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Calculo matricial y sistemas lineales.
Matematicas I. Grupos E,F y G
Octubre de 2011
- Encuentra dos matrices cuadradas de orden tres no nulas cuyo producto sea la matriz nula.
¿Podr´ıa ser regular alguna de ellas?
- Dadas las matrices A y B de orden 4 × 5 y las matrices C , D y E de ´ordenes 5 × 2, 4 × 2
y 5 × 4 respectivamente. Determina cu´ales de las siguientes operaciones matriciales pueden
realizarse y en su caso determina el orden de la matriz resultante.
a) B A , b) AC + D , c) A E + B , d) A B + B , e) E ( A + B ), f) E ( AC ).
- Dadas las matrices
A =
, B =
, C =
, D =
calcula: a) A D , b) B + C
t , c) D A
t , d) BC y C B , e) A
t C. f) A D
− 1 .
- Dadas las matrices
A =
, B =
, C =
, D =
a ) calcula AB − AC + D
A
− 1 D
C y
b ) obt´en la matriz X ∈ M 3 × 2 tal que AX = B.
- Responde a las siguientes cuestiones:
a) Si A y B son dos matrices tales que A B y B A se pueden calcular, ¿Deben ser cuadradas?
b) Dos matrices cuadradas del mismo orden diremos que conmutan cuando A B = B A. Prueba
que, si A y B conmutan y son regulares, entonces A y B
− 1 y A
− 1 y B
− 1 tambi´en conmutan.
c) Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, calcula una expresi´on para ( A + B )
2 .
Simplifica esta expresi´on si A y B conmutan.
d) Si A
2 = A , ¿qu´e valores puede tomar el determinante de A? ¿Y si A = A
− 1 ?
- Dadas las matrices A =
y C =
encuentra una matriz B tal que A B = C.
- Dada la matriz A =
encuentra todas las matrices B tales que A B = B A.
- Demuestra que la inversa de A es B siendo:
A =
(^) , y B =
- Dadas las matrices
A =
, B =
a 1
0 a
calcular A
2 , A
3 , B
2 , B
3
. ¿ Pueden deducirse f´ormulas para A
n y B
n ?
- Escribir razonadamente, si es posible:
a ) una matriz cuadrada de orden 4 con rango 2,
b ) una matriz 4 × 3 de rango 4,
c ) una matriz cuadrada de orden 5 y rango 4 con dos filas de ceros,
d ) una matriz 3 × 4 de rango 3,
e ) una matriz 3 × 3 de rango 1.
- Calcular el rango de las siguientes matrices usando determinantes y forma de Hermite
A =
, B =
- Determinar el rango de:
a ) una matriz de orden n × n diagonal,
b ) una matriz de orden n × n triangular superior,
c ) una matriz de orden n × n triangular inferior,
seg´un los valores no nulos de su diagonal.
- Si una matriz cuadrada A cumple la igualdad A
4 − A
2
- 2 A − I = 0, comprueba que A es
regular y da una expresi´on de su inversa.
- Calcular las inversas de las matrices
0 0 0 0 π
a )
x + y + z + t = 6
x − y + z − t = − 2
3 x − y + 3 z − t = 3
7 x − 5 y + 7 z − 5 t = − 6
b )
x + y + z + t = 6
x − y + z − t = − 2
3 x − y + 3 z − t = 2
7 x − 5 y + 7 z − 5 t = − 6
c )
2 x − 3 y + z + t = 0
x − y + z + t = 0
3 x + 2 y + z + t = 0
6 x − 6 y + 3 z + 3 t = 0
- En este ejercicio consideramos dos sistemas de ecuaciones en forma matricial:
A X = b , A X = c ,
para una misma matriz cuadrada A pero t´erminos independientes posiblemente distintos b y
c. Razona cu´ales de las siguentes afirmaciones son ciertas en general.
a ) Si el primer sistema es compatible indeterminado, el segundo tambi´en lo es.
b ) Si el primer sistema es compatible determinado, el segundo tambi´en lo es.
c ) Si el primer sistema es incompatible, el segundo tambi´en lo es.
- Discute los siguentes sistemas de ecuaciones lineales (sin necesidad de resolverlos)
x + y + z = 0
2 x − 5 y + 2 z = 0
3 x + 2 y − z = 0
x + y + z = − 1
2 x − 5 y + 2 z = 2
3 x + 2 y − z = 3
- Dada la matriz
A =
a ) Halla su rango.
b ) Clasifica y resuelve el sistema homog´eneo, cuya matriz de coeficientes es A.
- Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones.
a ) Si un sistema de ecuaciones es compatible determinado, entonces la matriz A de coefi-
cientes es cuadrada.
b ) En un sistema incompatible de cinco ecuaciones con cuatro inc´ognitas, si el rango de
la matriz de coeficientes es cuatro, entonces el rango de la matriz ampliada es cinco.
c ) Si un sistema de ecuaciones lineales tiene la soluci´on trivial, entonces el sistema es
homog´eneo.
d ) Dado un sistema de ecuaciones en el que la matriz de coeficientes A es triangular con
det( A ) = 0, entonces el sistema es compatible determinado.
- Responda verdadero o falso justificando la respuesta.
a ) El sistema de ecuaciones
x + 2 y − z = 0
2 x + 5 y + 2 z = 0
x + 4 y + 7 z = 0
x + 3 y + 3 z = 0
tiene como ´unica soluci´on la soluci´on trivial.
b ) Sea A una matriz cuadrada de orden 3 tal que A
17 = 0. Entonces A no es regular.
c ) Las transformaciones elementales sobre una matriz cuadrada dejan invariante su deter-
minante.
d ) Si A es una matriz cuadrada de orden n y a es un n´umero real, entonces
det ( aA ) = a
n det ( A )
