Introducción al Cálculo Superior: Álgebra de Funciones - Prof. Romero Falla, Diapositivas de Cálculo

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Ingeniería

Mgtr. Ing. Martín Ubillús Solís - [email protected]

Introducción al

Cálculo Superior

Álgebra de Funciones

Se denomina álgebra de funciones al conjunto de relaciones u operaciones entre dos o más funciones. Si dos funciones 𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥 están definidas en ℝ, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con ellas.

SUMA DE FUNCIONES

Dadas dos funciones 𝑓 y 𝑔, con sus respectivos dominios, la suma 𝑓 + 𝑔 se define como

𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 ; 𝑥 ∈ Dom (𝑓 + 𝑔)

Dom (𝑓 + 𝑔) = Dom f ∩ Dom g

Ejemplo:^ Dadas las funciones f={(2,4),(3,1),(4,8),(9,4)} y g={(1,2),(2,4),(9,3)}, halle^ 𝑓^ +^ 𝑔

Los dominios son: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = { 2 , 3 , 4 , 9 } y 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = { 1 , 2 , 9 }. Por tanto 𝐷𝑜𝑚 (𝑓 + 𝑔) = { 2 , 9 }

ÁLGEBRA DE FUNCIONES

Sus imágenes son (𝑓 + 𝑔)( 2 ) = 4 + 4 = 8 , (𝑓 + 𝑔)(9)=4+3=7. Por tanto

𝑓 + 𝑔 = {( 2 , 8 ), ( 9 , 7 )}

SUSTRACCIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones f y g , con sus respectivos dominios, se define la función diferencia como

Sean 𝑓 𝑥 = 𝑥^3 − 5𝑥 + 7 ; 𝑥 ∈ (− 4 ; 2 ] y 𝑔 𝑥 = 2 𝑥^2 + 7𝑥 − 9 ; 𝑥 ∈ − 3 ; 𝜋 Halla (𝑓 − 𝑔)(𝑥)

Ejemplo:

𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ; con Dom 𝑓 − 𝑔 = Dom 𝑓 ∩ Dom 𝑔

Solución: (^) Dom 𝑓 − 𝑔 = (− 3 , 2 ]

𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑥^3 − 2 𝑥^2 − 12𝑥 + 16

Álgebra de funciones

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones f y g , con sus respectivos dominios, se define el producto 𝑓 ⋅ 𝑔 y la

división 𝑓/𝑔 como ℕ

Ejemplo:

con Dom 𝑓 ⋅ 𝑔 = Dom 𝑓 ∩ Dom 𝑔 𝑦 Dom 𝑓/𝑔 = Dom 𝑓 ∩ Dom 𝑔 ∧ 𝑔 𝑥 ≠ 0

Dadas las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥^2 − 5 ; 𝑥 ∈ − 2 , 1 y 𝑔 𝑥 = 𝑥^2 − 3 calcula (a)𝑓 ⋅ 𝑔

(b)

𝑓 𝑔

Solución:

(𝑓 ⋅ 𝑔) 𝑥 = (𝑥^2 − 5 )(𝑥^2 − 3 )

𝑥^2 − 5

𝑥^2 − 3

𝑥^2 − 3

Dom (𝑓 ⋅ 𝑔) = − 2 , 1

Dom (𝑓/𝑔) = − 2 , 1 - {± 3 }

𝑓 ⋅ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ; ( f/g) 𝑥 = 𝑓(𝑥)/𝑔 𝑥

Álgebra de funciones

Álgebra de funciones

Álgebra de funciones

six 2

x x

x 2 si x 2

f(x)

2

Como x 2

2

• siempre es mayor que cero, tenemos que: x^2 x^2

2 2

• = +

Además sabemos que

x si x 0

x si x 0

x con lo cual nos quedaría:

0 six 0

x si 0 x 2

x 2 si x 2

f(x)

2

( )

^ (^ )

 



− − − 

− −  

( 4 x). 2 (x 1 ) si x 3

2 x.Sgn x x 1 si 3 x 4 g(x)  1

Como^3  x ^4 entonces x =^3 con lo cual x^ − x = x −^3

Si 3  x  4 entonces 0  x − 3  1 con lo cual Sgn (x − x ) = Sgn(x − 3 ) = 1

Además sabemos que







−  → 

−  →  − = 1 si x 1 1 x 2

0 si x 1 1 x 2 (x 1 ) 1



Entonces:

2 ( 4 x) si x 2

( 4 x) si 2 x 3

2 x 1 si 3 x 4

g(x)

( )

^ (^ )

( 4 x). 2 (x 1 ) si x 3

2 x.Sgn x x 1 si 3 x 4

g(x)

 1

Ejercicio1:

f(x)=2x-1, x<-4;8]

g(x)={(-2;1),(1;7),(4,-1),(10;7),(-5;0)}

Halle la función: h=f.g.

Solución: h={(-2,-5),(1;7),(4;-7)}

Ejercicio2:

Dadas las funciones:

f(x)= 𝑥^2 − 4 y g(x)=

1 𝑥+ 2

Halle: (f.g)(x)

Solución : (f.g)(x)= 𝑥 − 2 ; x[2;+∞>

x 5 4 ( 3 x 1 ) ( 1 x 3 )

x 1 x 9 (x 1 x 1 ) ( 3 x 3 )

x 5 4 4 x 5 4 1 x 9 1 x x 9

2

2 2

2 2 2 2 2

−  → −  −   

   → −    −  

−  → −  −  →   →   

Si x 5 4 ( 3 x 1 ) ( 1 x 3 )

2 −  → −  −    entonces x 5 4

2 −  en el complemento

es decir:

x^2 − 5  4 → ( − x − 3 )  ( − 1  x  1 )  ( 3  x  )

( )

2 4

si x x

x

si x x x

u

 −^ ^  −^ ^ ^ 

 − ^  −^ ^ −^ ^ ^ ^ ^  

Con lo cual nos queda:

Considerando el conjunto existencia, nos queda:

( ) ( )

2 2 2 4 4

0 ( 3 1) (1 3)

1. ( 2 3) 5 1 ( 5 3) ( 1 1) (3 5)

si x x x Sgn x x x si x x x

u u

 −^ ^  −^ ^ ^  − − + = − =   −^ ^  −^ ^ − ^ ^ ^ ^ 



 

 



 −  −  −      

  

 (^) −

 −  −    

  

 (^) −

= 25 x. 1 si ( 5 x 3 ) ( 1 x 1 ) ( 3 x 5 )

25 x. 0 si ( 3 x 1 ) ( 1 x 3 )

f (x) 2

2

25 x si ( 5 x 3 ) ( 1 x 1 ) ( 3 x 5 )

0 si ( 3 x 1 ) ( 1 x 3 )

f (x) 2

De la gráfica se puede determinar el dominio y el rango de f(x).

:[ 0 , 4 ] [ 24 , 5 ]

:[ 5 , 5 ]

( )

( )



−

f x

f x

Rang

Dom

Además se observa que es una función polivalent e.

Analizando el valor del discriminante ( 4 ) 4 ( 2 )( 3 ) 8

2  = − − − =−

, concluimos que (^) 4 x − 2 x^2 − 3 siempre será menor que cero, con lo cual

Sgn ( 4 x 2 x 3 ) 1

2 − − =−

A = x + x + 3 ( − 1 ) = x + x − 3

Como^1  x ^2 → −^2  x −^3 −^1 → x −^3 =−^2

1  x  2 → − 1  x − 2  0 → x − 2 =− 1

A = x + ( − 2 ) = x − 2 =− (^1) B = Sgn(x + Sgn( x + Sgn(x)))

Como^1  x ^2 → Sgn(x) =^1

B = Sgn(x + Sgn(x + 1 ))

Como 2  x + 1  3 → Sgn(x + 1 ) = 1

B = Sgn(x + 1 ) = 1 Entonces: A + B =− 1 + 1 = 0