 y la imagen de 3 es 8), mientras que g no lo es, ya que g(b) = g(c).

Aplicaciones sobreyectivas.

Definición 15. Sea f : X → Y. Se dice que f es sobreyectiva si para cualquier y ∈ Y existe x ∈ X tal que f (x) = y (es decir, para cualquier y ∈ Y el conjunto f ∗({y}) tiene al menos un elementos - es distinto del conjunto vacío -).

Ejemplo 1.2.9. Por ejemplo, la aplicación f : Z → N dada por f (x) = |x| es sobreyectiva, pues para cualquier número natural n hay un número entero (el propio n, o −n) cuyo valor absoluto es n. Esta aplicación no es inyectiva, pues f (2) = f (−2). La aplicación f : Z → Z x 7 → x + 1 es sobreyectiva, pues dado un número entero y, hay otro número entero x = y − 1 tal que f (x) = y. Sin embargo, la aplicación f : N → N dada por f (n) = n + 1 no es sobreyectiva, pues no hay ningún número natural que al sumarle 1 nos de 0.

Propiedades. Para cualquier conjunto X, la aplicación IdX es sobreyectiva. La composición de aplicaciones sobreyectivas es sobreyectiva. Si f : X → Y , g : Y → Z son aplicaciones tales que g ◦ f es sobreyectiva, entonces también lo es g, pues dado z ∈ Z sabemos que existe x ∈ X tal que g(f (x)) = z. Basta tomar y = f (x) y se tiene que g(y) = z.

Ejemplo 1.2.10. Tomamos, por ejemplo, f : N → N la aplicación n 7 → 2 n, y g : N → N la aplicación n 7 → E(n/2) (donde E(x) denota la parte entera de x). Entonces (g ◦ f )(n) = g(f (n)) = g(2n) = E(2n/2) = E(n) = n, luego g ◦ f = IdN que es sobreyectiva. Es claro que f no lo es.

Jesús García Miranda

12 CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES

Aplicaciones biyectivas. Aplicación inversa.

Definición 16. Una aplicación f : X → Y se dice que es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. O lo que es lo mismo, para cada y ∈ Y , el conjunto f ∗({y}) tiene exactamente un elemento.

Ejemplo 1.2.11. La aplicación f : Z → Z dada por f (x) = x + 2 es biyectiva, mientras que la aplicación f : N → N n 7 → n + 2 no lo es, pues no es sobreyectiva. La aplicación f : Q → Q definida como f (x) = 2x es biyectiva. La misma expresión, pero tomando como dominio y codominio Z define una aplicación que no es biyectiva (pues no es sobreyectiva).

Propiedades. Para cualquier conjunto X la aplicación IdX es biyectiva. La composición de aplicaciones biyectivas es una aplicación biyectiva. Si f : X → Y y g : Y → Z son aplicaciones tales que g ◦ f es biyectiva, lo más que podemos asegurar es que f es inyectiva y que g es sobreyectiva.

Definición 17. Sea f : X → Y una aplicación. Se dice que f tiene inversa si existe g : Y → X tal que g ◦ f = IdX y f ◦ g = IdY.

Ejemplo 1.2.12. La aplicación f : Z → Z x 7 → x + 2 tiene como inversa la aplicación g : Z → Z x 7 → x − 2. Para cualquier conjunto X la aplicación IdX : X → X tiene como inversa a ella misma.

Propiedad. Dada una aplicación f : X → Y se tiene que f tiene inversa si, y sólo si, f es biyectiva. Vamos a demostrarlo. Supongamos que f tiene inversa. Sea g : Y → X una inversa. Entonces f ◦ g = IdY , luego f ◦ g es sobreyectiva. Vimos antes que en ese caso f es sobreyectiva. También g ◦ f = IdX , luego g ◦ f es inyectiva, lo que implica que f es inyectiva. Por tanto, f es inyectiva y sobreyectiva. Recíprocamente, supongamos ahora que f es biyectiva. Vamos a definir g : Y → X. Para esto, sea y ∈ Y. Por ser f sobreyectiva, f ∗({y}) es distinto del vacío, y por ser f inyectiva, f ∗({y}) tiene a lo sumo un elemento, luego f ∗({y}) tiene exactamente un elemento. Definimos g(y) como el único elemento que pertenece a f ∗({y}). Es fácil comprobar que g, así definida, es una inversa para f.

Ejemplo 1.2.13. Consideramos f : N → N la aplicación definida como f (n) = 2n. Esta aplicación es inyectiva, pero no sobreyectiva (pues el 1 no pertenece a la imagen de f ). Vimos que si tomamos la aplicación g : N → N n 7 → E(n/2) se tiene que g ◦ f = IdN. Esta aplicación no es una inversa para f , aunque g ◦ f = IdN, ya que f ◦ g 6 = IdN (por ejemplo, (f ◦ g)(3) = f (g(3)) = f (1) = 2). La aplicación g se dice que es una inversa por la izquierda de f. De la misma forma se dice que la aplicación f es una inversa por la derecha de g.

Puede demostrarse que una aplicación f es inyectiva si, y sólo si, tiene inversas por la izquierda, y es sobreyectiva si, y sólo si, tiene inversas por la derecha. Una aplicación f : X → Y puede tener varias inversas por la izquierda o varias inversas por la derecha. Pero si tiene inversa por la izquierda y por la derecha, entonces ambas deben coincidir, pues si g : Y → X es una inversa por la derecha y h : Y → X es una inversa por la izquierda, se tiene que g = IdX ◦ g = (h ◦ f ) ◦ g = h ◦ (f ◦ g) = h ◦ IdY = h. De aquí deducimos que si una aplicación tiene inversa, entonces sólo puede tener una. A esta aplicación la denotaremos como f −^1.

Ejemplo 1.2.14. Sean X = { 1 , 2 } e Y = {a, b, c}, y f : X → Y la aplicación dada por f (1) = b, f (2) = a. Entonces f es inyectiva, y por lo dicho antes tiene inversa por la izquierda. En este caso tiene 2 inversas por la izquierda, que son:

Y

g 1 −→ X Y g 2 −→ X a 7 → 2 a 7 → 2 b 7 → 1 b 7 → 1 c 7 → 1 c 7 → 2

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14 CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES

h(x) =

f (x) si x < m g(x − m) si x ≥ m

es una biyección. Vamos ahora a calcular cuando vale |A ∪ B| sin que necesariamente A ∩ B sea igual al conjunto vacío. Intuitivamente, si sumamos el cardinal de A y el cardinal de B, los elementos de A ∩ B los estamos contando dos veces, luego habrá que restarlos una vez para haber contado todos los elementos de A ∪ B exactamente una vez. Por tanto, |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Una demostración de esto podría ser como sigue. En primer lugar, se tiene que es fácil comprobar que A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), y que (A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅. Por tanto, |A| = |A \ B| + |A ∩ B|, luego |A \ B| = |A| − |A ∩ B|. De la misma forma, |B \ A| = |B| − |A ∩ B|. Puesto que A ∪ B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B) y la intersección de dos cualesquiera de estos conjuntos es el conjunto vacío se tiene que

|A ∪ B| = |A \ B| + |B \ A| + |A ∩ B| = |A| − |A ∩ B| + |B| − |A ∩ B| + |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Cardinal del producto cartesiano. En cuanto al producto cartesiano, se tiene que |A × B| = |A| · |B|. Si A = {a 1 , · · · , am} y B = {b 1 , · · · , bn}, por cada elemento ai ∈ A tenemos n elementos (ai, b 1 ), · · · , (ai, bn) de A × B. Por tanto, el cardinal del producto cartesiano debe ser el producto de cada uno de los factores, es decir:

|A × B| = |A| · |B|

Para comprobarlo, vamos a ver que existe una biyección f : m × n → p, donde p = m · n. Esta biyección viene dada por f (x, y) = x + m · y.

f (0, 0) = 0 f (0, 1) = m

..................... f (0, n − 1) = mn − m

f (1, 0) = 1 f (1, 1) = m + 1

......................... f (1, n − 1) = mn − m + 1

f (m − 1 , 0) = m − 1 f (m − 1 , 1) = 2m − 1

......................... f (m − 1 , n − 1) = mn − 1

La inversa de f sería la aplicación g : p → m × n z 7 → (z mód m, z div m) Cardinal de un conjunto de aplicaciones. Por último vamos a calcular el número de aplicaciones de X en Y en función del número de elementos de X y de Y. Supongamos que X = {a 1 , · · · , am} e Y = {b 1 , · · · , bn}. Entonces, para dar una aplicación X → Y debemos elegir el valor de f (a 1 ), para lo cual tenemos n posibilidades; el valor de f (a 2 ), para lo cual tenemos otras n posibilidades, y así hasta f (am), para lo cual volvemos a tener n posibilidades. En total, podemos hacer un total de n · n · · · n = nm^ posibles aplicaciones. Visto de otra forma, si p = nm^ y Z = {α : m → n|α es aplicación}, tenemos que definir una biyección h : Z → p. Esta biyección podría ser:

h(α) = α(0) + α(1) · n + · · · + α(m − 1) · nm−^1

La inversa vendría dada como sigue: para un elemento x tal que 0 ≤ x < p, calculamos su expresión en base n, y nos quedaría x = (am− 1 · · · a 1 a 0 )n (donde am− 1 podría valer 0 ). Al elemento x le haríamos corresponder la aplicación α : m → n dada por α(i) = ai. En base a esto, es usual, dado dos conjuntos X e Y , denotar como Y X^ al conjunto de todas las aplicaciones f : X → Y. Cardinal del conjunto potencia. Finalmente, vamos a calcular el cardinal del conjunto P(X) en función del cardinal de X. Sea X un conjunto de cardinal n. Supongamos que X = {a 1 , a 2 , · · · , an}. Para cada subconjunto A ⊆ X definimos la aplicación característica χA : X → { 0 , 1 } como:

χA(ai) =

1 si ai ∈ A 0 si ai 6 ∈ A

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1.3. Relaciones 15 Por ejemplo, χ∅ es la aplicación constante 0, mientras que χX es la aplicación constante 1. Se tiene que A ⊆ B si, y sólo si, para cualquier a ∈ X, χA(a) ≤ χB (a). De esta forma, hemos definido una aplicación

P(X) −→ { 0 , 1 }X A 7 → χA

que es biyectiva. Es inyectiva pues dos subconjuntos de X diferentes dan lugar a aplicaciones caracterís- ticas diferentes, y es sobreyectiva pues cualquier aplicación X → { 0 , 1 } es la aplicación característica de algún subconjunto de X (basta tomar la imagen inversa de { 1 }). Por tanto, ambos conjuntos tienen igual cardinal. Como el cardinal del segundo conjunto es 2 |X| deducimos que |P(X)| = 2|X|. Por ejemplo, vamos a tomar X = {a, b, c}. Vamos a escribir todas las aplicaciones X → { 0 , 1 }, y el subconjunto de X con el que se corresponden:

a 7 → 0 b 7 → 0 c 7 → 0

A = ∅

a 7 → 0 b 7 → 0 c 7 → 1

A = {c}

a 7 → 0 b 7 → 1 c 7 → 0

A = {b}

a 7 → 0 b 7 → 1 c 7 → 1

A = {b, c}

a 7 → 1 b 7 → 0 c 7 → 0

A = {a}

a 7 → 1 b 7 → 0 c 7 → 1

A = {a, c}

a 7 → 1 b 7 → 1 c 7 → 0

A = {a, b}

a 7 → 1 b 7 → 1 c 7 → 1

A = {a, b, c}

1.3. Relaciones

Definición 19. Sea X un conjunto. Una relación en X es un subconjunto de X × X. Si R es una relación en X, y (x, y) ∈ R, escribiremos normalmente xRy, y diremos x está relacionado con y (con la relación R). Si el elemento (x, y) no pertenece a R, escribiremos x Ry 6.

Para dar una relación en un conjunto X, podemos, bien enumerar las parejas de elementos que están relacionados, bien dar las condiciones que deben cumplir dos elementos para estar relacionados.

Ejemplo 1.3.1. Sea X = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }, y la relación R = {(0, 0), (0, 2), (0, 4), (2, 1), (2, 3), (4, 0), (4, 2), (4, 4)}. Entonces 0 R 0 , 2 R 1 , 1 R 6 2 , 3 6 R 2 , 4 R 2 , 4 6 R 3. En este caso que 0 está relacionado con 0, 2 está relacionado con 1, pero 1 no está relacionado con 2. También podríamos haber definido R como xRy si x + 2y es múltiplo de 4. De la primera forma hemos enumerado todas las parejas que están relacionadas, mientras que en la segunda hemos dicho la condición que deben cumplir dos elementos para estar relacionados.

Definición 20. Si X es un conjunto, definimos la relación ∆ como ∆ = {(x, x) : x ∈ X}. O si preferimos: x∆y si, y sólo si, x = y. Si X es un conjunto y R una relación en X, definimos la relación inversa R−^1 como xR−^1 y si yRx. Si X es un conjunto, y R y S dos relaciones en X, definimos la relación R ◦ S como x(R ◦ S)Y si existe z tal que xRz y zRy.

Ejemplo 1.3.2. Si R es la relación del ejemplo anterior, entonces R−^1 = {(0, 0), (2, 0), (4,0), (1, 2), (3, 2), (0, 4), (2, 4), (4, 4)} R ◦ R = {(0, 0), (0, 1), (0, 3), (0, 2), (0, 4), (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}. Por ejemplo, 0(R ◦ R)2 pues 0 R 0 y 0 R 2 (hemos tomado z = 0). 4(R ◦ R)1 ya que 4 R 2 y 2 R 1 (aquí hemos tomado z = 2).

Definición 21. Sea X un conjunto y R una relación en X. Para cada x ∈ X definimos la clase de x como [x] = {y ∈ X : xRy}.

Ejemplo 1.3.3. Para la relación R del ejemplo anterior tenemos que

Jesús García Miranda

1.3. Relaciones 17 Para cualquier conjunto X, la relación de igualdad (xRy si x = y) es una relación de equivalencia.

La relación xRy si x + y es par definida en N es una relación de equivalencia.

Sea m un número natural. Definimos en Z la relación ≡m como:

x ≡m y si m|(y − x)

Esta relación es de equivalencia, pues es:

Reflexiva. Ya que para cualquier x ∈ Z se tiene que x ≡m x, pues m| 0. Simétrica. Pues si x ≡m y significa que m|(y − x), luego m| − (y − x), es decir, m|(x − y), y por tanto, y ≡m x. Transitiva. Si x ≡m y e y ≡m z significa que tanto y − x como z − y son múltiplos de m, luego también lo es (y − x) + (z − y) = z − x. Es decir, x ≡m z.

Esta es la relación de congruencia módulo m.

Si f : X → Y es una aplicación, definimos en X la relación Rf como sigue: xRf y si f (x) = f (y). Esta relación es una relación de equivalencia.

En R^2 se define la relación (x, y)R(x′, y′) si |x| + |y| = |x′| + |y′|. Esta relación es de equivalencia.

Sea X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }. La relación

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}

es de equivalencia.

Si X es un conjunto y R una relación de equivalencia en X, a la clase de un elemento x ∈ X la llamaremos clase de equivalencia del elemento x. Una relación de equivalencia en un conjunto X clasifica a los elementos del conjunto X. Esta clasifi- cación viene dada por las clases de equivalencia.

Ejemplo 1.3.7. Para cualquier relación de equivalencia en un conjunto X, la clase de equivalencia de un elemento es distinta del vacío (pues el propio elemento pertenece a su clase, al ser la relación reflexiva).

Consideramos la relación de igualdad en un conjunto X, que vimos que es de equivalencia. Entonces, para cualquier x ∈ X se tiene que [x] = {x}.

Vamos a calcular las clases de equivalencia para la relación de congruencia módulo m. Vamos a escribir [a]m para denotar la clase de equivalencia de a bajo la relación ≡m. Empezamos para m = 2. Tenemos que

0 ≡ 2 x ⇐⇒ 2 |(x − 0) ⇐⇒ 2 |x ⇐⇒ x es par

Por tanto, [0] 2 = {x ∈ Z : 0 ≡ 2 x} = {· · · , − 4 , − 2 , 0 , 2 , 4 , 6 , · · · }. De la misma forma se comprueba que [1] 2 = {x ∈ Z : 1 ≡ 2 x} = {· · · , − 5 , − 3 , − 1 , 1 , 3 , 5 , · · · }. Podemos ver que si x ∈ Z y x es par, entonces [x] 2 = [0] 2 , mientras que si x es impar entonces [x] 2 = [1] 2. Si ahora lo hacemos para m = 3 tenemos que

0 ≡ 3 x ⇐⇒ 3 |(x − 0) ⇐⇒ x = 3k para algún k ∈ Z

Luego [0] 3 = {· · · , − 6 , − 3 , 0 , 3 , 6 , · · · }.

Jesús García Miranda

18 CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES

De la misma forma se comprueba que [1] 3 = {· · · , − 8 , − 5 , − 2 , 1 , 4 , 7 , · · · } y que [2] 3 = {· · · , − 7 , − 4 , − 1 , 2 , 5 , 8 , · · · }. Para cualquier n ∈ Z, su clase de equivalencia coincide con alguna de estas tres. En general, se tiene que [0]m = {· · · , − 3 m, − 2 m, −m, 0 , m, 2 m, · · · } = {n ∈ Z|n mód m = 0} [1]m = {· · · , − 3 m + 1, − 2 m + 1, −m + 1, 1 , m + 1, 2 m + 1, · · · } = {n ∈ Z|n mód m = 1} [2]m = {· · · , − 3 m + 2, − 2 m + 2, −m + 2, 2 , m + 2, 2 m + 2, · · · } = {n ∈ Z|n mód m = 2} [m − 1]m = {· · · , − 2 m − 1 , −m − 1 , − 1 , m − 1 , 2 m − 1 , 3 m − 1 , · · · } = {n ∈ Z|n mód m = m − 1 } [n]m = [n mód m]m.

La relación anterior puede ser vista como la relación Rf para la aplicación f : Z → N definida como f (n) = n mód m.

Si X = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } y R la relación dada en el ejemplo 1.3.6 entonces se tiene que [1] = [2] = { 1 , 2 } y [3] = [4] = [5] = { 3 , 4 , 5 }. Podemos considerar la aplicación f : X → X dada por 1 7 → 1 , 2 7 → 1 , 3 7 → 3 , 4 7 → 3 , 5 7 → 3. Entonces R = Rf.

Para la relación R definida en R^2 como (x, y)R(x′, y′) si |x| + |y| = |x′^ + |y′|, la clase de equiva- lencia de un elemento (x, y) ∈ R^2 es un cuadrado que tiene los vértices en los ejes coordenados, concretamente en los puntos (z, 0), (0, z), (−z, 0), (0, −z), donde z = |x| + |y|.

Vemos en estos ejemplos que si tenemos un conjunto X y una relación de equivalencia en X, dados dos elementos de X, o sus clases de equivalencia no tienen ningún elemento en común, o los tienen todos (es decir, o son disjuntas o son iguales). Propiedad. Sea X un conjunto, y R una relación de equivalencia en X. Sean x, y ∈ X. Entonces:

1. Si xRy se tiene que [x] = [y].
2. Si x Ry 6 entonces [x] ∩ [y] = ∅.

Vamos a demostrarlo. En primer lugar, veamos que ocurre si xRy. Sea z ∈ [x]. Entonces xRz. Puesto que xRy y R es simétrica tenemos que yRx. Y al ser R transitiva, podemos deducir que yRz, es decir z ∈ [y]. Por tanto hemos probado que [x] ⊆ [y]. De la misma forma se prueba que [y] ⊆ [x]. En el caso de que x 6 Ry, si hubiera un elemento z ∈ [x] ∩ [y] tendríamos xRz e yRz, luego zRy y por tanto xRy lo cual es imposible. Por tanto, ese elemento no existe y la intersección es vacía.

Definición 24. Sea X un conjunto, y R una relación de equivalencia. Definimos el conjunto cociente X/R como el conjunto formado por las clases de equivalencia, es decir:

X/R = {[x] : x ∈ X}

Ejemplo 1.3.8.

Vamos a llamar Zm al conjunto Z/ ≡m. Entonces: Z 2 = {[0] 2 , [1] 2 }. Tiene exactamente 2 elementos. Z 3 = {[0] 3 , [1] 3 , [2] 3 }. Tiene exactamente 3 elementos. Zm = {[0]m, [1]m, · · · [m − 1]m}. Tiene exactamente m elementos. Puesto que [0] 3 = [−12] 3 , [1] 3 = [25] 3 y [2] 3 = [50] 3 , podemos escribir que Z 3 = {[−12] 3 , [25] 3 , [50] 3 }. En general, para abreviar la notación escribiremos a en lugar de [a]m. El contexto nos aclarará si estamos considerando a como un número entero o como un elemento de Zm. Con esta notación tenemos que Zm = { 0 , 1 , 2 , · · · , m − 1 }.

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