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ALGEBRA BASICA - CURSO 2006/
CARDINALIDAD
En este cap´ıtulo vamos a comparar conjuntos, tratando de tener una idea intuitiva de lo que ser´ıa el ”tama˜no” de un conjunto. Ello no tiene ning´un problema cuando el conjunto que considerais es finito, pues intuitivamente es claro que su tama˜no es el n´umero de sus elementos. Pero la cosa no est´a tan clara cuando dicho conjunto es infinito.
Proposici´on 1. Sean A y B dos conjuntos. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- Existe una aplicaci´on biyectiva f : A −→ B
- Existen aplicaciones inyectivas f : A −→ B y g : B −→ A
- Existen aplicaciones suprayectivas f : A −→ B y g : B −→ A
- Existen aplicaciones f, g : A −→ B tales que f es inyectiva y g suprayec- tiva
Demostraci´on: 1) =⇒ 4) Tomamos f = g la misma que nos da la afirmaci´on 1).
- =⇒ 3) Al ser f : A −→ B inyectiva, sabemos que existe h : B −→ A tal que h ◦ f = 1A. Puesto que 1A es biyectiva, deducimos que h es suprayectiva. Por tanto, tenemos aplicaciones suprayectivas g : A −→ B y h : B −→ A.
- =⇒ 2) Si f : A −→ B y g : B −→ A son las aplicaciones suprayectivas dadas por la afirmaci´on 2), entonces sabemos que existen aplicaciones f ′^ : B −→ A y g′^ : A −→ B tales que f ◦ f ′^ = 1B y g ◦ g′^ = 1A. Puesto que las identidades son aplicaciones biyectivas, conclu´ımos que f ′^ y g′^ son inyectivas. De esta forma, tenemos aplicaciones inyectivas g′^ : A −→ B y f ′^ : B −→ A.
- =⇒ 1) Es un c´elebre resultado de Schroeder-Bernstein cuya prueba podeis encontrar en el Hungerford (Introduction: Theorem 8.6).
Definici´on 1. Dos conjuntos A y B se dice que son equipotentes si satis- facen una de (y por tanto todas) las afirmaciones equivalentes de la proposici´on anterior.
Ejercicio 2. Demostrar que ”ser equipotente a” es una relaci´on de equivalencia en la clase de todos los conjuntos.
Intuitivamente, dos conjuntos van a tener el ”mismo tama˜no” cuando sean equipotentes, lo cual equivale a decir que est´an en la misma clase de equivalencia con respecto a la relaci´on ”ser equipotente a”. Sin embargo, no se suele hablar de tama˜no en Teor´ıa de Conjuntos. Utilizaremos otra terminolog´ıa que ahora introducimos.
Definici´on 2. Si A es un conjunto, se llama cardinal de A, denotado |A|, a la clase de equipotencia de A (es decir, a la clase de equivalencia de A con respecto a la relaci´on ”ser equipotente a”).
De acuerdo con lo que sabemos sobre relaciones de equivalencia, decir que dos conjuntos A y B tienen igual cardinal (es decir, que |A| = |B|) es lo mismo que decir que A y B son equipotentes.
Proposici´on 3. Sean A, B dos conjuntos, siendo A finito. Las siguientes afir- maciones son equivalentes:
- |A| = |B|
- B es finito y A y B tienen el mismo n´umero de elementos
Demostraci´on: 1) =⇒ 2) Puesto que A y B son equipotentes, tenemos una apli-
caci´on biyectiva f : A
∼= −→ B. Al ser A finito, podemos numerar sus elementos, de manera que podemos escribir A = {a 1 , a 2 , ..., an}, con ai 6 = aj siempre que i 6 = j. Denotemos bi =: f (ai), para todo i = 1, ..., n. Por ser f suprayectiva, tenemos B = Im(f ) = {b 1 , b 2 , ..., bn}. Adem´as, por ser f inyectiva, se tiene: i 6 = j =⇒ ai 6 = aj =⇒ f (ai) 6 = f (aj ) ⇐⇒ bi 6 = bj. Por tanto, B = {b 1 , b 2 , ..., bn} es finito y tiene exactamente n elementos, los mismos que tiene A.
- =⇒ 1) Sea n el n´umero de elementos que tienen tanto A como B. Ello quiere decir que podemos numerar los elementos en cada uno de estos conjuntos, de manera que A = {a 1 , a 2 , ..., an} (resp. B = {b 1 , b 2 , ..., bn}), con ai 6 = aj (resp. bi 6 = bj ) siempre que i 6 = j. Definimos entonces una aplicaci´on f : A −→ B por la regla: f (ai) = bi, para todo i = 1, ..., n. Esta aplicaci´on es biyectiva porque tiene una inversa g : B −→ A: la definida por g(bi) = ai, para todo i = 1, ..., n
Nota 4. La proposici´on anterior nos dice que si A es un conjunto finito de n elementos, entonces su cardinal |A| est´a completamente determinado por el n´umero natural n. Ello hace que, haciendo abuso de notaci´on, se ponga simple- mente |A| = n y se diga que ”el cardinal de A es n” en lugar de ”el cardinal de A es la clase (de equipotencia) de los conjuntos finitos que tienen n elementos”, que ser´ıa lo estrictamente correcto.
Vemos entonces que hay tantos cardinales finitos como n´umeros naturales. Obviamente, tambi´en hay cardinales infinitos. Por ejemplo ℵ 0 =: |N| es un cardinal infinito. Los conjuntos A tales que |A| = ℵ 0 (es decir, los que son equipotentes a N) son llamados (infinito) numerables o(infinito) contables. Las siguientes preguntas surgen de manera natural:
Demostraci´on: Se deja como ejercicio el probar las equivalencias 1) ⇐⇒ 2) y
- ⇐⇒ 4). N´otese ahora que, por simetr´ıa, para probar la equivalencia 1) ⇐⇒ 3) basta con probar una de las implicaciones. Probamos entonces 1) =⇒ 3). Puesto
que |A| = |A′|, tenemos una aplicaci´on biyectiva h : A′^
∼= −→ A. An´alogamente,
puesto que |B| = |B′|, tenemos una aplicaci´on biyectiva g : B
∼= −→ B′. Entonces g ◦ f ◦ h : A′^ −→ B′^ es una aplicaci´on inyectiva porque es composici´on de inyectivas.
Definici´on 3. Diremos que el cardinal |A| es menor o igual que el cardinal |B| cuando existe una aplicaci´on inyectiva f : A −→ B (´o, equivalentemente, una aplicaci´on suprayectiva g : B −→ A). Lo denotaremos: |A| ≤ |B|.
Seg´un el lema anterior, la ´ultima definici´on es correcta, pues no depende de los representantes A y B que yo tome en las clases de equipotencia |A| y |B|.
Ejercicio 8. Demostrar que ”ser menor o igual que” (≤) es una relaci´on de orden en la clase de todos los cardinales.
Pero se puede decir m´as sobre dicha relaci´on de orden. La siguiente es una bonita aplicaci´on del lema de Zorn.
Proposici´on 9. La relaci´on ”ser menor o igual” (≤) es una relaci´on de orden total en la clase de todos los cardinales.
Proof. Hemos de probar que si |A| y |B| son dos cardinales cualesquiera, en- tonces |A| ≤ |B| ´o |B| ≤ |A|. Ello equivale a probar que si A y B son dos conjuntos cualesquiera, entonces o bien existe una aplicaci´on inyectiva A −→ B o bien existe una aplicaci´on inyectiva B −→ A. Supongamos que esta ´ultima no existe. Podemos entonces considerar A = {(A′, f ′) : A′^ ⊆ A y f ′^ : A′^ −→ B es una aplicaci´on inyectiva}. En este conjunto A definimos la relaci´on: (A′, f ′) ≤ (A′′, f ′′) si, y s´olo si, A′^ ⊆ A′′^ y la restricci´on de f ′′^ a A′^ es justamente f ′. Se deja como ejercicio el ver que ≤ es una relaci´on de orden en A. Afirmamos que (A, ≤) es un conjunto inductivo. Para verlo, consideremos una cadena arbitraria C = [(Ai, fi)]i∈I en A, lo cual quiere decir que, para cualesquiera ´ındices i, j ∈ I, se tiene (Ai, fi) ≤ (Aj , fj ) ´o (Aj , fj ) ≤ (Ai, fi). Ponemos entonces A′^ =:
i∈I Ai^ y definimos^ f^ ′ (^) : A′ (^) −→ B como sigue. Si
x ∈ A′^ entonces, por definici´on de uni´on de conjuntos, existe un ´ındice i ∈ I tal que x ∈ Ai. Definimos entonces f ′(x) = fi(x). N´otese que x puede pertenecer a varios Ai, por lo que esa definici´on de f ′^ no es a´un correcta. Hay que probar que no depende del ´ındice i ∈ I. El probar ´esto se deja como ejercicio (indicaci´on: es crucial el que C = [(Ai, fi)]i∈I es una cadena en A). Ahora probamos que f ′^ : A′^ −→ B es inyectiva. En efecto, si x, z ∈ A′^ entonces, por definici´on de uni´on de conjuntos, existen ´ındices i, j ∈ I tales que x ∈ Ai y z ∈ Aj. Pero, al ser C = [(Ai, fi)]i∈I una cadena en A, se tiene que Ai ⊆ Aj ´o Aj ⊆ Ai. En definitiva, existe un ´ındice k ∈ I tal que x, z ∈ Ak. Si ahora f ′(x) = f ′(z) entonces la definici´on de f ′^ nos da que fk(x) = fk(z). Pero, por hip´otesis, se tiene que fk es inyectiva. Conclu´ımos entonces que necesariamente x = z, lo
que prueba que f ′^ es inyectiva. Ahora el par (A′, f ′) pertenece a A y se deja como ejercicio el ver que se tiene (Ai, fi) ≤ (A′, f ′), para todos los i ∈ I. En otras palabras, tenemos que (A′, f ′) es una cota superior en A de la cadena C. Por tanto (A, ≤) es un conjunto inductivo, tal y como hab´ıamos afirmado. Ahora, aplicando el lema de Zorn a (A, ≤), tenemos un elemento maximal ( A,˜ f˜ ) en A. Supongamos que A˜ $ A. Yo afirmo que entonces f˜ : A˜ −→ B es suprayectiva (y, por tanto, biyectiva). En efecto, si f˜ no es suprayectiva, podemos elegir un elemento b ∈ B \ Im( f˜ ). A su vez, como A˜ $ A, podemos elegir un a ∈ A \ A˜. Entonces podemos definir una aplicaci´on fˆ : A˜ ∪ {a} −→ B por la regla: i) fˆ (x) = f˜ (x), si x ∈ A˜; fˆ (a) = b. Se deja como ejercicio el ver que es inyectiva. Entonces el par ( A˜ ∪ {a}, fˆ ) pertenece a A. Pero se tiene ( A,˜ f˜ ) < ( A˜ ∪ {a}, fˆ ), lo que contradice la maximalidad de ( A,˜ f˜ ). Conclu´ımos entonces que f˜ : A˜ −→ B es biyectiva, lo que implica que |B| = | A˜|. Pero, al ser A˜ ⊆ A, tenemos | A˜| ≤ |A| y conclu´ımos que |B| ≤ |A| ´o, equivalentemente, que existe una aplicaci´on inyectiva B −→ A. Eso contradice la hip´otesis del principio. Por tanto, suponiendo que A˜ ( A, llegamos a una contradicci´on. Ello quiere decir que necesariamente se tiene A˜ = A y, por tanto, existe una aplicaci´on inyectiva f˜ : A −→ B.
Notaci´on: Pondremos |A| < |B| cuando |A| ≤ |B| pero |A| 6 = |B|. Es decir, cuando existe una aplicaci´on inyectiva A −→ B, pero no existe ninguna aplicaci´on biyectiva entre ambos conjuntos. Ahora ya podemos contestar de un golpe a las dos cuestiones planteadas. Empezamos con un ejercicio.
Ejercicio 10. Sea A un conjunto, P(A) el conjunto de sus partes y denotemos por 2 A^ el conjunto de las aplicaciones A −→ { 0 , 1 }. Demostrar que |P(A)| = | 2 A|
Terminolog´ıa: Si A es un conjunto pondremos |P(A)| = 2|A|^ (y as´ı, de acuerdo con el ejercicio anterior, se tendr´a | 2 A| = 2|A|).
Teorema 11 (Cantor). Para todo conjunto A, se tiene que |A| < 2 |A|. Por tanto, existen infinitos cardinales infinitos y arbitrariamente grandes.
Demostraci´on: La aplicaci´on A −→ P(A), a {a}, es inyectiva. Por tanto, se tiene |A| ≤ 2 |A|. Supongamos, por reducci´on al absurdo, que existe una aplicaci´on biyectiva f : A −→ P(A). Tomamos entonces B = {a ∈ A : a 6 ∈ f (a)}, que es un subconjunto de A y, por tanto, un elemento de P(A). Entonces existe un x ∈ A tal que f (x) = B. Tenemos ahora x ∈ f (x) ⇐⇒ x ∈ B ⇐⇒ x 6 ∈ f (x). Ello es absurdo. Por tanto, no puede existir f y as´ı |A| < 2 |A|.
Ejercicio 12. Sea A un conjunto. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- A es finito
