ESCUELA SUPERIOR DE INGENIER´
IA INFORM´
ATICA DEPARTAMENTO DE MATEM ´
ATICAS
´
Algebra y Matem´atica Discreta. Convocatoria ordinaria 2014.
Ejercicio 1.- Consid´erese el ret´ıculo (X, /), donde X={1,2,4,5,6,7,35,49,2940}y/es la relaci´on de divisibilidad usual.
i) Dar las operaciones ∧,∨con las que (X, ∧,∨) es un ret´ıculo algebraico y decir si ∨coincide con el m.c.m (1 punto).
ii) Discutir, de tres formas distintas, el car´acter distributivo (2 puntos).
iii) Estudiar si es homomorfismo de ret´ıculos la aplicaci´on f: (X, /)−→ (D70, /) tal que, para cada x∈X,
f(x) = xsi xdivide a 70
70 en otro caso
Estudiar, de dos formas distintas, si f(X) es sub´algebra del ´algebra de Boole D70 (3 puntos).
iv) Definir y detallar el isomorfismo can´onico ϕ:D70 −→ P(C), donde Ces un conjunto apropiado. Dada la aplicaci´on ϕ◦f:
X−→ P(C), calcular la imagen directa (ϕ◦f)({6,35}) y la imagen rec´ıproca (ϕ◦f)−1(C) (4 puntos).
Ejercicio 2.- Sea Del grafo dirigido dado por la matriz de adyacencia Aque sigue. Se pide:
A=
01100
10100
00000
00101
00110
i) Definir nodo fuente y nodo sumidero. ¿C´omo pueden identificarse en la matriz de adyacencia
del grafo dirigido? Determinar si en el grafo Dhay alg´un nodo fuente o sumidero (4 puntos).
ii) Estudiar el tipo de conexi´on que presenta D(3 puntos).
iii) Dar la matriz de incidencia de D(1.5 puntos).
iv) Determinar si el multigrafo no dirigido asociado a Des bipartito (1.5 puntos).
Ejercicio 3.- Para el conjunto de matrices G= a b
0 1 :a=±1; b∈Z, se pide:
i) Razonar que el producto habitual de matrices ·es una operaci´on interna en Gy, sabiendo que es asociativo, razonar que (G,·)
es un grupo. ¿Es abeliano? (1 punto).
ii) Calcular, si existen, los elementos de orden 2. Dar los subgrup os de orden 2 de (G, ·) (1 punto).
iii) Discutir si los siguientes subconjuntos son subgrupos de (G, ·) (2 puntos).
H= 1b
0 1 :b∈ZK= −1b
0 1 :b∈Z
iv) Estudiar si la aplicaci´on f: (G, ·)−→ (R∗,·), definida por fa b
0 1 =a, es un homomorfismo de grupos y, en su caso,
calcular Ker(f) e I m(f) indicando el orden de ´estos (3 puntos).
v) En el conjunto Gse define la relaci´on binaria ARB ⇐⇒ det(A) = det(B). Razonar que Res de equivalencia, calcular las clases
y el conjunto cociente indicando cu´antos elementos tiene (3 puntos).
Ejercicio 4.- Sean (V, +, .), (V0,+, .) espacios vectoriales sobre Rcon bases B={v1, v2, v3, v4} ⊂ VyB0={v0
1, v0
2, v0
3} ⊂ V0
y sea, para cada a∈R, la aplicaci´on lineal f:V−→ V0tal que respecto de ByB0verifica:
1. {0}es la imagen directa por fdel subespacio hv4−v3i
2. la imagen rec´ıproca por fdel conjunto {(a−2)(v0
1+v0
2)}contiene al conjunto {v2}
3. f(hv3i) = hv0
3i
4. f(v1−v2)=2v0
1−(a−2)v0
2
Se pide, seg´un los valores de a:
i) Obtener, de manera razonada y detallada, la matriz MBB0(f) (2 puntos).
ii) Calcular la matriz MBB0
1(f), donde B0
1={v0
1,−v0
2,−3v0
3}(1 punto).
iii) Para el conjunto E⊆Vdeterminado por las ecuaciones (a+ 1)x= 1, y = 0 (respecto de la base B), obtener si es
posible todas las ecuaciones de f(E), su dimensi´on y razonar si es subespacio (4 puntos).
iv) Razonar si fes inyectiva. Decir si f(B) es una base de I m(f) o de V0(3 puntos).
Observaciones: Todas las respuestas ser´an razonadas. No se estimar´an las respuestas que no est´en justificadas.
Control 3o: Ejercicio 1 : 7 puntos, Ejercicio 2 : 3 puntos (1 h).
Controles 1o+ 3o: Ejercicio 1 : 3.5 puntos, Ejercicio 2 : 1.5 puntos, Ejercicio 3 : 5 puntos (2 h).
Controles 2o+ 3o: Ejercicio 1 : 3.5 puntos, Ejercicio 2 : 1.5 puntos, Ejercicio 4 : 5 puntos (2 h).
Todo: Ejercicio 1 :2.5 puntos, Ejercicio 2 :1 punto, Ejercicio 3 (salvo v)):3 puntos, Ejercicio 4 (salvo ii) y iv)):3.5 puntos (3 h).
