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Capítulo 2
El anillo de polinomios sobre un cuerpo
En este capítulo pretendemos hacer un estudio sobre polinomios paralelo al que hicimos en el capítulo anterior sobre los números enteros. Para esto, es necesario conocer la aritmética de los polinomios, y, tal y como se hizo en el capítulo anterior, el algoritmo de la división. Antes de adentrarnos en los polinomios, daremos algunos conceptos básicos sobre anillos.
Definición 12. Sea A un conjunto. Se dice que A tiene estructura de anillo conmutativo si en A tenemos definidas dos operaciones, llamadas suma y producto, y denotadas por + y ·, que satisfacen las siguientes propiedades:
La suma es asociativa. Para cualesquiera a, b, c ∈ A, a + (b + c) = (a + b) + c.
La suma es conmutativa. Para cualesquiera a, b ∈ A, a + b = b + a.
Elemento neutro de la suma. Existe un elemento 0 ∈ A tal que para cualquier a ∈ A se verifica que a + 0 = a.
Elemento opuesto. Dado a ∈ A, existe b ∈ A tal que a + b = 0. Este elemento, que es único, se denota por −a.
El producto es asociativo. Para cualesquiera a, b, c ∈ A, a · (b · c) = (a · b) · c.
El producto es conmutativo. Para cualesquiera a, b ∈ A, a · b = b · a.
Elemento neutro del producto. Existe un elemento 1 ∈ A tal que para cualquier a ∈ A se verifica que a · 1 = a.
Distributividad Para cualesquiera a, b, c ∈ A se verifica que a · (b + c) = a · b + a · c.
Básicamente un anillo es un conjunto en el que podemos sumar, restar y multiplicar. Si la multipli- cación es conmutativa, el anillo se dice conmutativo.
Ejemplo 2.0.1. Son ejemplos de anillos conmutativos Z, Q, R, C y Zn. No son anillos conmutativos, por ejemplo, N (pues no todo elemento tiene opuesto para la suma), 2 Z (pues no hay elemento neutro para el producto), M 2 (Q) (pues el producto no es conmutativo).
Definición 13. Sea A un anillo. Se define la característica de A como sigue: Tomamos el elemento neutro del producto 1 ∈ A, y definimos para cada número natural n ≥ 1 el elemento de A siguiente:
34 EL ANILLO DE POLINOMIOS SOBRE UN CUERPO
n · 1 = 1 + 1 + ︸ ︷︷ · · · + 1︸ n veces Entonces:
Car(A) =
0 si n · 1 6 = 0 para cualquier n ≥ 1 n si n es el menor número natural no nulo para el que n · 1 = 0
Ejemplo 2.0.2. La característica de Z, Q, R y C vale cero, mientras que la característica de Zn vale n.
A continuación, vamos a destacar dentro de un anillo, algunos elementos notables:
Definición 14. Sea A un anillo conmutativo.
- Un elemento a ∈ A se dice divisor de cero, si existe b ∈ A, b 6 = 0, tal que a · b = 0.
- Un elemento u ∈ A se dice unidad si existe v ∈ A tal que u · v = 1 (es decir, u es divisor de 1 ).
Denotaremos por U(A) al conjunto de las unidades del anillo A. Nótese que un elemento no puede ser simultáneamente unidad y divisor de cero.
Ejemplo 2.0.3.
- En cualquier anillo, a = 0 es un divisor de cero (pues 0 · 1 = 0, es decir, basta tomar b = 1) y u = 1 es una unidad (pues 1 · 1 = 1, es decir, basta tomar v = 1)
- Si un elemento u ∈ A es una unidad, entonces existe únicamente un elemento v ∈ A tal que u·v = 1. En tal caso, a v lo denotaremos como u−^1. Sin embargo, si a es un divisor de cero pueden existir varios elementos b ∈ A, distintos de cero, tales que a · b = 0. Así, tomamos 8 ∈ Z 12. Este elemento es un divisor de cero, pues 8 · 6 = 0. Sin embargo, también 8 · 9 = 0.
- U(Z) = { 1 , − 1 }, U(Q) = Q∗, U(R) = R∗, U(C) = C∗. El único divisor de cero de cada uno de los anillos anteriores es 0.
- Un elemento a ∈ Zn es unidad si, y sólo si, mcd(a, n) = 1, como comprobamos en el capítulo anterior. Un elemento a ∈ Zn es un divisor de cero si, y sólo si, mcd(a, n) 6 = 1. Se tiene por tanto, que un elemento de Zn, o es unidad, o es divisor de cero. Esto último no ocurre en cualquier anillo, así, el elemento 2 ∈ Z no es unidad ni divisor de cero.
- Si u y v son unidades de un anillo conmutativo A, entonces u·v es unidad de A y (u·v)−^1 = u−^1 v−^1
Definición 15. Sea A un anillo conmutativo. Se dice que A es un dominio de integridad si el único divisor de cero es 0. Se dice que A es un cuerpo si U(A) = A∗.
Ejemplo 2.0.4.
- Son dominios de integridad Z, Q, R, C y Zp cuando p es un número primo.
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36 EL ANILLO DE POLINOMIOS SOBRE UN CUERPO
Las dos operaciones definidas satisfacen las siguientes propiedades:
La suma de polinomios es asociativa, es decir, p(x) + (q(x) + r(x)) = p(x) + q(x)) + r(x). Nótese que esta propiedad es necesaria para poder definir el producto tal y como se ha hecho aquí.
La suma de polinomios es conmutativa.
La suma tiene un elemento neutro. Éste será denotado por 0.
Dado p(x) ∈ A[x] existe q(x) ∈ A[x] tal que p(x) + q(x) = 0. Denotaremos como −p(x) a este polinomio.
El producto de polinomios es asociativo y conmutativo.
El producto tiene un elemento neutro. Éste será denotado por 1.
La suma es distributiva con respecto al producto.
Estas propiedades nos dicen que, si A es un anillo conmutativo, entonces A[x] es también un anillo conmutativo. Además, podemos identificar A como los elementos de A[x] de la forma p(x) = a, en cuyo caso A es un subanillo de A[x].
Ejemplo 2.1.2. Sea A = Z 12 , y sean p(x) = 2x^3 + 3x^2 + 7x + 9 y q(x) = 6x^2 + 5x + 4. Entonces:
− p(x) + q(x) = 2x^3 + (3 + 6)x^2 + (7 + 5)x + (9 + 4) = 2x^3 + 9x^2 + 1 − p(x) · q(x) = p(x) · (6x^2 ) + p(x) · (5x) + p(x) · 4 = (0x^5 + 6x^4 + 6x^3 + 6x^2 ) + (10x^4 + 3x^3 + 11x^2 + 9x) + (8x^3 + 0x^2 + 4x + 0) = 4 x^4 + 5x^3 + 5x^2 + x
Normalmente, para efectuar la multiplicación dispondremos los datos de la siguiente forma: p(x) 2 3 7 9 q(x) 6 5 4 p(x) · 4 8 0 4 0 p(x) · 5 x 10 3 11 9 p(x) · 6 x^2 0 6 6 p(x) · q(x) 0 4 5 5 1 0
luego el resultado final es 4 x^4 + 5x^3 + 5x^2 + x.
Daremos a continuación algunos conceptos referentes a los polinomios:
Definición 18. Sea A un anillo conmutativo y p(x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + a 1 x + a 0 ∈ A[x].
i) Si an 6 = 0 entonces se dice que el polinomio p(x) tiene grado n (gr(p(x)) = n). Nótese que no se ha definido el grado del polinomio 0. En ocasiones, consideraremos que el grado del polinomio 0 es − 1.
ii) Al elemento ak ∈ A se le llama coeficiente de grado k, y a la expresión akxk, término de grado k.
iii) El coeficiente de grado n de un polinomio de grado n se llama coeficiente líder, y a la expresión anxn^ término líder.
iv) El coeficiente de grado 0 de un polinomio se le llama término independiente.
v) Un polinomio cuyo coeficiente líder valga 1 se dice que es un polinomio mónico.
vi) Un polinomio que, bien tiene grado 0 , o bien es el polinomio 0 se dice que es un polinomio con- stante.
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2.1. Generalidades sobre polinomios 37 Ejemplo 2.1.3. Sean p(x) = 3x^3 +5x+2 y q(x) = x^4 +2x^3 +3x^2 +5x+8 dos polinomios con coeficientes en Z 11. Entonces:
- g(p(x)) = 3 y gr(q(x)) = 4.
- El coeficiente de grado 2 de p(x) es 0 , mientras que el coeficiente de grado 2 de q(x) es 3. El coeficiente de grado 5 de q(x) es cero.
- El coeficiente líder de p(x) es 3 , mientras que el coeficiente líder de q(x) es 1. Por tanto, q(x) es mónico, mientras que p(x) no lo es.
- Los términos independientes de p(x) y q(x) son 2 y 8 respectivamente.
- Ninguno de los dos polinomios son constantes.
Proposición 2.1.1. Sean p(x), q(x) ∈ A[x]. Entonces:
gr(p(x) + q(x)) ≤ m´ax{gr(p(x), q(x)}
gr(p(x) · q(x)) ≤ gr(p(x)) + gr(q(x))
La demostración de ambos hechos es fácil. Podría pensarse que en el segundo caso se da siempre la igualdad (gr(p(x) · q(x)) ≤ gr(p(x)) + gr(q(x))). Sin embargo, el ejemplo 2.1.2 nos muestra un caso en el que se da la desigualdad estricta. Es fácil comprobar que si p(x) o q(x) es mónico, entonces se verifica que gr(p(x) · q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x)). Terminamos esta sección estudiando la evaluación de un polinomio en un punto.
Definición 19. Sea A un anillo, p(x) = anxn^ + · · · + a 1 x + a 0 ∈ A[x] y a ∈ A. Se define la evaluación de p(x) en el punto a, Eva(p(x)) como el elemento de A:
Eva(p(x)) = anan^ + · · · + a 1 a + a 0
Dicho de otra forma, Eva(p(x)) es el resultado de sustituir en la expresión de p(x) el símbolo x por a. De esta forma tenemos definida una aplicación (morfismo de anillos) Eva : A[x] → A. Normalmente, escribiremos p(a) en lugar de Eva(p(x)).
Proposición 2.1.2. Dado A un anillo y p 1 (x), p 2 (x) ∈ A[x]
- Si q(x) = p 1 (x) + p 2 (x) entonces q(a) = p 1 (a) + p 2 (a) (es decir, Eva(p 1 (x) + p 2 (x)) = Eva(p 1 (x)) + Eva(p 2 (x)).
- Si q(x) = p 1 (x) · p 2 (x) entonces q(a) = p 1 (a) · p 2 (a) (es decir, Eva(p 1 (x) · p 2 (x)) = Eva(p 1 (x)) · Eva(p 2 (x)).
Usando la aplicación evaluación, cada polinomio de A[x] determina una aplicación A → A, dada por a 7 → p(a).
Ejemplo 2.1.4.
- El polinomio x^3 + 3x^2 + 2x + 2 ∈ Z 5 [x] determina la aplicación Z 5 → Z 5 siguiente:
0 7 → 2 1 7 → 3 2 7 → 1 3 7 → 2 4 7 → 2
- El polinomio x^2 + x + 1 ∈ Z 2 [x] determina la aplicación
0 7 → 1 1 7 → 1
es decir, la aplicación constante 1.
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2.2. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 39 Los polinomios c(x) y r(x) son llamados cociente y resto respectivamente.
Demostración: Demostraremos la existencia de los polinomios. La unicidad se deja como ejercicio. La demostración la haremos por inducción sobre el grado de p(x). El caso p(x) = 0 queda fuera de esta demostración, pues no tiene grado; claro que para p(x) = 0 basta tomar c(x) = r(x) = 0. Procedamos ya a la inducción. Sea m = gr(q(x)) y n = gr(p(x)). Paso 1 Para n = 0, 1 , · · · , m − 1 se tiene que p(x) = q(x) · 0 + p(x), y gr(p(x)) < gr(q(x)), luego ya está hecho. Paso 2 Supongamos que el resultado es cierto para todo polinomio de grado menor que n (incluimos el polinomio 0 ). Si el coeficiente líder de p(x) es an y el coeficiente líder de q(x) es bm, entonces se tiene que p(x) − an(bm)−^1 xn−mq(x) es un polinomio de grado menor que n (¿por qué?), luego existen c 1 (x) y r(x) tales que
p(x) − an(bm)−^1 xn−mq(x) = q(x) · c 1 (x) + r(x)
gr(r(x)) < m ó r(x) = 0.
Basta entonces tomar c(x) = c 1 (x)+an(bm)−^1 xn−m, y los polinomios c(x) y r(x) satisfacen las condiciones requeridas. •
Nótese que si en lugar de considerar un cuerpo consideramos un anillo conmutativo cualquiera, y p(x), q(x) son dos polinomios tales que el coeficiente líder de q(x) es una unidad, entonces podría repetirse la demostración. Por tanto, si p(x), q(x) ∈ A[x] y q(x) es mónico, existe únicos c(x), r(x) ∈ A[x] tales que p(x) = q(x) · c(x) + r(x), y gr(r(x)) < gr(q(x)) o r(x) = 0.
Ejemplo 2.2.2. Calculemos el cociente y el resto de la división del polinomio p(x) = 2x^4 + 3x^3 + 5x + 1 entre q(x) = 3x^3 + x + 6 en Z 7 [x]. Lo haremos siguiendo los pasos hechos en la demostración precedente. Notemos en primer lugar que gr(p(x)) > gr(q(x)). Calculamos 3 −^1. Se tiene que 3 −^1 = 5. Tomamos entonces el término 2 · 5 · x^4 −^3 = 3x. Hallamos p 1 (x) = p(x) − 3 xq(x) = p(x) + 4xq(x) = 3x^3 + 4x^2 + x + 1. Dado que gr(p 1 (x)) ≥ gr(q(x)) continuamos dividiendo. Tomamos el término 3 · 5 x^3 −^3 = 1 Hallamos p 2 (x) = p 1 (x) − 1 q(x) = p 1 (x) + 6q(x) = 4x^2 + 2. Dado que gr(p 2 (x)) < gr(q(x)) la división ha terminado. El cociente es c(x) = 3x + 1 y el resto r(x) = 4x^2 + 2. Los cálculos podemos disponerlos como sigue: 2 3 0 5 1 | 3 0 1 6 5 0 4 3 3 1 3 4 1 1 4 0 6 1 4 0 2
Si analizamos el estudio que hicimos de los números enteros, podemos ver como el algoritmo de la división resultó clave en el desarrollo posterior. A partir de él se pudo probar la existencia de máximo común divisor y calcularlo; encontrar los coeficientes de Bezout, que luego fueron la base para la resolución de congruencias. Ahora, en K[x] tenemos también un algoritmo de división, luego todo lo dicho para números enteros vale ahora para polinomios. En lo que sigue, trasladaremos los resultados del tema anterior al caso de los polinomios, incidiendo en las particularidades de éstos.
Nota: Un anillo A, se dice que es un dominio euclídeo si en él tenemos definida una aplicación grado, g : A∗^ → N satisfaciendo dos propiedades:
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40 EL ANILLO DE POLINOMIOS SOBRE UN CUERPO
g(ab) ≥ g(a) para b 6 = 0 Para todo a, b ∈ A, b 6 = 0, existen q, r ∈ A tales que a = bq + r y g(r) < g(a)
Es decir, un Dominio Euclídeo viene a ser un anillo en el que tenemos definida una división, con resto. Tenemos entonces que Z y K[x] son dominios euclídeos (las funciones grado son, en el caso de Z el valor absoluto, y en el caso de K[x] el grado). En un dominio euclídeo se verifica el teorema de Bezout, el teorema chino del resto, el teorema de factorización única, etc.
Definición 21. Sean p(x), q(x) ∈ K[x], con q(x) 6 = 0. Se definen los polinomios p(x) mód q(x) y p(x) div q(x) como el resto y el cociente de dividir p(x) entre q(x). Cuando p(x) mód q(x) = 0, denotaremos por p q((xx)) al polinomio p(x) div q(x).
Ejemplo 2.2.3.
- En Z 3 [x], se verifica que:
x^5 + x^4 + 2x^3 + x^2 + x + 1 mód x^2 + 2x + 1 = 2 x^5 + x^4 + 2x^3 + x^2 + x + 1 div x^2 + 2x + 1 = x^3 + 2x^2 + 2.
- En Z 5 [x]:
x^5 + x^4 + 2x^3 + x^2 + x + 1 mód x^2 + 2x + 1 = 6x x^5 + x^4 + 2x^3 + x^2 + x + 1 div x^2 + 2x + 1 = x^3 + 4x^2 + 3x + 1.
Definición 22. Sea p(x) ∈ A[x] y a ∈ A. Se dice que a es una raíz de p(x) si p(a) = 0.
Ejemplo 2.2.4. El polinomio p(x) = x^5 + x^4 + x^3 + 2x^2 + 1 ∈ Z 3 [x] tiene a x = 1 por raíz, pues p(1) = 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 0. Sin embargo, 0 no es raíz pues p(0) = 1 y 2 tampoco es raíz pues p(2) = 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2 · 22 + 1 = 2 + 1 + 2 + 2 + 1 = 2.
El siguiente resultado es un conocido teorema referente a la división por el polinomio x − a.
Teorema 2.2.2 (Teorema del resto). Sea p(x) ∈ A[x] y a ∈ A. Entonces el resto de dividir p(x) entre x − a es el resultado de evaluar p(x) en el punto a. Dicho de otra forma
p(x) mód x − a = p(a)
Demostración: Si dividimos p(x) entre x − a nos da un polinomio de grado menor que 1 , luego debe ser un polinomio constante. Se tiene entonces que p(x) = c(x) · (x − a) + r. Evaluando en a nos queda que p(a) = c(a) · (a − a) + r, es decir, r = p(a). •
Corolario 2.2.1 (Teorema del factor). Sea p(x) ∈ A[x] y a ∈ A. Entonces a es raíz de p(x) si, y sólo si, (x − a)|p(x).
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42 EL ANILLO DE POLINOMIOS SOBRE UN CUERPO
es decir, el cociente es x^4 + x^2 + x + 2 y el resto es 2.
Definición 23. Sea p(x) ∈ A[x], y a ∈ A. Se dice que a es una raíz de multiplicidad m si (x − a)m|p(x) y (x − a)m+1^6 |p(x).
Nótese que decir que a es una raíz de multiplicidad m es decir que p(x) = (x − a)mc(x) con c(a) 6 = 0. A las raíces de multiplicidad 1 se les llama raíces simples; a las de multiplicidad 2 , raíces dobles, a las de multiplicidad 3 , raíces triples, y así sucesivamente. En ocasiones, si a no es una raíz se dice que es una raíz de multiplicidad 0.
Ejemplo 2.2.6. El polinomio x^5 +x^3 +x^2 +1 ∈ Z 2 [x] tiene a x = 1 como raíz triple, pues x^5 +x^3 +x^2 +1 = (x + 1)^3 (x^2 + x + 1), y x^2 + x + 1 no tiene a 1 como raíz.
1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1
Aquí vemos las sucesivas divisiones por x + 1. Se aprecia como las tres primeras son exactas, mientras que la cuarta da resto 1.
Definición 24. Sea K un cuerpo, y p(x), q(x) ∈ K[x]. Se dice que d(x) ∈ K[x] es un máximo común divisor de p(x) y q(x) si:
- d(x)|p(x) y d(x)|q(x).
- Si c(x)|p(x) y c(x)|q(x) entonces c(x)|d(x).
Nota:
- La primera condición de la definición nos dice que d(x) debe ser un divisor común de p(x) y q(x). La segunda condición nos dice que este divisor común es el "más grande" de los divisores comunes.
- Si d(x) es un máximo común divisor de p(x) y q(x) y a ∈ K∗^ entonces a·d(x) es también un máximo común divisor de p(x) y q(x). De hecho, cualquier polinomio que sea un máximo común divisor de p(x) y q(x) es de la forma a · d(x). De todos estos, hay uno, y sólo uno que es mónico. Denotaremos por mcd(p(x), q(x)) al único máximo común divisor de p(x) y q(x) que es mónico.
- La definición anterior podría haberse hecho tomando coeficientes en un anillo. En el caso de A = Z, si d(x) es un máximo común divisor de p(x) y q(x), también lo es −d(x), y no hay más. Denotaremos por mcd(p(x), q(x)) al que tenga coeficiente líder positivo.
- Aquí se ha definido el máximo común divisor de dos polinomios. Podría haberse definido de forma análoga el máximo común divisor de 3 ó más.
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2.2. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 43 Se deja como ejercicio dar la definición de mínimo común múltiplo. Veremos a continuación algunas propiedades referentes al máximo común divisor. Supongamos que tenemos p(x), q(x), r(x), d(x) ∈ K[x], y supondremos que los cuatro polinomios son mónicos.
Propiedades:
- mcd(p(x), q(x)) = mcd(a · p(x), q(x)) = mcd(p(x), a · q(x)), donde a ∈ K∗.
- mcd(p(x), 0) = p(x) y mcd(p(x), 1) = 1
- Si p(x)|q(x) entonces mcd(p(x), q(x)) = p(x).
- mcd(p(x), mcd(q(x), r(x)) = mcd(mcd(p(x), q(x)), r(x)) = mcd(p(x), q(x), r(x)).
- mcd(p(x) · r(x), q(x) · r(x)) = mcd(p(x), q(x)) · r(x)
- Si d(x)|p(x) y d(x)|q(x) entonces mcd
p(x) d(x) ,^
q(x) d(x)
= mcd(p d((xx)),q (x)).
Como ejercicio, se deja enunciar propiedades análogas para el mínimo común múltiplo, así como para polinomios en Z[x]. Los siguientes resultados son análogos a los dados para números enteros.
Lema 2.2.1. Sean p(x), q(x) ∈ K[x]. Entonces, para cualquier c(x) ∈ K[x] se tiene que mcd(p(x), q(x)) = mcd(q(x), p(x) − c(x)q(x)).
Corolario 2.2.2. Sean p(x), q(x) ∈ K[x], con q(x) 6 = 0. Entonces mcd(p(x), q(x)) = mcd(q(x), p(x) mód q(x)).
Para calcular ahora el máximo común divisor de dos polinomios procedemos de igual forma que a la hora de calcular el máximo común divisor de dos números enteros. Vamos realizando divisiones hasta obtener un resto nulo. En resto anterior es el máximo común divisor.
p(x) = q(x) · c 1 (x) + r 1 (x) q(x) = r 1 (x) · c 2 (x) + r 2 (x) r 1 (x) = r 2 (x) · c 3 (x) + r 3 (x)
.............................. ri− 2 (x) = ri− 1 (x) · ci(x) + ri(x) ................................. rk− 2 (x) = rk− 1 (x) · ck(x) + rk(x) rk− 1 (x) = rk(x) · ck+1(x) + 0 Sin embargo, el polinomio rk(x) no tiene por qué ser mónico, luego el resultado final, rk(x), no sería el máximo común divisor de p(x) y q(x). Necesitamos multiplicar por el inverso del coeficiente líder para obtener el máximo común divisor. El algoritmo EUCLIDES del capítulo anterior vale ahora para el cálculo del máximo común divisor de dos polinomios con coeficientes en un cuerpo. Únicamente hay que incluir una sentencia, justo antes de Devuelve p(x) que diga p(x) := (c.l.(p(x))−^1 · p(x), donde c.l.(p(x)) denota el coeficiente líder del polinomio p(x).
Ejemplo 2.2.7. Vamos a calcular en Q[x] el máximo común divisor de x^3 − x + 3 y x^3 + x^2 + 1.
x^3 − x + 3 = (x^3 + x^2 + 1) 1 + (−x^2 − x + 2) x^3 + x^2 + 1 = (−x^2 − x + 2) (−x) + 2 x + 1 −x^2 − x + 2 = (2x + 1)
2 x^ −^
1 4
2 x + 1 = (^94)
9 x^ +^
4 9
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2.2. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 45
- En Z[x] se tiene que mcd(x, 2) = 1. Sin embargo no existen u(x), v(x) ∈ Z[x] tales que x · u(x) + 2 · v(x) = 1.
Los corolarios 1.3.2, 1.3.3 y 1.3.4, así como la proposición 1.3.1 pueden ahora trasladarse al contexto de polinomios con coeficientes en un cuerpo. También las proposiciones 1.4.1 y 1.4.2 son válidas para polinomios. Más precisamente, sean a(x), b(x), c(x) ∈ K[x]. Entonces la ecuación a(x)u(x) + b(x)v(x) = c(x) tiene solución si, y sólo si, mcd(a(x), b(x))|c(x). Si u 0 (x), v 0 (x) es una tal solución, y d(x) = mcd(a(x), b(x)), entonces todas las soluciones son de la forma: u(x) = u 0 (x) + p(x) (^) db((xx)) v(x) = v 0 (x) − p(x) a d((xx))
p(x) ∈ K[x]
Ejemplo 2.2.9. Vamos a hallar todas las parejas de polinomio u(x), v(x) ∈ Z 3 [x] que satisfacen la ecuación (x^5 + 2x^3 + 2) · u(x) + (x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 1) · v(x) = x^4 + 2x^2 + 2x + 2 Para esto, vemos en primer lugar si existe alguno. Esto ocurre si, y sólo si, x^4 + 2x^2 + 2x + 2 es múltiplo de mcd(x^5 + 2x^3 + 2, x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 1).
a(x) b(x) r(x) c(x) x^5 + 2x^3 + 2 x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 1 x^4 + 1 1 x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 1 x^4 + 1 2 x^3 + 2x + 2 x + 2 x^4 + 1 2 x^3 + 2x + 2 2 x^2 + 2x + 1 2 x 2 x^3 + 2x + 2 2 x^2 + 2x + 1 0
luego mcd(x^5 + 2x^3 + 2, x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 1) = 2(2x^2 + 2x + 1) = x^2 + x + 2, y como x^4 + 2x^2 + 2x + 2 = (x^2 +x+2)(x^2 +2x+1) sabemos que podemos encontrar parejas de polinomio u(x), v(x) que sean solución de la ecuación anterior. Buscamos dos polinomios u 0 (x), v 0 (x) que sean solución
a(x) b(x) r(x) c(x) u(x) v(x) 1 0 0 1 x^5 + 2x^3 + 2 x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 1 x^4 + 1 1 1 2 x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 1 x^4 + 1 2 x^3 + 2x + 2 x + 2 2 x + 1 2 x x^4 + 1 2 x^3 + 2x + 2 2 x^2 + 2x + 1 2 x 2 x^2 + x + 1 x^2 + 2 2 x^3 + 2x + 2 2 x^2 + 2x + 1 0 x^2 + x + 2 x^2 + 2x + 2 2 x^2 + 1
Tomamos entonces
u 0 (x) = (x^2 + 2x + 2) · (x^2 + 2x + 1) = x^4 + x^3 + x^2 + 2 v 0 (x) = (2x^2 + 1) · (x^2 + 2x + 1) = 2 x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 2
Puesto que (x^5 + 2x^3 + 2) div (x^2 + x + 2) = x^3 + 2x^2 + x + 2 (x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 1) div (x^2 + x + 2) = x^3 + x^2 + 2x + 2 tenemos que la solución general es
u(x) = x^4 + x^3 + x^2 + 2 + (x^3 + x^2 + 2x + 2) · p(x) v(x) = 2 x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 2 + 2(x^3 + 2x^2 + x + 2) · p(x) p(x) ∈ Z 3 [x]
Jesús García Miranda
46 EL ANILLO DE POLINOMIOS SOBRE UN CUERPO
2.3. Factorización de polinomios
En esta sección veremos como los polinomios con coeficientes en un cuerpo se pueden factorizar como producto de irreducibles.
Definición 25. Sea p(x) ∈ K[x] no constante. Se dice que p(x) es irreducible si sus únicos divisores son los polinomios constantes (no nulos) y los polinomios de la forma a · p(x) : a ∈ K∗. Sea p(x) ∈ Z[x], p(x) 6 = 0, 1 , − 1. Se dice que p(x) es irreducible si sus úncios divisores son ± 1 y ±p(x). Si p(x) no es irreducible, se dice que es reducible.
Observación: Nótese que si p(x) ∈ K[x] es reducible y gr(p(x)) = n entonces p(x) tiene un divisor no constante de grado menor o igual que n 2.
Ejemplo 2.3.1.
- Cualquier polinomio de grado 1 en K[x] es irreducible. Sin embargo, el polinomio p(x) = 2x + 2 es reducible en Z[x], pues 2 |p(x) y x + 1|p(x).
- El polinomio x^3 + x + 1 ∈ Z 2 [x] es irreducible. Por la observación anterior debe tener un divisor de grado menor o igual que 32. Los únicos polinomios en esas condiciones son x y x + 1, y ninguno de ellos divide a x^3 + x + 1.
- Dado p(x) = ax^2 + bx + c ∈ R[x] entonces p(x) es irreducible si, y sólo si, b^2 − 4 ac < 0.
Al igual que en el caso de Z se tiene ahora:
Proposición 2.3.1. Sea p(x) ∈ K[x] no constante. Entonces:
p(x) es irreducible ⇐⇒
p(x)|q 1 (x) · q 2 (x) =⇒ p(x)|q 1 (x) ó p(x)|q 2 (x)
Con esta proposición estamos ya en condiciones de dar el teorema de factorización.
Teorema 2.3.1. Sea K un cuerpo, y p(x) ∈ K[x] no constante. Entonces p(x) se expresa de forma única como p(x) = ap 1 (x)p 2 (x) · · · pk(x)
donde a ∈ K y pi(x) es un polinomio mónico e irreducible.
En Z 8 [x] se tiene que x^2 + 7 = (x + 1)(x + 7) = (x + 3)(x + 5). Puesto que Z 8 no es un cuerpo, este ejemplo no está en contradicción con el teorema.
En el caso de polinomios con coeficientes en Z[x] la situación es algo diferente, pues en general no es posible expresar un polinomio irreducible como una constante por un polinomio mónico. Por ejemplo, 2 x^2 + 4x + 1 es irreducible. Si lo expresamos como una constante por un polinomio mónico nos queda 2
x^2 + 2x + (^12)
que no pertenece a Z[x]. El papel de polinomio mónico lo juega aquí lo que se llama polinomio primitivo.
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48 EL ANILLO DE POLINOMIOS SOBRE UN CUERPO
es decir,
p(x)·q(x) = 6x^11 +55x^10 − 31 x^9 − 84 x^8 +104x^7 − 234 x^6 +410x^5 − 656 x^4 +572x^3 − 460 x^2 − 240 x− 240
que también es primitivo. Si analizamos los coeficientes, vemos que el primer coeficiente de p(x) que no es múltiplo de 2 es el de grado 5 ( 5 x^5 ), mientras que el primero de q(x) que no es de múltiplo de 2 es el de grado 4 ( 15 x^4 ). Al multiplicar los dos polinomios, el primer coeficiente que no es múltiplo de 2 es el de grado 9. Podemos apreciar como todos los sumandos que intervienen en los términos de grado menor o igual que 8 son múltiplos de 2 , mientras que en los que intervienen en el de grado 9 todos son múltiplos de 2 salvo uno.
- El polinomio 2 x^2 + 6x − 4 tiene contenido igual a 2 , mientras que el polinomio 12 x^2 − 18 x + 30 tiene contenido igual a 6. Su producto, que es 24 x^4 − 108 x^3 − 96 x^2 + 252x − 120 tiene contenido igual a
Teorema 2.3.2. Sea p(x) ∈ Z[x] no constante. Entonces p(x) es irreducible en Z[x] si, y sólo si, p(x) es primitivo y es irreducible en Q[x].
Demostración: Sea p(x) ∈ Z[x] y supongamos que es irreducible. Claramente es primitivo, pues en caso contrario tendríamos que c(p(x))|p(x). Si el polinomio fuera reducible en Q[x] tendríamos una factorización en Q[x] de la forma p 1 (x) · p 2 (x). Ahora bien, p 1 (x) = ab q 1 (x) y p 2 (x) = cd q 2 (x) con q 1 (x), q 2 (x) ∈ Z[x] primitivos. Entonces
p(x) =
ac bd
q 1 (x)q 2 (x)
Como tanto p(x) como q 1 (x)q 2 (x) son primitivos, deducimos que acbd = 1 (o acbd = − 1 ) lo que nos dice que p(x) = q 1 (x)q 2 (x) es una factorización en Z[x], en contra de la hipótesis de que p(x) es irreducible. Recíprocamente, si p(x) es primitivo e irreducible en Q[x], si tuviera algún divisor propio en Z[x] éste no podría ser un polinomio constante, luego sería también un divisor propio en Q[x]. •
Ejemplo 2.3.4.
- Sea p(x) = 6x − 4 ∈ Z[x]. Visto como polinomio en Q[x] es irreducible, pues es de grado 1. Sin embargo, en Z[x] no es irreducible, pues 2 |(6x − 4) y (3x − 2)|(6x − 4).
- Sea p(x) = 6x^3 − 19 x^2 − 8 x + 12. Podemos ver que este polinomio no es irreducible en Q[x], pues x = 23 es una raíz, ya que
p
Dividimos por x − (^23) 6 − 19 − 8 12 2 3 4 −^10 −^12 6 − 15 − 18 0 luego p(x) =
x − (^23)
(6x^2 − 15 x − 18) =
[ 1
3 (3x^ −^ 2)
]
· [3 · (2x^2 − 5 x − 6)] = (3x − 2)(2x^2 − 5 x − 6) Vemos como el polinomio es reducible en Z[x].
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2.3. Factorización de polinomios 49 El teorema de factorización de polinomios en Z[x] dice:
Teorema 2.3.3. Sea q(x) ∈ Z[x], q(x) 6 = 0, 1 , − 1. Entonces q(x) se factoriza como
q(x) = p 1 · · · pr q 1 (x) · · · qs(x)
donde pi son números enteros primos y qj (x) son polinomios primitivos irreducibles en Q[x].
Tenemos aquí los resultados generales referentes a la factorización de polinomios. Sin embargo, en general no es fácil factorizar un polinomio como producto de irreducibles. A continuación veremos algunos resultados que nos ayudarán a encontrar la factorización de un polinomio. En primer lugar, vamos a detectar cuando un polinomio tiene factores múltiples, es decir, en su factorización aparece algún irreducible elevado a un exponente mayor que 1. Nótese que decir que p(x) tiene factores múltiples es equivalente a decir que existe q(x), irreducible tal que q(x)^2 |p(x). Esto da pie a la siguiente definición:
Definición 27. Sea p(x) ∈ K[x]. Se dice que p(x) es libre de cuadrados si no existe ningún polinomio q(x) ∈ K[x] no constante tal que q(x)^2 |p(x).
Para estudiar la existencia de factores múltiples vamos a necesitar el concepto de derivada de un polinomio. En el caso de polinomios con coeficientes reales, este concepto recupera la derivada de la función polinómica correspondiente. Sin embargo, en nuestro contexto no tiene ninguna relación con límites ni con pendientes de curvas.
Definición 28. Sea p(x) = anxn^ + · · · + a 1 x + a 0 ∈ K[x]. Se define la derivada de p(x), y se denota como D(p(x)) o p′(x) al polinomio
D(P (x)) = p′(x) = nanxn−^1 + · · · + 2a 2 x + a 1
Ejemplo 2.3.5.
- Sea p(x) = 2x^5 − 7 x^3 + 3x^2 − 5 x + 3 ∈ Q[x]. Entonces p′(x) = 10x^4 − 21 x^2 + 6x − 5.
- Sea p(x) = x^4 + x^2 + 1 ∈ Z 2 [x]. En este caso se tiene que p′(x) = 0. Vemos como un polinomio no constante puede tener derivada nula.
Las propiedades de la derivada de polinomios recuerdan a las conocidas para la derivada de funciones reales. La demostración se deja como ejercicio.
Proposición 2.3.2. Sean p(x), q(x) ∈ K[x], y n ∈ N. Entonces:
D(p(x) + q(x)) = p′(x) + q′(x)
D(p(x) · q(x)) = p′(x) · q(x) + p(x) · q′(x)
D(p(x)n) = n · p(x)n−^1 p′(x)
La importancia de la derivada viene dada por el siguiente resultado.
Proposición 2.3.3. Sea p(x) ∈ K[x]. Entonces p(x) es libre de cuadrados si, y sólo si, mcd(p(x), p′(x)) =
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2.3. Factorización de polinomios 51 Y antes de empezar a estudiar las factorizaciones en distintos cuerpos veamos un resultado muy útil en la práctica.
Proposición 2.3.4. Sea p(x) ∈ K[x], gr(p(x)) = 2, 3. Entonces p(x) es irreducible si, y sólo si, p(x) no tiene raíces.
Si el polinomio es de grado mayor o igual que 4 entonces el que no tenga raíces no nos permite afirmar que el polinomio sea irreducible.
Ejemplo 2.3.7.
- El polinomio p(x) = x^3 + 2x + 2 ∈ Z 3 [x] es irreducible. Al ser de grado 3 basta ver que no tiene raíces. Evaluamos en los tres elementos de Z 3 y vemos que p(0) = 2, p(1) = 2 y p(2) = 2.
- El polinomio p(x) = x^4 + x^3 + x + 2 ∈ Z 3 [x] no tiene raíces (p(0) = 2, p(1) = 2 y p(2) = 1). Sin embargo no es irreducible, pues p(x) = (x^2 + 1)(x^2 + x + 2).
- El polinomio p(x) = 6x^3 − 19 x^2 − 8 x + 12 ∈ Z[x] no tiene raíces en Z, sin embargo es reducible, como pudimos comprobar previamente ya que p(x) = (3x − 2)(2x^2 − 5 x − 6). Dicho polinomio es reducible en Q[x], pues x = 23 es una raíz.
Factorización de polinomios en Zp[x] Aunque existen algoritmos para factorizar polinomios en Zp[x] (algoritmo de Berlekamp), aquí em- plearemos el método de ensayo y error. Supongamos que tenemos un polinomio q(x) ∈ Zp[x] de grado n. Si el polinomio es reducible, entonces tiene un factor irreducible de grado menor o igual que n 2. Comprobamos en primer lugar si tiene o no divisores de grado 1 , es decir, comprobamos si tiene raíces. A continuación comprobamos si tiene divisores irreducibles de grado 2 , y así sucesivamente.
Ejemplo 2.3.8.
- Sea q(x) = x^3 + x + 1 ∈ Z 2 [x]. Al ser de grado 3 únicamente hay que comprobar si tiene o no raíces. Puesto que q(0) = q(1) = 1 podemos deducir que el polinomio es irreducible. De la misma forma se comprueba que x^3 + x^2 + 1 es irreducible.
- Sea ahora q(x) = x^5 + x^4 + 1 ∈ Z 2 [x]. En este caso q(0) = q(1) = 1, luego no tiene ningún divisor de grado 1. Probamos a dividir por x^2 + x + 1, que es irreducible de grado 2 , y nos queda que x^5 + x^4 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^3 + x + 1). Los dos polinomios que aparecen son irreducibles.
- Sea q(x) = x^7 + x^4 + x^3 + x + 1 ∈ Z 2 [x]. Entonces:
Evaluamos en x = 0 y x = 1. En ambos casos nos sale 1 , luego q(x) no tiene divisores de grado 1. Dividimos por x^2 + x + 1, y nos queda q(x) = (x^2 + x + 1)(x^5 + x^4 + x + 1) + x. Por tanto no tiene divisores de grado 2. Dividimos por x^3 + x + 1 y x^3 + x^2 + 1. En el primer caso nos queda q(x) = (x^3 + x + 1)(x^4 + x^2 ) + (x^2 + x + 1) y en el segundo q(x) = (x^3 + x^2 + 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1). Puesto que x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 no tiene divisores de grado 1 y grado 2 (ya que de tenerlos serían también divisores de q(x) deducimos que x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 es irreducible.
La factorización de q(x) como producto de irreducibles es
x^7 + x^4 + x^3 + x + 1 = (x^3 + x^2 + 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
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52 EL ANILLO DE POLINOMIOS SOBRE UN CUERPO
Como vemos, para factorizar un polinomio en Zp[x] es conveniente conocer los polinomios irreducibles mónicos de grado bajo, pues son por los que hemos de efectuar las divisiones. A continuación calcularemos algunos de estos irreducibles.
- Polinomios irreducibles en Z 2 [x]
Grado 1. Aquí, los irreducibles son todos, es decir,
x x + 1
Grado 2. Los no irreducibles son x^2 , x(x + 1) = x^2 + x y (x + 1)(x + 1) = x^2 + 1. El único que queda es x^2 + x + 1
Grado 3. También aquí los únicos que hay son los que no tienen raíces. Estos son:
x^3 + x + 1 x^3 + x^2 + 1
Grado 4. Aquí hemos de eliminar todos los que tengan raíces y (x^2 + x + 1)^2 = x^4 + x^2 + 1. Nos quedan entonces tres polinomios, que son:
x^4 + x + 1 x^4 + x^3 + 1 x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
Grado 5. Los reducibles son los que tienen raíces y los dos que toman una factorización de la forma (grado 2) · (grado 3). Estos dos son (x^2 + x + 1)(x^3 + x + 1) = x^5 + x^4 + 1 y (x^2 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1) = x^5 + x + 1. Nos quedan entonces 6 polinomios que son:
x^5 + x^2 + 1 x^5 + x^3 + 1 x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 1 x^5 + x^4 + x^3 + x + 1
x^5 + x^4 + x^2 + x + 1 x^5 + x^3 + x^2 + x + 1
- Polinomios mónicos irreducibles en Z 3 [x].
Grado 1. Al igual que antes, todos son irreducibles. Tenemos por tanto
x x + 1 x + 2
Grado 2. Son aquellos que no tiene raíces. Hay un total de 3 , que son:
x^2 + 1 x^2 + x + 2 x^2 + 2x + 2
Grado 3. Son también los que no tienen raíces. En este caso hay 8.
x^3 + 2x + 1 x^3 + 2x + 2 x^3 + x^2 + 2 x^3 + 2x^2 + 1
x^3 + x^2 + x + 2 x^3 + x^2 + 2x + 1 x^3 + 2x^2 + x + 1 x^3 + 2x^2 + 2x + 2
De grado 4 hay 18 polinomios irreducibles.
- Polinomios mónicos irreducibles en Z 5 [x].
Grado 1. Tenemos 5 irreducibles:
x x + 1 x + 2 x + 3 x + 4
Grado 2. Los que no tienen raíces son 10.
x^2 + 2 x^2 + 3 x^2 + x + 1 x^2 + x + 2 x^2 + 2x + 3
x^2 + 2x + 4 x^2 + 3x + 3 x^2 + 3x + 4 x^2 + 4x + 1 x^2 + 4x + 2
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