Introducción al Cálculo Superior: Álgebra de Funciones (Ejercicios Aplicativos) - Prof. Ro, Exámenes de Cálculo

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Ingeniería

Introducción al

Cálculo Superior

Álgebra de Funciones (ejercicios

aplicativos)

Álgebra de funciones

Ejemplo: Dados -

x < 0 0 ≤ x <2 x ≥ 2

f(x) = –x – 1 f(x) = x – 1 f(x) = x – 1

g(x) = 2 – x g(x) = 2 – x g(x) = x – 2

x < 0 0 ≤ x <2 x ≥ 2

**- + +

• • +**

f(x)

g(x)

Álgebra de funciones

Ejercicio: Sean f y g definidas como sigue:

six 2

x x

x 2 si x 2

f(x )

2

 

^ ^ 

( 4 x). 2 (x 1 ) si x 3

2 x.Sgn x x 1 si 3 x 4

g(x )

1



Halle:

f(x) + g(x) y f(x) / g(x), explicitando claramente las respuestas finales.

Si 3  x 4 entonces 0  x 3  1 con lo cual Sgn (x x )Sgn(x 3 ) 1

Además sabemos que

1 si x 1 1 x 2

0 si x 1 1 x 2

(x 1 ) 1



Entonces:











 

  

  



2 ( 4 x) si x 2

( 4 x) si 2 x 3

2 x 1 si 3 x 4

g(x )

 

^ ^  







   

   



( 4 x). 2 (x 1 ) si x 3

2 x.Sgn x x 1 si 3 x 4

g(x )

1



Ejercicio1:

f(x)=2x-1, x<-4;8]

g(x)={(-2;1),(1;7),(4,-1),(10;7),(-5;0)}

Halle la función: h=f.g.

Solución: h={(-2,-5),(1;7),(4;-7)}

Ejercicio2:

Dadas las funciones:

f(x)= y g(x)=

Halle: (f.g)(x)

Solución : (f.g)(x)= ; x[2;+∞>

Ejemplo 02: Indique el dominio, el rango y grafique, por el método que desee, la

siguiente función. Además, determine si se trata de una función monovalente o

polivalente:

  ^ 

2 2 2

4

f ( )x  25  x u x  5 Sgn ( x  2 x3)

Solución:

Analizando el conjunto existencia CE : 25 x 0 CE: 5 x 5

2      .

Como x 2 x 3

2   tiene discriminante negativa, podemos afirmar que x 2 x 3

2   siempre es mayor

que cero, con lo cual (^) Sgn (x 2 x 3 ) 1

2   

Entonces    

2 2 2

4 4

u x  5. Sgn ( x  2 x  3) u x  5

Además (^)  

2

2

4 2

0 5 4

5

1 5 4

si x

x

si x

u

 (^)      

   















         ^ 



 



 

     ^ 



 



 



25 x. 1 si ( 5 x 3 ) ( 1 x 1 ) ( 3 x 5 )

25 x. 0 si ( 3 x 1 ) ( 1 x 3 )

f (x )

2

2

 







          

     



25 x si ( 5 x 3 ) ( 1 x 1 ) ( 3 x 5 )

0 si ( 3 x 1 ) ( 1 x 3 )

f (x )

2

De la gráfica se puede determinar el dominio y

el rango de f(x).

:[ 0 , 4 ] [ 24 , 5 ]

:[ 5 , 5 ]

( )

( )





f x

f x

Rang

Dom

Además se observa que es una función

polivalent e.

Ejemplo 03: Sabiendo que

x  x 3  2

u  Calcular el valor de A + B, donde:

A x x 3 Sgn( 4 x 2 x 3 )

2      B^ Sgn(^ xSgn(xSgn(x)))

Solución:

 

 







    

     

  

0 si x 3 2 x 1 

1 si x 3 2 x 1 x R

x x 3 2

u

Con lo cual tenemos:

x  1  1 x  2

Calculamos los valores de A y de B.

A x x 3 Sgn( 4 x 2 x 3 )

2     

Trabajamos la expresión: (^4 )

2 2

x x   x  x