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Aplicaciones lineales.Aplicaciones.
Aplicaciones lineales.
Ana I. Alonso
Algebra Lineal´
Ana I. Alonso Aplicaciones lineales.
Aplicaciones lineales.^ Aplicaciones.
Aplicaciones
Definici´on Una aplicaci´on T entre dos conjuntos A y B asocia a cada elemento x ∈ A un ´unico elemento de B que se denota por T (x). Se representa por T : A → B, x 7 → T (x). I (^) A = conjunto inicial (o de salida) I (^) B = conjunto final (o de llegada) I (^) x = antecedente I (^) T (x) = imagen I (^) Si A′^ ⊂ A es un subconjunto T (A′) = {T (x) / x ∈ A′}. I (^) Sea B′^ ⊂ B; se denomina imagen rec´ıproca al conjunto de antecedentes T −^1 (B′) = {x ∈ A / T (x) ∈ B′}. Ana I. Alonso Aplicaciones lineales.
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Tipos de aplicaciones
Definici´on Una aplicaci´on T : A → B es: I (^) inyectiva: si T (x) = T (y ) ⇒ x = y (dos elementos distintos no pueden tener la misma imagen ⇔ cada elemento de B tiene a lo sumo una contraimagen). I (^) sobreyectiva: si para todo y ∈ B existe x ∈ A tal que T (x) = y (todos los elementos de B tienen contraimagen). I (^) biyectiva: si es inyectiva y sobreyectiva (para todo y ∈ B existe un ´unico x ∈ A tal que T (x) = y ). Si T : A → B es biyectiva, existe T −^1 : B → A denominada aplicaci´on inversa de modo que T (T −^1 (y )) = x si x = y. Nota T −^1 es la inversa para la composici´on de aplicaciones.
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Aplicaciones lineales
Nos ocupamos de las aplicaciones entre espacios vectoriales que respetan las operaciones de espacio vectorial. Definici´on Sean V y W dos espacios vectoriales sobre K (R o C). Una aplicaci´on lineal T : V → W es una aplicaci´on de V en W tal que a) T (u + v) = T (u) + T (v) para todo u, v ∈ V. b) T (λ u) = λ T (u) para todo λ ∈ K, u ∈ V. Se denota por L(V , W ) el conjunto de todas las aplicaciones lineales de V en W (homomorfismos). Una aplicaci´on lineal T : V → W , se denomina I (^) endomorfismo (operador lineal) si V = W. I (^) isomorfismo si es T biyectiva.
Cambio de base
aplicaciones lineales: ejemplos
Ejemplos de aplicaciones lineales,
- T : R^2 → R^2 , (x, y ) 7 → (2 x + y , −x).
- Sea a ∈ R , T : R[x] → R, p(x) 7 → p(a) a cada polinomio le asocia su valor en a.
- Sea T : R[x] → R[x], p(x) 7 → p′(x) a cada polinomio le asocia su derivada. Ejemplo T : Mn(K) → K, A 7 → det(A). La aplicaci´on que a cada matriz cuadrada le hace corresponder su determinante no es una aplicaci´on lineal ya que, en general, el determinante de una suma de matrices no es la suma de los determinantes de cada una de ellas. Ana I. Alonso Aplicaciones lineales.
Cambio de base aplicaciones lineales: propiedades
Propiedades: T : V → W ; para todo λ, μ ∈ K, u, v ∈ V ,
- T es lineal ⇔ T (λ u + μ v) = λ T (u) + μ T (v).
- T ( (^0) V ) = (^0) W lleva el vector 0 de V en el de W.
- T (−u) = −T (u).
- Si V es de dimensi´on finita y B = {a 1 ,... , an} es una base, T queda determinada de forma ´unica por las im´agenes de la base: T (a 1 ),... , T (an).
- Si T es inyectiva y {u 1 ,... , up} es un sistema libre entonces {T (u 1 ),... , T (up)} es libre.
Ana I. Alonso Aplicaciones lineales.
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aplicaciones lineales: propiedades
propiedades (continuaci´on)
- Si T es sobre y {u 1 ,... , up} es un sistema generador de V entonces {T (u 1 ),... , T (up)} es generador de W.
- Si T es biyectiva y {a 1 ,... , an} es una base de V entonces {T (a 1 ),... , T (an)} es una base de W. Es decir, un isomorfiso transforma una base de V en una base de W.
- Dos espacios vectoriales de dimensi´on finita que sean isomorfos tienen la misma dimensi´on.
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N´ucleo e imagen
Definici´on Sea T : V → W una aplicaci´on lineal entre dos espacios vectoriales. Se definen los conjuntos imagen de T (ImT ) y n´ucleo de T (KerT ) como ImT = {w ∈ W / existe u ∈ V con T (u) = w} = T (V ) ⊆ W KerT = {v ∈ V / T (v) = 0 } = T −^1 ( (^0) W ) ⊆ V. Proposici´on sea T : V → W una aplicaci´on lineal, a) KerT es un subespacio vectorial de V. b) ImT es el subespacio vectorial generado por las im´agenes de cualquier base de V.
Cambio de base
Representaci´on matricial
Definici´on Sea A ∈ Mm×n(K). Se llama aplicaci´on lineal dada por A a la aplicaci´on T : Kn^ → Km^ definida por T (x) = A x. Se verifica que: rgT = rgA y dim(KerT ) = n−rgA. Matriz asociada a una aplicaci´on lineal Sea T : V → W una aplicaci´on lineal, B 1 = {a 1 ,... , an} una base de V y B 2 = {b 1 ,... , bm} una base de W. Se llama matriz asociada a T en las bases B 1 y B 2 a la matriz m × n A = MT ,B 1 ,B 2 = ([T (a 1 )]B 2 ,... , [T (an)]B 2 ) ∈ Mm×n(K) cuyas columnas son las coordenadas de T (a 1 ),... , T (an) en la base de llegada B 2. Ana I. Alonso Aplicaciones lineales.
Cambio de base
Expresi´on matricial de una aplicaci´on lineal
Con la definici´on (y notaci´on) anterior de matriz asociada a una aplicaci´on lineal es f´acil ver que [T (u)]B 2 = MT ,B 1 ,B 2 [u]B 1 , es decir, si (u)B 1 = (x 1 ,... , xn) y (T (u))B 2 = (y 1 ,... , ym),
y 1 ... ym
= A
x 1 ... xn
, (T (u) = A u).
I (^) Se verifica que: rgT = rgA y dim(KerT ) = n−rgA.
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Representaci´on matricial: ejemplo
Ejemplo Sea Rα : R^2 → R^2 la rotaci´on o giro de ´angulo α, en el plano, alrededor del origen en sentido positivo (contrario al giro de las agujas del reloj). Rα es una aplicaci´on lineal que, referida a la base can´onica del plano B = {e 1 , e 2 } satisface Rα(e 1 ) = cos α e 1 + sen α e 2 , Rα(e 2 ) = (− sen α) e 1 + cos α e 2 Tiene como matriz Rα =
(cos α − sen α sen α cos α
Aplicaciones lineales.^ Aplicaciones. Definici´N´Expresi´ucleo e imagenon matricialon y tipos Cambio de base Representaci´on matricial: ejemplo Ejemplo 2 Sea D : Rn[x] → Rn− 1 [x] la aplicaci´on derivaci´on. Consideremos las bases B = { 1 , x, x^2 ,... , xn} de Rn[x] y B¯ = { 1 , x, x^2 ,... , xn−^1 }, base de Rn− 1 [x], entonces D(1) = 0, D(x) = 1, D(x^2 ) = 2 x,... , D(xn) = n xn−^1. Por tanto, la matriz de D con respecto a las bases B y ¯B es la matriz de orden n × (n + 1) dada por
D =
0 0 0 0... n
Cambio de base
representaci´on matricial (continuaci´on)
C´alculo de la imagen y el n´ucleo de una aplicaci´on a partir de su matriz asociada. Sea T : V → W una aplicaci´on lineal y A la matriz asociada a T , I (^) Las columnas de A son las coordenadas de un sistema generador de ImT , dim(ImT ) = rgA. I (^) Las soluciones de A x = 0 son las coordenadas de los vectores de KerT , dim(KerT ) = dimV − rgA.
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Cambio de base
Operaciones con aplicaciones
En L(V , W ) pueden definirse dos operaciones que le dan estructura de espacio vectorial,
- Suma T 1 , T 2 ∈ L(V , W ) ⇒ T 1 + T 2 ∈ L(V , W ) (T 1 + T 2 )(u) = T 1 (u) + T 2 (u) ∀ u ∈ V. La matriz de la aplicaci´on lineal suma (T 1 + T 2 ) coincide con la suma de las matrices de cada una de las aplicaciones.
- Producto por un escalar T ∈ L(V , W ), λ ∈ K ⇒ λT ∈ L(V , W ). (λT )(u) = λ T (u) ∀ u ∈ V. La matriz de λT coincide con el producto de la matriz de T por λ. Ana I. Alonso Aplicaciones lineales.
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operaciones (continuaci´on)
Si V y W dos espacios vectoriales sobre K de dimensi´on n y m respectivamente, el conjunto L(V , W ) con las operaciones anteriores es un espacio vectorial sobre K de dimensi´on n × m. I (^) el elemento neutro es la aplicaci´on nula, I (^) el elemento opuesto de T es (−T ) definido por (−T )(u) = −T (u) ∀ u ∈ V.
- Composici´on T 1 ∈ L(V , W ), T 2 ∈ L(W , U) ⇒ T 2 ◦ T 1 ∈ L(V , U) (T 2 ◦ T 1 )(u) = T 2 (T 1 (u)) ∀ u ∈ V. Si A es la matriz asociada a T 1 y B es la matriz asociada a T 2 , entonces la matriz C asociada a T 2 ◦ T 1 es C = B · A (el producto de matrices se corresponde con la composici´on de aplicaciones).
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Cambio de base
Sean T : V → W una aplicaci´on lineal, B 1 = {a 1 ,... , an}, B 1 ′ = {a′ 1 ,... , a′ n} dos bases de V y B 2 = {b 1 ,... , bm}, B 2 ′ = {b′ 1 ,... , b′ m} dos bases de W. Denotamos por PB 1 ′→B 1 y PB′ 2 →B 2 las matrices de cambio de base; y por A = MT ,B 1 ,B 2 y A′^ = MT ,B 1 ′,B′ 2 las matrices asociadas, se tiene que A′^ = P B− 2 ′^1 →B 2 A PB 1 ′→B 1 A y A′^ son equivalentes
VB 1 −→^ A WB 2
PB 1 ′ →B 1 ↑ ↑ PB 2 ′ →B 2
VB 1 ′ −^ A→′ WB 2 ′
I Si V = W ⇒ A′^ = P B−′ 11 →B 1 A PB′ 1 →B 1. Entonces A y A′^ son semejantes.
