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TEMA 2: MATRICES.
2.1. Generalidades sobre matrices.
∗ Definición de matriz. Tipos de matrices.
∗ Operaciones algebraicas con matrices.
∗ Matriz traspuesta y traspuesta-conjugada.
∗ Submatrices.
2.2. Proceso de escalonamiento matricial.
∗ Operaciones elementales.
∗ Matrices elementales.
- Proceso de escalonamiento de una matriz no nula.
∗ Matrices en forma escalonada por filas.
∗ Matrices de tipo M.
∗ Proceso de escalonamiento de una matriz. Forma normal.
2.3. Determinantes.
∗ Definición de determinantes.
∗ Propiedades.
∗ Interpretación geométrica.
- Cálculo de determinantes.
2.4. Matrices no-singulares y factorización LDU de una matriz.
∗ Definición. Primeras propiedades.
∗ Criterios de no singularidad.
∗ Cálculo de la inversa de una matriz mediante operaciones elementales.
- Factorización L.D.U. de una matriz n × n sobre K.
∗ Factorización L.U.
∗ Factorización L.D.U.
2.5. Partición en bloques.
∗ Matrices en bloques. Tipos de matrices en bloques.
∗ Operaciones.
∗ Aplicaciones: cálculo de inversas, cálculo de determinantes y cálculo de pivotes de
una matriz que admite factorización LDU.
f ) diremos que A es simétrica si a i j
= a ji
, 1 ≤ i, j ≤ n.
g) diremos que A es antisimétrica si a i j
= −a ji
, 1 ≤ i, j ≤ n.
h) diremos que A es hermítica si a i j
= a ji
, 1 ≤ i, j ≤ n.
i) diremos que A es antihermítica si a i j
= −a ji
, 1 ≤ i, j ≤ n.
O M.
∗Suma de matrices:
A = (a i j
), B= (b i j
) ∈ M
m×n
(K) =⇒ A + B= (a i j
) ∈ M
m×n
(K)
Propiedades.
- Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C, ∀A, B, C ∈ M m×n
(K)
- Conmutativa: A + B = B + A, ∀A, B ∈ M m×n
(K)
tal que A + O m×n
= A = O
m×n
+ A, ∀A ∈ M
m×n
(K)
- Elemento opuesto: ∀ A ∈ M m×n
(K) existe −A ∈ M m×n
(K) tal que
A + (−A) = O
m×n
= (−A) + A
∗ Producto por un escalar:
A = (a i j
) ∈ M
m×n
(K) y α ∈ K =⇒ αA = (αa i j
) ∈ M
m×n
(K)
Propiedades.
- La propiedad distributiva respecto la suma de matrices:
α(A + B) = αA + αB, ∀A, B ∈ Mm×n(K), ∀α ∈ K
- La propiedad distributiva respecto de la suma de escalares:
(α + β)A = αA + βA, ∀A ∈ M m×n
(K), ∀α, β ∈ K
- Asociativa del producto por un escalar:
(αβ)A = α(βA), ∀A ∈ M m×n
(K), ∀α, β ∈ K
• 1 A = A ∀A ∈ M
m×n
(K) con 1 ∈ K
• A ∈ M
m×n
(K), α ∈ K y αA = O m×n
=⇒ A = O
m×n
ó α = 0
• A, B ∈ M
m×n
(K), α ∈ K − { 0 } y αA = αB =⇒ A = B
• A ∈ M
m×n
(K) − {O
m×n
}, α, β ∈ K y αA = βA =⇒ α = β
∗ Producto de matrices.
Si A = (a i j
) ∈ M
m×n
(K) y B = (b i j
) ∈ M
n×p
(K), entonces AB = (c i j
) ∈ M
m×p
(K), siendo
ci j =
n ∑
k= 1
aikbk j
Observar que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Propiedades.
- Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C, ∀A ∈ M m×n
(K), B ∈ M
n×p
(K),
C ∈ M
p×q
(K)
- Distributiva por la izquierda del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C, ∀A ∈ Mm×n(K), B, C ∈ Mn×p(K)
- Distributiva por la derecha del producto respecto de la suma:
(B + C) · D = B · D + C · D, ∀B, C ∈ M
n×p
(K), D ∈ M
p×q
(K)
• ∃ E
n×n
tal que A · E n×n
= A y ∃ E m×m
tal que E m×m
· A = A, ∀A ∈ M
m×n
(K)
• A · O
n×p
= O
m×p
, O
s×m
· A = O
s×n
, ∀A ∈ M
m×n
(K)
- En general, no se cumple la ley de cancelación:
si A ∈ M m×n
(K), B ∈ M
n×p
(K)
AB = Om×p 6 =⇒ A = Om×n ó B = On×p
Si A =
y B =
=⇒ AB = O
2 × 2
, A , O
2 × 2
y B , O 2 × 2
- El producto de matrices NO es conmutativo, en general. Si A =
y B =
⇒ AB =
= BA.
Definición. Dos matrices A y B ∈ M n×n
(K) conmutan si AB = BA.
Se dice que dos matrices A y B ∈ Mn×n(K) anticonmutan si AB = −BA.
Definición. Si A ∈ M n×n
(K) y m ∈ N, llamaremos potencia m-ésima de A y escribiremos A
m
a la
matriz A
m
· · · A. Por convenio A
0 = E n×n
Definiciones.
- Si A = (a i j
) ∈ M
n×n
(K), diremos que A es idempotente si A
2
= A.
- Si A = (ai j) ∈ Mn×n(K), diremos que A es involutiva si A
2
= En×n.
- Si A = (a i j
) ∈ M
n×n
(K), diremos que A es nilpotente si existe k ∈ N tal que A
k
= O n×n
. Si
A
k
= On×n y A
k− 1
, On×n diremos que k es el índice de nilpotencia de A.
M T. M T C.
Definiciones. Sea A = (a i j
) ∈ M
m×n
(K).
Se llama matriz traspuesta de A a A
T
= (a ji
) ∈ M
n×m
(K).
Se llama matriz traspuesta conjugada de A a A
∗
= (a ji
) ∈ M
n×m
(K).
